Aufgabe Summe Note Punkte

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1 Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Lösungen zur Klausur: Grundlagen der Elektrotechnik am 3. Juli 06 Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe 3 4 Summe Note Punkte Die Klausur umfasst 4 Aufgaben. Insgesamt sind 00 Punkte erreichbar. Die Bearbeitungszeit beträgt 0 Minuten. Erlaubte Hilfmittel (neben Schreib- und Zeichengerät): Ein Formelblatt DIN A4 (beidseitig beschrieben) und ein Taschenrechner. Eingeschaltete Kommunikationsgeräte (z.b. Mobiltelefone) müssen als Täuschungsversuch gewertet werden. Verwenden Sie bitte ausschließlich das bereitgestellte Papier. Die Rechenschritte müssen nachvollziehbar sein. Ungültige Teile streichen Sie bitte durch!

2 Aufgaben: Aufgabe Gegeben ist die folgende Schaltung 5 u R (t) i(t) u q (t) R = 0Ω C = 00µF u C (t) mit einer Wechselspannungsquelle u q (t) = 0Vsin(ωt) 0Vcos(ωt). (a) Berechnen Sie für ω = 000s die Spannungen u C (t) und u R (t) sowie den Strom i(t). Skizzieren Sie die zugehörigen Zeiger U C und U R zusammen mit U q in der komplexen Ebene. (b) Berechnen Sie für fürω = 000s die von der Quelle abgegebene Schein-, Wirk- und Blindleistung. (c) Wie lautet die Übertragungsfunktion H C (ω) = U C U q in Abhängigkeit von der (als variabel betrachteten) Kreisfrequenz ω? Skizzieren Sie das Betragsquadrat und den Phasenwinkel für diese Größe. Lösung zu Aufgabe (a) Berechnen Sie für ω = 000s die Spannungen u C (t) und u R (t) sowie den Strom i(t). Skizzieren Sie die zugehörigen Zeiger U C und U R zusammen mit U q in der komplexen Ebene. Spannungszeiger der Quelle. Spitzenwert: Effektivwert: û q U q = 0V j0v = 0Ve j35 U q = 0 V j 0 V = 0Ve j35 Spannungsteiler U C = jωc jωc +RU q = +jωrc U q R U R = jωc +RU q = jωrc +jωrc U q Einsetzen der Zahlenwerte U C = +j U q = e j45 0Ve j35 = 0Ve j80 = 0V u C (t) = 0Vcos(ωt 80 ) = 0Vcos(ωt) U R = j +j U q = e j45 0Ve j35 = 0Ve j90 = j 0V u R (t) = 0Vcos(ωt 90 ) = 0Vsin(ωt) I = R U R = j A = e j90 A i(t) = R u R(t) = Acos(ωt 90 ) = Asin(ωt)

3 Skizze der Zeiger: = U C I U q U R (b) Komplexe Leistung: 5 S = U q I = 0VAe j35 ej90 = 0 VAe j45 = 5( j) VA S = 0VA P = 5W Q = 5var oder Q = 5var (kapazitiv) (c) Wie lautet die Übertragungsfunktion H C (ω) = U C U q in Abhängigkeit von der (als variabel betrachteten) Kreisfrequenz ω? Skizzieren Sie das Betragsquadrat und den Phasenwinkel für diese Größe. Oben wurde die Übertragungsfunktion schon berechnet: U C = H C (ω) = Als Amplitude und Phase geschrieben lautet sie H (ω) = +jωrc U q +jωrc e jφ +(ωrc) mit φ = arctan(ωrc). Skizze (Zeitkonstante τ = RC): U C /U q % 3 db Punkt ω τ 0 Phasendifferenz [deg] db Punkt ω τ

4 Aufgabe Gegeben ist folgende Schaltung i(t) u q (t) L =? C = µf i (t) i (t) R = 55Ω u (t) mit der Quellspannung R = 000Ω u q (t) = 0Vcos(ωt), ω = 500s (a) Geben Sie eine Formel für die Eingangsimpedanz Z E in Abhängigkeit von R,R, C, L und der Kreisfrequenz ω an. Schreiben Sie diese komplexe Größe in kartesischer Form. (b) Bei welchen Wert der Induktivität L liegt Resonanz vor? (c) Berechnen Sie die eingezeichneten Ströme und Spannungen für diesen Wert von L. (d) Wie groß ist hierbei die an den Klemmen aufgenommene Leistung der Schaltung? Lösung zu Aufgabe (a) Geben Sie eine Formel für die Eingangsimpedanz Z E in Abhängigkeit von R,R, C, L und der Kreisfrequenz ω an. Schreiben Sie diese komplexe Größe in kartesischer Form. Die Eingangsimpedanz lautet (rechne gleich in die kartesische Darstellung um): Z E (ω) = R +jωl+ jωc +/R R = R +jωl+ +jωcr = R +jωl+ R ( jωcr ) +(ωcr ) 8 Z E (ω) = R + R +(ωcr ) +j (b) Bei welchen Wert der Induktivität L liegt Resonanz vor? ( ωl ) ωrc +(ωcr ) Bei Resonanz muss der Imaginärteil verschwinden. Das führt auf die Bedingung: ωl = ωr C +(ωcr ) bzw. 5 R L = C +(ωcr ) = H (c) Berechnen Sie die eingezeichneten Ströme und Spannungen für diesen Wert von L. Bei Resonanz ist die Impedanz gegeben durch Z E = R + R +(ω 0 CR ) Z E =,87kΩ

5 Daraus folgt für den Strom I = U q Z E = 0,7mA i(t) = 5,6mAcos(ω 0 t) Für die Spannung U gilt: U = I jωc + = 0,7Ve j30 R u (t) = 5,6Vcos(ω 0 t 30 ) Daraus ergeben sich die Ströme: i (t) = u (t) R = 3,3mAcos(ω 0 t 30 ) I = jω 0 CU = 5,36mAe j60 8 i (t) = 7,59mAcos(ω 0 t+60 ) (d) Wie groß ist hierbei die über die Klemmen, aufgenommene Leistung der Schaltung? Bei Resonanz ist die Leistung eine reine Wirkleistung. Es gilt: 4 P = Z E I = 4,4mW

6 Aufgabe 3 Bei einem 400V-Drehstromnetz der Frequenz 50 Hz werden mittels der Aronschaltung an einer symmetrischen, sternförmigen Last ohne Neutralleiter die Leistungen zwischen Leiter und bzw. 3 und gemessen. P = 680W bzw. P 3 = 0kW (a) Handelt es sich um eine induktive oder um eine kapazitive Last? Begründen Sie Ihre Antwort und zeichnen Sie das Schaltbild. (b) Berechnen Sie die Wirk-, Blind- und Scheinleistung der Last sowie den Leiterstrom I L. (c) Berechnen Sie den Wirkwiderstand R sowie die Induktivität L bzw. die Kapazität C der Last. Lösung zu Aufgabe 3 (a) Es gilt Q = 3(P 3 P ),68kvar Wegen Q > 0 ist die Last induktiv. 8 L R L I Leiter W P L L R L 3 W P 3 L R (b) Berechnen Sie die Schein- Wirk- und Blindleistung sowie den Leiterstrom I: Aus P = P +P 3 = 680W Q = 3(P 3 P ) 680var S 680W+j680var 7930VAe j45 S = 3U L I L folgt 9 I L = S = 5,9A 3 U L Bemerkung: Man kann auch die komplexen Leiterströme ausrechnen (nicht verlangt!), z.b. ( ) S 3 S = U I I = = S = 5,9Ae j45 3U 3UL (c) Berechnung des Wirkwiderstandes R sowie der Induktivität L der Last: Für die Leistung an einer der drei Impedanzen gilt: 3 S = (R+jωL)I L R+jωL = 3IL S = (6,3+j6,3) Ω R = 3IL P = 6,3Ω und mit ω = 34,6s L = 3ωIL Q = 0,mH 8

7 Aufgabe 4 In der unten skizzierten Schaltung mit der Gleichstromquelle i q (t) = A wird zur Zeit t = 0 der Schalter geschlossen. Vorher befindet sich das System im stationären Zustand. 5 u(t) i(t) i q (t) = A t = 0 L = 00mH R = 0Ω R = 0Ω (a) Berechnen und skizzieren Sie i(t) für t 0. (b) Berechnen und skizzieren Sie u(t) für t 0. (c) Zu welcher Zeit t fließt der Strom i(t ) = 0,75A durch die Spule? Lösung zu Aufgabe 4 (a) Berechnen und skizzieren Sie i(t) für t 0. Der Ersatzinnenwiderstand (Schalter geschlossen, Stromquelle durch Leerlauf ersetzt) ist R + R = 40 Ω. Zeitkonstante : 4 L τ = = 5ms R +R Anfangsstrom zur Zeit t = 0: Stationärer Strom für t : i 0 = i q = A i s = i q = 0,5A Allgemeine Formel für den Strom: i(t) = i s (i s i 0 )e t/τ 8 i(t) = 0,5A (+e t/τ) 0.8 i(t) [A] t/τ 0 5 u(t) [V] t/τ

8 (b) Berechnen und skizzieren Sie u(t) für t 0. (b)... über das Induktionsgesetz: Ableitung ausrechnen: Die Spannung kann man nach dem Induktionsgesetz über die u(t) = L d dt i(t) = 0,5A L τ e t/τ = 0,5A (R +R ) e t/τ 8 u(t) = 0Ve t/τ. (b)... über die Kirchhoffschen Gesetze: Das selbe Ergebnis bekommt man über die Kombination von Knotenregel i q = i +i und Maschenregel R i = u+r i, wobei i der Strom durch R ist. Es folgt u = R i R i = R i q (R +R )i = 0V 0V (+e t/τ) und damit u(t) = 0Ve t/τ. (b)... über die Allgemeine Formel mit Anfangsbedingung u 0 = u(0 + ): Zur Bestimmung der Anfangsspannung u 0 = u(0 + ) betrachten wir die eingezeichnete Masche mit den Spannungen u (t), u (t) und u(t) zum Zeitpunkt unmittelbar nach dem Einschalten: u(t) i(t) i q (t) = A t = 0 L = 00mH u (t) u (t) R = 0Ω R = 0Ω Nach der Maschenregel gilt: u (t) = u(t)+u (t) Zum Zeitpunktt = 0 + unmittelbar nach dem Einschalten wirkt die Induktivität (wegen der Schaltgesetze) wie eine Stromquelle i q =A. Durch den Widerstand R fließt dann folglich genau dieser Strom, und die Spannung lautet u (0 + ) = 0V. Durch den Widerstand R kann nach der Stromteilerregel kein Strom fließen, also gilt Daraus folgt nach der Maschenregel u (0 + ) = 0V. u 0 = u(0 + ) = 0V. Im stationären Zustand wirkt die Spule wie ein Kurzschluss: Mit der Allgemeinen Formel folgt u s = 0V u(t) = u s (u s u 0 )e t/τ u(t) = 0Ve t/τ.

9 (c) Weil i(t ) = 0,75A genau der Mittelwert (i s +i 0 )/ ist, ist t gerade die Halbwertszeit: 5 t = t / 0,7τ = 3,5ms