1. Mathematikschulaufgabe

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1 1.0 Gegeben: R = {(x/y) / y = 4 - Ix+1I } Π x Π 1.1 Stelle eine Wertetabelle im Bereich x [-5; 3] Ψ auf, x=1. 1. Zeichne R in ein Koordinatensystem, 1 LE 1cm.0 Lege ein kart. Koordinatensystem (1 LE 1cm) an und ergänze es fortlaufend. Platzbedarf: - 4 x 10; - 4 y 5.1 Zeichne g 1 : y = 3, x + 4 und g : y = x -. Zeichne P(9/-) ein, und überprüfe durch Rechnung, ob P g 1.3 Zeichne g 3, wenn gilt: g 3 Ο g und Q(0/1) g 3 und gib für g 3 die Gleichung an..4 Die Punkte A(0/) und B(7/0) bestimmen die Gerade g 4. Zeichne sie und gib ihre Gleichung an. 3.0 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC: [AC] ist die Hypotenuse. Für die Katheten gilt: AB = 4cm und BC = 9cm. Es entstehen neue Dreiecke A BC, wenn man [AB] über A hinaus um x cm verlängert, während man [CB] von C aus um das Doppelte verkürzt. 3.1 Zeichne das ABC für x = 0 und A BC für x = 1, cm 3. Gib für x das Intervall an. 3.3 Gib den Flächeninhalt aller Dreiecke A BC in Abhängigkeit von x an. (Ergebnis: A (x) = -x + 0,5x + 18) cm 3.4 Für welchen x-wert nimmt A (x) den Extremwert an? Wie lang sind die Katheten und wie groß ist der Flächeninhalt? 3.5 Für welchen Wert von x entsteht ein gleichschenkliges Dreieck? Berechne die Länge seiner Katheten. RM_A0043 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0043)

2 1.0 Gegeben sind die Punkte A( - 1 / ), B( 8 /-3), C ( 4 / 7 ) und die Gerade g mit y = - 3 und h mit x = Zeichne das Dreieck ABC sowie g und h in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: - < x < 14; -4 < y < 8 1. Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks. 1.3 Der Punkt B wandert nun auf g um x cm in positiver x-richtung, C dagegen um 0,5x cm in negativer y-richtung. Die neuen Punkte heißen B und C. Zeichne für x = 4 das Dreieck AB C in das Koordinatensystem ein. 1.4 Gib die Koordinaten von B und C in Abhängigkeit von x an. 1.5 Berechne den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke AB C. (Zwischenergebnis: A(x) = -0,5x + 0,5 x + 35 FE) 1.6 Für welche Belegung von x ergibt sich ein Extremwert von A? Gib den Extremwert, seine Art sowie das zugehörige x an..0 Gegeben ist das Ungleichungssystem y > 0 y 1,5x + 3 y -0,75x + 1 y > x - 5,5.1 Zeichne den Graph des Systems; Platzbedarf: -3 < x < 1; 0 < y < 10. Berechne die Koordinaten des Punktes des Graphen mit der größten y-koordinate mit dem Determinantenverfahren. 3.0 A ( - 5 /6) ist ein Fixpunkt einer Scherung mit der Achse a und dem Winkel φ. Das Dreieck ABC mit B ( - 3 / 0 ) wird auf A B C` mit C ` ( / 7 ) und B` ( / - ) abgebildet. 3.1 Fertige eine Zeichnung an und konstruiere Ur- und Bilddreieck. Platzbedarf: - 6 < x < 8; - 3 < y < 8 3. Berechne die Gleichung der Achse a. 3.3 Berechne mit Hilfe der Gleichung der Geraden CC die Koordinaten von C. (elektron. Taschenrechner verwenden; auf zwei Stellen nach dem Komma runden) RM_A0053 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0053)

3 Beachte: Das Determinantenverfahren darf nur bei Aufgabe 1 angewendet werden. 1. Löse mit Hilfe des Determinantenverfahrens: 3 5 x, y 15 < x < y, Gegeben ist folgendes Ungleichungssystem: y x,, 3 y, 0,5x 1.1 Kennzeichne den Graphen des Ungleichungssystems bezüglich a) G < x mit blauer Farbe und b) G < x mit grüner Farbe. Kennzeichne mit braunem Farbstift alle Punkte des Graphen, deren Koordinatensumme 1 beträgt..3 Der Punkt A( - / 0 ) wird an der Geraden g mit y = - 0,5x + 1 gespiegelt. Berechne die Koordinaten des Bildpunktes A..4 Gegeben ist ferner der Punkt B ( 4 / - 3 ). Die Punkte D n liegen auf der Geraden g. Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme ABC n D n. 3. Die Gerade g mit y = - 4x + 5 wird durch Parallelverschiebung mit dem θ Vektor v <, 3 5( auf die Gerade g abgebildet. Berechne die Gleichung von g. 4. Welchen Flächeninhalt hat die skizzierte Figur? (Maße in cm) RM_A0054 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L0054)

4 1.0 Die Punkte A ( / 1 ), B n ( 6 / 1 + x), C n und D n ( 6 - x / 5 ) sind die Eckpunkte von Parallelogrammen AB n C n D n. 1.1 Zeichne die Parallelogramme für x 1 = 1 und x = 3 in ein Koordinatensystem. 1. Gib mit Hilfe der Vektoren τττθ AB n und τττθ ADn den Flächeninhalt der Parallelogramme AB n C n D n in Abhängigkeit von x an. Ergebnis: A(x) = (x - 4x + 16) FE 1.3 Berechne das Parallelogramm AB 0 C 0 D 0, das den kleinsten Flächeninhalt besitzt und zeichne es ein. 1.4 Berechne die Koordinaten der Punkte C n in Abhängigkeit von x. Ergebnis: C n (10 - x / 5+x) 1.5 Berechne mit Hilfe des Ergebnisses aus 1.4 die Gleichung der Geraden g, auf der die Punkte C n liegen Gegeben sind die Punkte A ( - / - 1 ) g 1 mit y < x und B ( 5 / 1 ) g mit y <, x Berechne den Schnittpunkt von g 1 und g mit Hilfe des Determinantenverfahrens. Ergebnis: C ( / 6). Beschreibe die Dreiecksfläche, die durch A, B und C gebildet wird, durch ein Ungleichungssystem. [BC] soll nicht dazugehören. 3.1 Die Mittellinie eines Trapezes steht zur größeren Grundlinie im Verhältnis 4 : 5. Beide Grundlinien sind zusammen 1,4 cm lang. Wie lang sind die Grundlinien? 3. Die Fläche des Trapezes beträgt 1,7 cm. Berechne die Höhe des Trapezes. RM_A0055 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0055)

5 1. Gegeben sind die beiden Geraden g: y = x + 3 und h: y = 0,5x - sowie der Punkt Z(/1). Auf der Geraden g liegt der Punkt A ( a / y a ), auf der Geraden h der Punkt B ( b / y b ). Der Punkt Z ist Mittelpunkt der Strecke [AB] Berechne die Koordinaten der Punkte A und B.. In einem Trapez mit der Höhe 13 dm verhalten sich die parallelen Seiten wie 5:. Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt 368,55 dm. Berechne die Längen der beiden parallelen Seiten. 3.1 Zeichne die beiden Geraden g: y = x und h: y = -x + 3 in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -3 x 8-1 y 6 3. Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Geraden g und h. 3.3 Durch die Punkte A ( 6 / 3 ) und die senkrecht übereinander liegenden Punkte B n g und C n h sind Dreiecke AB n C n festgelegt. Zeichne für x = das Dreieck AB 1 C 1 ein und berechne den Flächeninhalt des Vierecks AB 1 SC Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke AB n C n in Abhängigkeit von der x-koordinate der Punkte B n und C n. 3.5 Bestimme den extremen Flächeninhalt der Dreiecke, die Art des Extremwertes und die zugehörigen Koordinaten der Punkte B* und C*. RM_A0056 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0056)

6 1. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten. 5x - 3y = 10 x = 0 0,6y. Vom gleichschenkligen Trapez ABCD mit den parallelen Grundseiten [AB] und [DC] sind bekannt: Umfang u = 6 cm, Höhe h = 4 cm, Flächeninhalt A = 3 cm². Berechne die Schenkellänge des Trapezes. 3.0 Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A(0/0), B(7,5/0), C(3/9) und D(0/3). Dem Viereck ABCD ist das Parallelogramm EFGH so einbeschrieben, dass E(0/), F [AB], G(5/5) und H [CD] gilt. 3.1 Zeichne das Viereck ABCD in ein Koordinatensystem ein. Konstruiere das Parallelogramm EFGH. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm 3. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte F und H. 3.3 Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms EFGH. 4. Ermittle rechnerisch die y-koordinate des Eckpunktes W (5/y) des Dreiecks UVW mit U(1/6), V(0/-) und A ΧUVW = 17,5 FE. RM_A0057 **** Lösungen Seiten (RM_L0057)

7 1.0 Gegeben sind die beiden Geraden g: y = x + 3 und h: y = 0,5x - und der Punkt Z(/1). Auf der Geraden g liegt der Punkt P ( a /? ), auf der Geraden h der Punkt Q ( b /? ). Der Punkt Z ist Mittelpunkt der Strecke [PQ]. 1.1 Bestimme die gesuchte Strecke [PQ] konstruktiv. Wähle dazu als Versuchspunkte P 1 (0 / y 1 ) und P ( / y ) und zeichne die Strecken [P 1 Q 1 ] sowie [P Q ]. Zeichne dann die Lösungsstrecke [PQ]. Für die Zeichnung: - 4 x 7; - 3 y 6 1. Berechne die Koordinaten der gesuchten Punkte P und Q.. In einem Trapez mit der Höhe 13 dm verhalten sich die Grundlinien wie 5:; der Flächeninhalt des Trapezes beträgt 368,55 dm². Berechne die Längen der beiden parallelen Seiten. 3.0 Die Punkte A( - / 1 ) und B ( 5 / ) sind die Eckpunkte von Drachenvierecken ABC n D. Die Punkte A und C n liegen auf der Geraden g: y = 0,5x Zeichne in ein Koordinatensystem zwei Drachenvierecke für x c { 6; 8 }. Für die Zeichnung: - 3 x 8; 0 y Gib die Fläche aller Drachenvierecke in Abhängigkeit von der x-koordinate des Punktes C n an. (Rechnerische Herleitung) 3.3 Berechne die Koordinaten von C, wenn der Flächeninhalt des Drachenvierecks 17 FE beträgt. 3.4 Berechne die Koordinaten von D. RM_A0058 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0058)

8 1.0 Gegeben sind die Geraden g 1 : y x < g 3 : x y < 1 9 g : 4y 6 < 3x 9 g 4 : y < x 10, Berechne mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens {A} = g 1 g und zeichne die beiden Geraden in ein Koordinatensystem. 1. Berechne mit Hilfe des Einsetzverfahrens {B} = g g 3 und zeichne g 3 ein. 1.3 Berechne mit Hilfe des Additionsverfahrens {C} = g 3 g 4 und {D} = g 4 g 1 und zeichne g 4 ein. 1.4 Zeige mit Hilfe der Determinanten, ob die jeweils gegenüberliegenden Seiten im Viereck parallel zueinander sind. 1.5 Beschreibe die Fläche ε des Vierecks ABCD mit einem System von linearen Ungleichungen..0 Ein Busunternehmen hat für eine Firma täglich zwischen 500 und 800 Pendler zu fahren. Es stehen Busse mit 40 und mit 60 Sitzplätzen zur Verfügung. Von den 60- Sitzern können höchstens 8, von den 40-Sitzern müssen zwischen 3 und 11 Busse eingesetzt werden. Der Einsatz eines großen Busses kostet pro Tag 00, der eines kleinen 150. Pro Fahrgast zahlt die Firma beim kleinen Bus 5,00 beim großen 4,50..1 Wie müssen die Busse eingesetzt werden, um bei 500 Personen den maximalen Gewinn zu erzielen? Wie groß ist der Gewinn?. Bei 800 Personen soll das Angebot möglichst günstig sein. Wie müssen die Busse eingesetzt werden? Wie hoch sind dann die Kosten? RM_A0068 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0068)

9 1.0 Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit den Eckpunkten A(-1/) und D(1/6). Die Eckpunkte B und C des Parallelogramms liegen auf den Geraden g: y = 1 x, 1 bzw. g: y <, 1 4 x 5. B g; C g 1.1 Ermittle die Eckpunkte B und C zeichnerisch. Beginne dabei mit den Probierpunkten B 1 (-1/y 1 ) g, B (0/y ) g, B 3 (4/y 3 ) g. Für die Zeichnung: 1 LE 1 cm; - x 9; - y 7 1. Berechne die Koordinaten der Punkte B und C..0 Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems nach der Determinantenmethode.,13x - 4,5y = 5,76 0,1x + 3,35y = - 1,15.1 Gib die Determinanten D N, D x, D y sowie deren Werte an (auf zwei Nachkommastellen gerundet).. Welche Aussage über die Lösungsmenge kann man bereits aufgrund der Ergebnisse in Aufgabe.1 machen?.3 Berechne die Lösungsmenge (auf zwei Nachkommastellen gerundet). 3.1 Zeichne den Graphen des Ungleichungssystems y x, 4 x y 10 Für die Zeichnung: 1 LE 1 cm; - 3 x 7; - y 7 3. Kennzeichne alle Punkte des Graphen, deren Koordinatensumme 6 beträgt. 3.3 Zeichne den Punkt P des Graphen mit der größten Koordinatensumme ein und berechne seine Koordinaten. RM_A0165 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0165)

10 1.0 Die Punkte A 0, 4( und ( B 4 sind Eckpunkte des Dreiecks ABC. Der Punkt C liegt auf der Geraden g: y < 1,5x,5 und ist vom Punkt A genauso weit entfernt wie vom Punkt B. 1.1 Fertige eine Skizze an. (Platzbedarf:, 3 x 6;, 5 y 4) 1. Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C (Klar ersichtlicher Rechenweg). 1.3 Ermittle durch Rechnung den Flächeninhalt des Dreiecks. 1.4 Ergänze das Dreieck ABC zum Parallelogramm ADBC. 1.5 Berechne die Koordinaten des Punktes D.. Löse das folgende lineare Gleichungssystem. G< x ( 4x, 1,5 y, x < x 9,5 ( 3,5x, 6,5 < 0,5y, 4 0,5y, 0,15x 3.0 Nebenstehende Skizze zeigt die Ansicht einer Skulptur des Künstlers Antonio Morena. Das Kunstwerk ist aus gleichschenklig, rechtwinkligen Dreiecken und Vierecken aufgebaut. 3.1 Berechne den Flächeninhalt jeder einzelnen Figur. Gib dabei die einzelnen Formen in allgemeingültiger Form an. 3. Wie groß ist die gesamte Fläche? 4. Bilde das Dreieck ABC durch zentrische Streckung mit Streckungsfaktor k am C 0,51 Z1 und k = - gilt. Zentrum Z ab, wobei A,5 (, B 0 3 (,, (, ( Platzbedarf:, 3 x 5;, 1 y 5 5. Ein Kirchturm wirft am um 9.35 Uhr einen 85,80 m langen Schatten, während ein 3,40 m hoher Funkmast am gleichen Ort einen 4,40 m langen Schatten wirft. Berechne die Höhe des Kirchturms. Voraussetzung: Die einfallenden Sonnenstrahlen können wegen der großen Entfernung Erde Sonne als parallel betrachtet werden. RM_A05 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L05)

11 1. Ein Drachenviereck hat den Flächeninhalt 16 cm. Eine Diagonale ist 360 mm lang. Berechne die Länge der anderen Diagonalen..0 Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme mit der jeweils angegebenen Methode. G< x..1 Additionsverfahren: 7y, x <, 1 y, x <, 11. Gleichsetzungsverfahren: x 6y 4 < 0 y <, 1 x, Determinantenverfahren: x 5y, 13 < 0 4y, 3x < Ein Parallelogramm ABCD mit A 1 (, B xb ( ( Flächeninhalt von 60 FE. 3.1 Berechne x B. Überlegungsskizze: 5 und C 1 9 hat einen 9 y C B n 3 1 A x RM_A051 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L051) 1 (3)

12 4.0 Gegeben ist die Raute ABCD mit A 0, 5 (, B 3 0 (, C 0 5( undd, 3 0(. Verkürzt man die Diagonale [AC] von A und C aus um x LE und verlängert [BD] über B hinaus um 3x LE, so entstehen achsensymmetrische Drachen ABCD. n n n 4.1 Zeichne die Raute ABCD und den Drachen ABCD für x1 < 1,5 und bestimme den Flächeninhalt des Drachen. 5 y x Welche Werte sind für x zulässig? 4.3 Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Drachen ABCD n n n in Abhängigkeit von x. 4.4 Bestimme die Belegung für x, für die man den Drachen mit dem größten Flächeninhalt erhält. Gib A an. max RM_A051 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L051) (3)

13 5. Berechne die Inhalte der folgenden Flächen. Gib dabei jeweils die verwendete Flächenformel in allgemein gültiger Form an. 6. Berechne die graue Fläche in Abhängigkeit von x. RM_A051 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L051) 3 (3)

14 1.0 Gegeben ist ein Trapez ABCD mit A, 0(, B,, 5(, C 4, 6( und ( D Zeichne das Trapez ABCD in ein Koordinatensystem und kennzeichne die Höhe des Trapezes ABCD (nicht rot). 1. Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABCD.. Ein gleichschenkliges Trapez hat den Flächeninhalt 144 cm². Die Höhe h ist 0,75 mal so lang wie die Grundlinie a und 1,5 mal so lang wie die Grundlinie c. Berechne die Längen der Höhe h und der Grundlinien a und c. 3. Im Dreieck ABC mit < 3 ist der Winkel φ um 4 größer als der Winkel α. Berechne α und φ. 4. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren 6,3y <,,4x 95,4, 16x 1,5y <, 7 5. In einem Wildgehege leben Fasane und Rehe. Zusammen haben sie 39 Köpfe und 13 Füße. Berechne, wie viele Fasane und Rehe in dem Wildgehege leben. 6.0 Gegeben ist eine Schar von Drachenvierecken ABCD n n n n mit der Symmetrieachse AC n n und n n ACII y-achse. Die Punkte An ( B n und die x- Koordinate der Punkte x 0 liegen auf der x-achse, die Punkte C n bewegen sich auf der Geraden g mit der Gleichung y <, x 5, wobei B n stets um größer ist, als die der Punkte 6.1 Zeichne das Drachenviereck ABCD für x <, 1 in ein Koordinatensystem. 6. Gib die Koordinaten der Punkte B n und C n in Abhängigkeit von x an. 6.3 Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Drachenvierecke ABCD. n n n n A n. 7. Bestimme zeichnerisch die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems. y 3x, 1 y, 1 5y 6x 30 y RM_A05 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L05) 1 (1)

15 1.0 Die Punkte Cn x, 0,5x 6( liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y <, 0,5x 6. Sie bilden zusammen mit den Punkten A, 1, 1( und B51 ( eine Schar von Parallelogrammen ABCD. n n 1.1 Zeichne die Gerade g und das Parallelogramm ABCD 1 1 für x < 3 in das nebenstehend vorgegebene Koordinatensystem. 1. Bestimme durch Rechnung den Flächeninhalt der Parallelogramme ABCD n n in Abhängigkeit von x y Welche Werte sind für x zulässig? 1.3 Berechne die Steigung der Geraden AB sowie die Steigung der Geraden BC n in Abhängigkeit von x x 1.4 Bestimme rechnerisch die Belegung von x, für die man ein Rechteck ABCD erhält. Zeichne dann dieses Rechteck in das KOS ein. 1.5 Unter den Parallelogrammen gibt es das Parallelogramm ABCD 3 3 mit dem Flächeninhalt 7,5 FE. Berechne den zugehörigen Wert für x sowie die Koordinaten der Punkte C 3 und D 3..0 Gegeben ist das Quadrat ABCD mit dem Flächeninhalt 1m. Von jedem Eckpunkt aus wird für jede Seite entgegen dem Uhrzeigersinn die Strecke x abgetragen. Dadurch entstehen neue Quadrate EFGH. n n n n Es gilt: AE < BF < CG < DH < x (vgl. Skizze)..1 Bestimme den Flächeninhalt der neuen Quadrate EFGH n n n n in Abhängigkeit von x. Welche Werte sind für x sinnvoll?. Berechne die Seitenlänge des kleinsten Quadrates und gib seinen Flächeninhalt an. RM_A053 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L053) 1 (1)