F u n k t i o n e n Grundbegriffe

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1 F u n k t i o n e n Grundbegriffe Gottfried Wilhelm Leibniz (*66 in Leipzig, 76 in Hannover) war ein deutscher Philosoph und Wissenschaftler, Mathematiker, Diplomat, Physiker, Historiker, Bibliothekar und Doktor des weltlichen und des Kirchenrechts. Er gilt als der universale Geist seiner Zeit und war einer der bedeutendsten Philosophen des Barocks. Er prägte den Begriff Funktion und studierte sie im Detail.

2 . Darstellungen einer Funktion Pfeildiagramm Wertetabelle Funktionsgraf Funktionsvorschrift Beschreibung in Worten Die Fläche y eines Quadrats ist die Seitenlänge x hoch zwei. Funktionen: Grundbegriffe Seite (November )

3 Aufgabe : Was gehört zusammen? A B C D E F G H i) x 0 3 ii) x 3 6 y y 3 6 iii) x 0 3 iv) x 0 3 y y 0 3 v) x 0 3 vi) x 0 3 y 3 3 y 0 9 vii) x 0 3 viii) x y y 0 3 a) y = x b) y = x + c) y = x+ d) e) y = x f) y = x g) y = x + h) y = x y = x Funktionen: Grundbegriffe Seite 3 (November )

4 . Definition der Funktion Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung! Definition: Eine Funktion f ordnet Element x einer D ein Element y einer W zu. Merke: Die Elemente der Definitionsmenge heissen. oder., Die Elemente der Wertemenge heissen oder kurz. Notation: Für die Funktionsvorschrift werden unterschiedliche Notationen verwendet. Sie erinnern an die verschiedenen Darstellungen: f: x x y = x f( x) = x Pfeildiagramm Funktionsgraph Tabelle Aufgabe : Welche dieser Zuordnungen sind Funktionen? a) b) c) e) f) g) Aufgabe 3: Sind diese Zuordnungen eindeutig, d.h. wird jedem Argument nur genau ein Wert zugeordnet? a) Schülerinnen der Tertia d Geburtsdatum b) Person Körpergrösse c) Schweizerin oder Schweizer Passnummer d) Fahrpreis Fahrstrecke bei der SBB e) Zahl Quadrat dieser Zahl Funktionen: Grundbegriffe Seite (November )

5 Aufgabe : Welche dieser Grafen sind Funktionen? Aufgabe : Welche dieser Tabellen stellen Funktionen dar? x y x y Findest du eine Funktionsvorschrift? Funktionen: Grundbegriffe Seite (November )

6 Funktionsgleichung, Tabelle und Funktionsgraf Aufgabe 6: Erstelle für die Funktion f( x) = x eine Wertetabelle und zeichne den Funktionsgrafen. x f(x) Aufgabe 7: Welche Argumente darfst du bei dieser Funktion f( x) = x für x einsetzen? Du kannst es aus dem Funktionsgrafen ablesen. Aufgabe 8: Welche Zahlen kommen bei dieser Funktion f( x) = x als Werte heraus? Auch dies siehst du im Funktionsgrafen. Argument und Funktionswert Aufgabe 9: In der nebenstehenden Figur ist eine Funktion gezeichnet. a) Lies den Funktionswert an der Stelle x = ab. Zeichne in der Figur ein, wie du diesen Funktionswert abgelesen hast. b) An welcher Stelle, d.h. für welche Argumente, hat die Funktion den Wert. Zeichne auch hier ein, wie du vorgegangen bist. Diese Funktion hat die Funktionsgleichung f(x) = (x ) + 3. c) Berechne nun den Funktionswert an der Stelle x =. Berechne also f(). d) Berechne, an welcher Stelle x die Funktion den Wert hat. Löse also die Gleichung f(x) = nach x auf. Funktionen: Grundbegriffe Seite 6 (November )

7 Aufgabe 0: h(z) = z 3 z +. Berechne h(3), h( ), h(0). Aufgabe : s(t) = t + t Berechne s(0), s( ), s(), s(0). Für welche Argumente t ist der Funktionswert s(t) =,, 0? Aufgabe : f(x) = x. Berechne f(), f(3), f(0). An welcher Stelle wird der Funktionswert? Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3. a) Berechne die zu den Argumenten x = 0,, gehörenden Funktionswerte. b) Berechne die Funktionswerte f(3), f( ), f(0.), f( 3 / ), f(h), f( + h). c) An welcher Stelle, d.h. für welches Argument, ist der Funktionswert 0, 0., / 3, x? Aufgabe : Gegeben ist die Funktion g(x) = x x + 3. a) Berechne g(), g(3), g() g( ), g(b), g(a ). b) An welcher Stelle x ist g(x) =, 3 bzw. x? Aufgabe : Ein Einzeller vermehrt sich alle Stunden durch Zellteilung. a) Welche Funktion beschreibt diesen Sachverhalt? b) Wie viele Einzeller hat es nach h? c) Nach wie vielen Stunden hat es insgesamt 6 Einzeller? d) Nach welcher Zeit hat es mehr als 000 Zellen? Aufgabe 6: Wir betrachten noch einmal die Funktion aus Aufgaben 6. a) Liegt der Punkt A(6 ) auf dem Funktionsgrafen? Zeichne den Punkt im Diagramm ein und rechne auch aus, ob der Punkt auf dem Grafen liegt. b) Liegt der Punkt B( 0.) auf dem Funktionsgrafen? Zeichne und rechne auch hier. c) Der Punkt liegt auf dem Funktionsgrafen. Ergänze die fehlende Koordinate: C(3 y) d) Auch dieser Punkt liegt auf dem Funktionsgrafen: D(x.) Welcher Wert hat x? Aufgabe 7: Eine Funktion s sei durch ihre Funktionsgleichung s(t) = 60t + 30 gegeben. Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion s liegen: A(?), B( 0.?), C(0?), D(? 0), E(? 0). Aufgabe 8: Eine Funktion f ist durch ihre Funktionsgleichung f(x) = x gegeben. Überprüfe x rechnerisch, ob folgende Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen: A( 0), B( 0. 3), C(.), D(. 0.), E(0 0). Aufgabe 9: Versuche aus der Wertetabelle eine Zuordnungsvorschrift f(x) zu erkennen: x y Funktionen: Grundbegriffe Seite 7 (November )

8 Definitions- und Wertemenge Betrachten wir noch einmal die Funktion f( x) = x aus Aufgabe 6. Wurzeln können aus negativen Zahlen nicht gezogen werden. Bei dieser Funktion können also nicht alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Die Menge aller erlaubten Argumente - die Definitionsmenge - ist bei der Funktion f( x) = x D = Auch kommen nicht alle reellen Zahlen als Werte vor. Das Ergebnis der Wurzel ist nie negativ. Die Menge aller Funktionswerte - die Wertemenge - ist bei der Funktion f( x) = x also W = Wertebereich W Definitionsbereich D Aufgabe 0: Ermittle die Definitionsmenge D und die Wertemenge W dieser Funktionen. Dazu gibt es kein einfaches Verfahren. Du musst gut überlegen, welche Werte du einsetzen darfst und welche als Funktionswerte herauskommen können. Skizziere die Funktionen! a) f(x) = x 6 b) f(x) = 3x + c) f(x) = x d) f(x) = x e) f(x) = f) f(x) = x x Aufgabe :Ermittle die Definitionsmenge D dieser Funktionen: a) f(x) = (x )(x + 3) b) f(x) = x 6 c) f(x) = d) f(x) = x x x + e) f(x) = x + 6 f) f(x) = x + Funktionen: Grundbegriffe Seite 8 (November )

9 3. Nullstellen Aufgabe : In der nebenstehenden Figur ist eine Funktion gezeichnet. a) An welchen Stellen schneidet die Funktion die x-achse? Zeichne diese Stellen in der Figur ein. Diese Funktion hat die Funktionsgleichung f(x) = (x 3). b) Berechne nun, an welchen Stellen die Funktion die x-achse schneidet. Definition: Stellen, an denen der Funktionswert Null ist, heissen... Dort gilt f(x) = und der Graf schneidet an diesen Stellen die.. Aufgabe 3: Dies sind noch einmal die Funktionen aus Aufgabe 0. Berechne die Nullstellen. Zeichne die Nullstellen in den Skizzen ein, die du bei Aufgabe 0 erstellt hast. a) f(x) = x 6 b) f(x) = 3x + c) f(x) = x d) f(x) = x e) f(x) = f) f(x) = x x Aufgabe : Dies sind die Funktionen aus Aufgabe. Berechne nun die Nullstellen. a) f(x) = (x )(x + 3) b) f(x) = x 6 c) f(x) = d) f(x) = x x x + e) f(x) = x + 6 f) f(x) = x + Aufgabe : Zeichne in diesem Funktionsgrafen alle Nullstellen ein. Funktionen: Grundbegriffe Seite 9 (November )

10 . Umkehrfunktionen Mit einer Funktion finden wir von einem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Funktionswert y aus der Wertemenge. In manchen Fällen ist es möglich vom Funktionswert y eindeutig wieder zurück zum ursprünglichen Argument x zu finden. Aufgabe 6: Hier sind einige Pfeildiagramme von Funktionen abgebildet. Bei welchen dieser Funktionen kannst du vom Funktionswert y eindeutig wieder zurück zum Argument x finden? a) b) c) Aufgabe 7: Wie muss das Pfeildiagramm einer Funktion aussehen, damit man vom Funktionswert wieder zurück zum ursprünglichen Argument findet? Aufgabe 8: Ist es möglich bei diesen Zuordnungen vom Wert eindeutig wieder zurück zum Ursprung zu gelangen? a) Schülerinnen der Tertia d Geburtsdatum b) Person Körpergrösse c) Schweizerin oder Schweizer Passnummer d) Fahrpreis Fahrstrecke bei der SBB e) Zahl Quadrat dieser Zahl Aufgabe 9: Ist es bei diesen Funktionsgrafen möglich vom y-wert eindeutig wieder zurück zum x-wert zu finden? a) b) c) d) Aufgabe 30: Wie muss ein Funktionsgraf aussehen, damit es möglich ist vom Funktionswert y wieder zurück zur Stelle x zu finden? Funktionen: Grundbegriffe Seite 0 (November )

11 Satz: Eine Funktion f ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert. auftritt. Wir nennen eine solche Funktion f oder. Zu einer Funktion f existiert also eine f, falls die Zuordnung vom Funktionswert y zurück zum Argument x ist sie also eineindeutig ist. Beispiel: Gegeben ist eine Funktion f: y = + x Gesucht wird die Umkehrfunktion f :??? Merke: Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion f (x) zu finden, löst man die Funktionsgleichung f(x) nach x auf. Aufgabe 3: Bestimme die Umkehrfunktion dieser Funktionen. a) y = x 0 b) x 9 3 y = + c) y = x + Aufgabe 3: Wir betrachten die Funktion f: y = x. a) Hat diese Funktion eine Umkehrfunktion? Falls ja, gib ihre Funktionsgleichung an? b) Hat diese Funktion eine Umkehrfunktion, wenn wir als Argumente nur positive Zahlen zulassen, wenn wir also den Definitionsbereich auf die positiven Zahlen einschränken? Falls ja, gib ihre Funktionsgleichung an? c) Skizziere die Funktion und ihre Umkehrfunktion. Merke: Hat eine Funktion keine Umkehrfunktion, so kann durch Einschränkung des Definitionsbereichs von Funktion und Umkehrfunktion erreicht werden, dass wenigstens eine Umkehrfunktion zu der eingeschränkten Funktion existiert. Aufgabe 33: Schränke die Funktion f: y = ( x ) so ein, dass eine Umkehrfunktion existiert. Gib die Funktionsgleichung dieser Umkehrfunktion an. Funktionen: Grundbegriffe Seite (November )

12 Aufgabe 3: Schau dir noch einmal gut die Skizze der Funktion und der Umkehrfunktion in Aufgabe 3 an. Gibt es einen geometrischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionsgrafen? Merke: Der Graf der Umkehrfunktion f entsteht aus dem Grafen der Funktion f, indem der Funktionsgraf Aufgabe 3: Skizziere die Umkehrfunktion dieser Funktionen. Aufgabe 36: Gib mindestens zwei Funktionen an, für die f(x) = f (x) gilt. Funktionen: Grundbegriffe Seite (November )