ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK WS 2015/16 GÜNTHER EDER

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1 ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK WS 2015/16 GÜNTHER EDER

2 WIEDERHOLUNG: SPRACHE DER PL Die Sprache der PL enthält (1) Einfache Individuenterme: Individuenkonstanten (a, b, c, ) und Individuenvariablen (x, y, z, ) (2) Funktionszeichen: f, g, h, (3) Relations-/Prädikatsbuchstaben: P, Q, R, (4) Junktoren:,,, (5) Quantoren:, Individuenkonstanten, Individuenvariablen und Ausdrücke, die wir mit Hilfe von (möglicherweise vorhandenen) Funktionszeichen daraus bilden können (z.b.: a, x, f(x), g(a, f(y)), ), nennen wir Individuenterme. Atomare wohlgeformte Formeln sind wohlgeformte Formeln, die keine Junktoren oder Quantoren enthalten (z.b.: Px, Rxf(y), Qxyg(a,f(x)), ); Wohlgeformte Formeln überhaupt entstehen aus atomaren Formeln durch Verknüpfung mit Junktoren oder Quantoren ( xpx, y(px Rxf(y)), )

3 WAS SOLL EINE SEMANTIK FÜR DIE SPRACHE DER PL LEISTEN? Wir wollen, relativ zu einer bestimmten Interpretation der nichtlogischen Zeichen der Sprache der PL, Wahrheitsbedingungen für Sätze der Sprache der PL angeben. Dazu geben Bedingungen an, unter denen eine wohlgeformte Formel der Sprache der PL wahr ist, in Abhängigkeit von der logischen Struktur des Satzes (der Anordnung der logischen Zeichen, d.h. der Junktoren und Quantoren). den Bedeutungen der nicht-logische Bestandteile die in der Aussage vorkommen, und die durch die jeweilige Interpretation festgelegt werden.

4 WOZU INTERPRETATIONEN? Der Grund wieso wir es wieder mit einem relativen Begriff der Wahrheit ( Wahrheit in einer Interpretation ) zu tun haben, ist derselbe wie in der Aussagenlogik: Wir wollen damit zentrale logische Begriffe definieren. (i) Ein PL-Satz α ist genau dann eine logische Wahrheit wenn α in jeder Interpretation wahr ist. (ii) Ein PL-Satz α ist genau dann eine logische (semantische) Folgerung aus einer Menge von PL-Sätzen S wenn α in jeder Interpretation wahr ist in der auch alle Sätze in S wahr sind. Alle Interpretationen sind also relevant wenn es um logische Wahrheit und logische Folgerung geht!

5 INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN In der AL war eine Interpretation einfach eine Verteilung von Wahrheitswerten (wahr oder falsch) auf die atomaren, d.i. aussagenlogisch nicht weiter zerlegbaren, Sätze p, q, r, Die Semantik der PL ist komplizierter, weil wir jetzt (i) subsententiale Satzbestandteile (Individuenkonstanten, Prädikats- und Relationszeichen, evtl. Funktionszeichen) (ii) quantifikatorische Ausdrücke inkl. Variablen (Alle x, Einige x, ) miteinbeziehen müssen.

6 INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Ob der Satz (1) Irgendjemand, der/die SchauspielerIn ist, mag Seth MacFarlane. wahr oder falsch ist, hängt davon ab 1) auf wen/was wir uns mit dem Ausdruck Irgendjemand aller/alles beziehen wollen. 2) wer aller SchauspielerIn ist. 3) wer wen mag. 4) auf welches Objekt sich der Name Seth MacFarlane bezieht.

7 INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Analoges gilt für den PL-Satz (2) x (Sx Mxm) Ob (2) wahr oder falsch ist, hängt davon ab 1) auf welche Objekte wir uns mit dem Quantor x beziehen wollen. 2) auf welche Objekte das Prädikat S zutrifft. 3) welche Objekte in der Relation M zueinander stehen. 4) welches Objekt durch die Individuenkonstante m bezeichnet wird.

8 INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Eine PL-Interpretation I (fettgedrucktes I) muss also zunächst mal festlegen 1) was das Diskursuniversum (die Domain, der Redebereich) ist. Das Diskursuniversum U ist irgendeine nicht-leere Menge, auf deren Objekte sich quantifikatorische Phrasen beziehen. 2) was die Bedeutungen der nicht-logischen Zeichen der Sprache sind. Das macht die sogenannte Interpretationsfunktion Ι (nicht-fettgedrucktes I), die (i) jeder Individuenkonstanten ein Objekt aus U zugeordnet, d.h. I(a) U. (ii) jedem n-stelligen Relationszeichen wird eine Menge von n-tupeln von Objekten in U zugeordnet, d.h. I(P) U n. (iii) jedem n-stelligen Funktionszeichen eine Funktion I(f) = f M : U n U zuordnet. Definition. Ein Paar M = U, I, das aus einer nichtleeren Menge U und einer Interpretationsfunktion besteht, nennt man eine PL-Struktur.

9 INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Ein Beispiel für eine PL-Struktur M = U, I für den PL-Satz von vorhin, x (Sx Mxm), wäre etwa gegeben durch die Festlegungen: (i) U = {1, 2, 3} und (ii) I(S) = {1, 2}; I(M) = { 1, 1, 1, 2, 1, 3 }; I(m) = 1 Ein anderes Beispiel für eine PL-Struktur M = U, I für den denselben Satz wäre gegeben durch die Festlegungen: (iii) U = {Franz, Susi, Ines} und (iv) I (S) = {Ines}; I (M) = { Susi, Susi, Franz, Ines, Ines, Ines }; I (m) = Susi

10 INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Für eine vollständige Semantik für die Sprache der PL müssen wir ausserdem noch für eine Interpretation der freien Variablen sorgen. Freie Variablen sind Variablen, die nicht durch einen Quantor gebunden sind. Zum Beispiel ist die Variable x in der Formel Rxa frei. Die Variable y, aber nicht x, ist frei in x Ryx. Definition. Eine Variablenbelegung σ ist eine Funktion, die jeder Variablen x ein Objekt in der Domain U zuordnet, d.h. σ(x) U. Ausserdem benötigen wir noch den Begriff einer x-variante einer Variablenbelegung, um später die Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze zu formulieren Definition. Eine x-variante σ einer Variablenbelegung σ ist eine Variablenbelegung, die jeder Variablen denselben Wert zuordnet, ausser (möglicherweise) der Variablen x.

11 INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Definition. Eine Interpretation I ist ein Paar M, σ, das aus einer PL-Struktur M und einer Variablenbelegung σ besteht. Bevor wir endlich Wahrheitsbedingungen für die Sprache der PL formulieren können, treffen wir noch die Festlegung, dass für Individuenterme t gelten soll: I(t) := σ(x) falls t eine Variable x ist. := I(a) falls t eine Individuenkonstante a ist. := f M (I(t 1 ),,I(t n )) falls t ein Individuenterm der Form f(t 1,,t n ) ist und f M die Interpretation des Funktionszeichens f ist. Jedem Individuenterm t wird dadurch ein eindeutiges Objekt in der domain U als Bedeutung (bezüglich einer bestimmten Interpretation I) zugeordnet.

12 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Definition. (Wahrheit in einer Interpretation I = M, σ ) (i) Klausel für atomare Formeln: M, σ Pt 1 t n gdw I(t 1 ), I(t n ) I(P) (ii) Klauseln für die Junktoren: M, σ α gdw. M, σ α M, σ (α β) gdw. M, σ α und M, σ β etc. (gemäß Wahrheitstafeln) (iv) Klauseln für die Quantoren: M, σ xα gdw. Für alle x-varianten σ von σ gilt: M, σ α M, σ xα gdw. Es gibt eine x-variante σ von σ, sodass gilt: M, σ α

13 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION In der Definition von vorhin ist M, σ α die gängige Kurzschreibweise für α ist wahr in der Interpretation M, σ. ACHTUNG: Nicht verwechseln mit dem Zeichen in Kontexten der Form S α, wo man mit demselben Zeichen logische Folgerung meint!) Man beachte auch, dass die Variablenbelegung σ nur auf den Wahrheitswert von Formeln einen Einfluss hat, die freie Variablen enthalten; auf Sätze (d.h. Formeln ohne freie Variablen) hat sie keinen Einfluss. Für Sätze α und beliebige Variablenbelegungen σ und σ gilt also: M, σ α gdw. M, σ α. Ob α wahr oder falsch ist, hängt also nur von der PL-Struktur M ab. Man Schreibt in diesem Fall oft auch einfach M α. Für einen allquantifizierten Satz xα, wobei α ausser x keine weiteren freien Variablen enthält, können wir die Wahrheitsbedinung vereinfachend auch so formulieren: M xα gdw. für jede Variablenbelegung σ gilt, dass M, σ α. Analog gilt, dass M xα falls es irgendeine Variablenbelegung σ gibt, sodass M, σ α.

14 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION: BEISPIELE Geht man die Wahrheitsbedingungen unserer Wahrheitsdefinition Schritt für Schritt durch, sieht man dass unser Beispielsatz x (Sx Mxm) von früher in der PL-Struktur M = U, I mit U = {1, 2, 3}; I(S) = {1, 2}; I(M) = { 1, 1, 1, 2, 1, 3 }; I(m) = 1 wahr ist, d.h. M x (Sx Mxm). In der PL-Struktur M = U, I mit U = {Franz, Susi, Ines}; I (S) = {Ines}; I (M) = { Susi, Susi, Franz, Ines, Ines, Ines }; I (m) = Susi ist derselbe Satz aber falsch, d.h. M x (Sx Mxm). (Gute Übung für einsame Stunden, das wirklich Schritt für Schritt mit Hilfe der Wahrheitsbedingungen aus der Definition durchzugehen, auch wenn das Resultat erwartbar ist.)

15 NOCH EINMAL: WIESO ÜBERHAUPT INTERPRETATIONEN? Um zentrale logische Begriffe zu definieren! Eine Formel ist logisch wahr (allgemeingültig), wenn sie in jeder Interpretation wahr ist. Eine Formel ist eine Kontradiktion, wenn sie in jeder Interpretation falsch ist. Eine Formel α ist eine logische / semantische Folgerung aus einer Menge von Prämissen S (kurz, S α), wenn es keine Interpretation gibt, in der alle Prämissen wahr sind, α aber falsch. Eine Menge von Formeln S ist erfüllbar, wenn es mindestens eine Interpretation gibt, in der alle Formeln in S wahr sind.

16 TESTEN AUF LOGISCHE WAHRHEIT / LOGISCHE FOLERUNG Um zu testen, ob eine Formel α logisch wahr ist, müssen wir testen, ob α in jeder Interpretation wahr ist. Um nachzuweisen, dass eine Formel α keine logische Wahrheit ist, müssen wir nur eine Gegeninterpretation finden, d.h. eine Interpretation in der α falsch ist. Um zu überprüfen, ob eine Formel α semantisch aus einer Menge von Formeln S folgt, müssen wir testen, ob α in allen Interpretation wahr ist, in denen auch alle Formeln in S wahr sind. Um nachzuweisen, dass eine Formel α nicht semantisch aus einer Menge von Formeln S folgt, müssen wir nur eine Gegeninterpretation finden, d.h. eine Interpretation in der alle Sätze in S wahr sind, aber α falsch.

17 TESTEN AUF LOGISCHE WAHRHEIT Wir wollen zeigen, dass x ymxy x ymxy keine logische Wahrheit ist. Die PL- Struktur M = U, I, die wie folgt definiert ist, bestätigt das: U := {Troy, Dave, Josh, Brant}; I(M) := { Josh, Troy, Troy, Dave, Dave, Josh, Brant, Dave } Man stelle sich vor M stehe in dieser Interpretation für die Relation des Mögens. Josh mag also Troy, Troy mag Dave, Dave mag Josh und Brant mag Dave. Der Satz x ymxy x ymxy sagt dann Wenn jeder jemanden mag, dann gibt es jemanden der alle mag. Das ist, in der gegebenen Interpretation, aber falsch, denn es stimmt tatsächlich dass jeder jemanden mag (Antezedens ist wahr), aber keiner mag (in dieser Interpretation) alle (Konsequens ist falsch).

18 BEISPIEL II: GEGENMODELL Oft ist es hilfreich, sich Interpretationen durch Bildchen darzustellen Domain U: Troy Brant Josh Dave Auf jeden Fall muss aus der Darstellung der Interpretation klar ersichtlich sein, was die Domain ist, welche Prädikate auf welche Individuen zutreffen und welche Relationen zwischen welchen Individuen der Domain bestehen!

19 TESTEN AUF LOGISCHE FOLGERUNG Wir wollen zeigen, dass aus der Prämisse x Bx x Gx die Konklusion x (Bx Gx) nicht logisch folgt, d.h. x Bx x Gx x (Bx Gx). Folgende Gegeninterpretation bestätigt dies: U := {Troy, Dave, Josh, Nick}; I(G) := {Troy, Dave, Josh}; I(B) := {Nick} Man stelle sich vor B stehe in dieser Interpretation für das Prädikat Bass zu spielen und G für das Prädikat Gitarre zu spielen. Dann sagt die Prämisse Irgendjemand spielt Bass und irgendjemand spielt Gitarre und die Konklusion Irgendjemand spielt sowohl Bass als auch Gitarre. Die Prämisse ist in dieser Interpretation wahr aber die Konklusion falsch! D.h. die Konklusion folgt nicht logisch (semantisch) aus der Prämisse.

20 BEISPIEL I: GEGENMODELL In Bildchen-Form: Troy I(G) Josh Dave I(B) Nick Domain U:

21 WEITERE BEISPIELE (1) Ist folgende Formel erfüllbar / logisch wahr / kontradiktorisch? x(bx Gx) ( xbx xgx) (2) Ist folgendes Argument gültig (folgt die Konklusion logisch aus den Prämissen)? { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px) (3) Ist folgende Formelmenge erfüllbar? { x yrxy, x y z(rxy Ryz Rxz), xrxx}

22 DER SATZ IN BEISPIEL (1) IST KEINE LOGISCHE WAHRHEIT! Betrachte die Struktur M = U, I, wobei U und I wie folgt festgelegt sind: U = {1, 2, 3}; I(B) = {1, 3}; I(G) = {2} In Bildchen-Form: I(B) U 1 3 I(G) 2

23 DER SATZ IN BEISPIEL (1) IST KEINE LOGISCHE WAHRHEIT! Betrachte die Struktur M = U, I, wobei U und I wie folgt festgelegt sind: U = {1, 2, 3}; I(B) = {1, 3}; I(G) = {2} In Bildchen-Form: I(B) U 1 3 I(G) M x(bx Gx) aber 2 M xbx xgx, also M x(bx Gx) ( xbx xgx) Keine logische Wahrheit!

24 DER SATZ IN (1) IST ERFÜLLBAR! Betrachte die Struktur M' = U, I, wobei U und I wie folgt festgelegt sind: U = {1, 2, 3}; I (B) = {1, 2, 3}; I (G) = {2} In Bildchen-Form: I(B) U 1 3 I(G) 2

25 DER SATZ IN (1) IST ERFÜLLBAR! Betrachte die Struktur M' = U, I, wobei U und I wie folgt festgelegt sind: U = {1, 2, 3}; I (B) = {1, 2, 3}; I (G) = {2} In Bildchen-Form: I(B) U 1 3 I(G) M x(bx Gx) und 2 M xbx xgx, also M x(bx Gx) ( xbx xgx) Erfüllbar!

26 AUS DEN PRÄMISSEN IN BEISPIEL (2) FOLGT DIE KONKLUSION NICHT! Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = {1, 2, 3}; I(M) = {1, 3}; I(P) = {2, 3}; I(S) = {1} In Bildchen-Form: I(S) I(M) I(P) U 1 3 2

27 AUS DEN PRÄMISSEN VON (2) FOLGT DIE KONKLUSION VON (2) NICHT! Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = {1, 2, 3}; I(M) = {1, 3}; I(P) = {2, 3}; I(S) = {1} In Bildchen-Form: I(M) I(P) U M x(mx Px)

28 AUS DEN PRÄMISSEN VON (2) FOLGT DIE KONKLUSION VON (2) NICHT! Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = {1, 2, 3}; I(M) = {1, 3}; I(P) = {2, 3}; I(S) = {1} In Bildchen-Form: I(S) I(M) U M x(mx Px) M x(sx Mx)

29 AUS DEN PRÄMISSEN VON (2) FOLGT DIE KONKLUSION VON (2) NICHT! Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = {1, 2, 3}; I(M) = {1, 3}; I(P) = {2, 3}; I(S) = {1} In Bildchen-Form: I(S) I(P) U M x(mx Px) M x(sx Mx) aber M x(sx Px)

30 AUS DEN PRÄMISSEN VON (2) FOLGT DIE KONKLUSION VON (2) NICHT! Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = {1, 2, 3}; I(M) = {1, 3}; I(P) = {2, 3}; I(S) = {1} In Bildchen-Form: I(S) I(M) I(P) U M x(mx Px) M x(sx Mx) aber M x(sx Px) also { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px)

31 DIE SATZMENGE IN (3) IST ERFÜLLBAR Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = N = {0, 1, 2, 3, }; I(R) = { n, m : n, m N, n < m} In Bildchen-Form (die Pfeile stehen für die <-Relation): U

32 DIE SATZMENGE IN (3) IST ERFÜLLBAR Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = N = {0, 1, 2, 3, }; I(R) = { n, m : n, m N, n < m} In Bildchen-Form (die Pfeile stehen für die <-Relation): U n+1 M x yrxy Für jede Zahl n gibt es eine noch größere Zahl n+1!

33 DIE SATZMENGE IN (3) IST ERFÜLLBAR Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = N = {0, 1, 2, 3, }; I(R) = { n, m : n, m N, n < m} In Bildchen-Form (die Pfeile stehen für die <-Relation): U M x y z(rxy Ryz Rxz) Ist eine Zahl kleiner als eine zweite und diese kleiner als eine dritte, ist die erste Zahl kleiner als die dritte.

34 DIE SATZMENGE IN (3) IST ERFÜLLBAR Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = N = {0, 1, 2, 3, }; I(R) = { n, m : n, m N, n < m} In Bildchen-Form (die Pfeile stehen für die <-Relation): U Keine Zahl ist kleiner als sie selbst! M xrxx

35 DIE SATZMENGE IN (3) IST ERFÜLLBAR Betrachte die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U = N = {0, 1, 2, 3, }; I(R) = { n, m : n, m N, n < m} In Bildchen-Form (die Pfeile stehen für die <-Relation): U M x yrxy M x y z(rxy Ryz Rxz) M xrxx Die Formelmenge ist also erfüllbar!

36 MERKE! Eine Interpretation für einen PL-Formel (oder eine Menge von PL- Formeln) ist gegeben durch Angabe einer nichtleeren Menge, der Domain U, auf die sich die Quantoren beziehen sollen. Angabe von Interpretationen für alle nicht-logischen Zeichen die in der Formel (der Menge von Formeln) vorkommen. evtl. Angabe einer Variablenbelegung, falls in der Formel (der Menge von Formeln) freie Variablen vorkommen.