16. Integration über Flächen. Der Gaußsche Integralsatz

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1 Integrtion über Flächen. Der Gußsche Integrlstz Der Gußsche Stz in der Ebene Orientierter Rnd von Normlbereichen. Es sei [, b] ein Intervll, und f 1 und f 2 seien stückweise stetig di erenzierbre Funktionen uf [, b] mitf 1 pple f 2.Fernersei = {(x, y) 2 R 2 : x 2 [, b], f 1 (x) pple y pple f 2 (x)}. Der Rnd von besteht dnn us den beiden vertiklen bschnitten in t = zwischen f 1 ()und f 2 () undint = b zwischen f 1 (b) undf 2 (b) sowie den Grphen von f 1 und f 2.Wirbeschreiben ihn nun durch vier stückweise stetig di erenzierbren Kurven 1, 2, 3, 4, wobei 1 :[, b]! R 2 ; 1(t) =(t, f 1 (t)) 2 :[f 1 (b),f 2 (b)]! R 2 ; 2(t) =(b, t) 3 :[, b]! R 2 ; 3(t) =( + b t, f 2 ( + b t)) 4(t) :[f 1 (),f 2 ()]! R 2 ; 4(t) =(, f 1 (b)+f 2 (b) t) Die Kurve 3 ist gerde die Kurve 3(t) =(t, f 1 (t)), ber in umgekehrter Richtung durchlufen. Ähnliches gilt für 4. Die Durchlufrichtung der Kurven ist dnn so, dss stets zur Linken liegt (positiv orientiert) Integrl über Normlbereich. Bezeichnungen wie oben. Ferner sei Q stetig di erenzierbre Funktion uf R 2. Dnn ist nch Beispiel b! f2 (x) b d(x, dy dx = Q(x, f 2 (x)) Q(x, f 1 (x)) dx f 1 (x) Ds letzte Integrl können wir ls Kurvenintegrl u ssen. Wegen 1 (t) =(1,f 1 (t)) und 3 (t) = ( 1,f1 ( + b t)) ist es in der Schreibweise von 11.2: Qdx Qdx. Wir benutzen die Schreibweise F 1 dx F n dx n = hf, dxi = 1 b hf (t), für F :[, b]! R n und (x = x 1,...,x n )) mit (x 1,x 2 )=(x, y) undf = (t)i dt Q.Weil 2 (t) =(, 1) und 4 (t) =(, 1) ist, sind die entsprechenden Integrle über 2 und 4 beide Null. it bezeichnen wir nun die us 1, 2, 3 und 4 zusmmengesetzte Kurve. Dnn ist d(x, y) = Q(x, y) Normlbereiche in y-richtung. Nun seien ' 1,' 2 :[, b]! R 2 stetig di erenzierbr mit ' 1 pple ' 2 und = {(x, y) :' 1 (y) pple x pple ' 2 (y), pple y pple b}. Wir beschreiben den orientierten Rnd durch 1 :[' 1 (),' 2 ()]! R 2 ; 1(t) =(t, ) 2 :[, b]! R 2 ; 2(t) =(' 2 (t),t) 3 :[' 1 (b),' 2 (b)]! R 2 ; 3(t) =(' 1 (b)+' 2 (b) t, b) 4(t) :[, b]! R 2 ; 4(t) =(' 1 (t),+ b t)

2 42 und bezeichnen mit die zusmmengesetzte Kurve. Wieder sei G R 2 o en mit G, und P stetig di erenzierbre Funktionen uf G. Dnn ist nch Stz b! '2 d(x, y) ' 1 dx dy b = P (' 2 (y),y) P (' 1 (y),y) dy = Pdy+ Pdy= Pdy Dbei gilt die letzte Identität, weil die Integrle über 1 und 3 Null sind. Bechte ds im Vergleich zu 16.2 verschiedene Vorzeichen Der folgende Stz ist dnn o ensichtlich, wenn sowohl bezüglich der x-chse ls uch bezüglich der y-chse ein Normlbereich ist. Er gilt jedoch llgemeiner durch erlegung: Stz von Guß/Greensche Formel in der Ebene. Es sei eine beschränkte o ene enge, deren Rnd durch eine stückweise stetig di erenzierbre Kurve positiv orientiert ist (d.h. liegt beim Durchlufen von stets zur Linken). Ferner seien Q und P stetig di erenzierbr uf R d(x, y) = Pdy Speziell ergibt sich: vol = d(x, y) = xdy 4 ydx. Integrtion über Flächen Definition. Eine Teilmenge von R n heißt eine k-dimensionle nnigfltigkeit (k pple n), flls zu jedem Punkt m 2 eine bbildung : T R k! existiert mit folgenden Eigenschften: (i) Für eine (hinreichend kleine) o ene Umgebung U von m in R n gilt: \ U = (T ) (ii) Rng( (t)) = k (d.h. mximl) für jedes t 2 T (iii) Sind 1 : T 1! R n und 2 : T 2! R n zwei solcher bbildungen mit U = 1 (T 1 )\ 2 (T 2 ) 6= ;, dnn ist die Komposition : 1 1 (U)! Rk stetig di erenzierbr. Bedingung (i) besgt. dss in der Nähe jedes Punktes m die nnigfltigkeit durch k freie Prmeter beschrieben wird. (ii) stellt sicher, dss die k Vriblen ttsächlich unbhängige Richtungen liefern. n ht viel Freiheit bei den obigen Whlen. Bedingung (iii) sorgt dfür, dss lle, die denselben Bereich von beschreiben, verträglich sind. n nennt eine solche bbildung eine lokle Krtenbbildung. nnigfltigkeiten der Dimension 2 nennt mn Flächen Beispiel: Die Sphäre S r vom Rdius r in R 3. Dies ist eine Fläche. Wir betrchten die bbildung 1 : T = ], 2 [ ], [! R 3 1 r cos ' sin # 1(', #) r sin ' sin # r cos #

3 43 Ihr Bild enthält lle Punkte der Sphäre mit usnhme des Hlbkreises {(x, y, z) 2 S r : x,y = }. Wir nehmen die bbildung 2 : ], [ ], [! R 3 1 r cos ' sin # 2(', #) r sin ' sin # r cos # hinzu, und erhlten ls Bild lle Punkte der Sphäre ußer {(x, y, z) 2 S r : x pple,y =}. Die Krtenwechselbbildung ordnet hier (', ) 2 ], 2 [ ], [ ds Pr (', ) zu, flls <'< und (' 2, ), flls <'<2. Nun fehlen uns nur noch der Nordpol und der Südpol. Dzu können wir in beiden bbildungen von /2 bis /2 lufen lssen Integrtion über nnigfltigkeiten. Es sei eine nnigfltigkeit der Dimension k und f :! K eine stetige Funktion. Ist : T! eine lokle Krtenbbildung, so definiert mn ds Integrl von f über den Bildbereich von T unter durch q f(x) ds(x) = f( (t)) det( (t) T (t)) dt. (T ) T Dbei ist (t) 2 t nk (R) die bleitung von und (t) T 2 t kn (R) ihre djungierte. Es zeigt sich, dss ds Produkt (t) T (t) eine invertierbre k k-trix ist, deren Determinnte überll positiv ist. Die trix (t) T (t) wird ls ßtensor bezeichtnet, ihre Determinnte ls Grmsche Determinnte. Die Schreibweise ds(x), oft einfch nur ds uf der linken Seite deutet n, dss mn nicht über eine enge in R n, sondern über eine nnigfltigkeit integriert; ds heißt ds Oberflächenmß. Wir hben lso q ds = det( (t) T (t)) dt. Ds Integrl einer stetigen Funktion f über gnz erhält mn, indem mn die nnigfltigkeit durch mehrere Krten überdeckt, die Funktion entsprechend zerlegt und dnn integriert. n schreibt fds. Dbei gilt: Ds Ergebnis ist unbhängig von der Whl der verwendeten Krten. Integrle über die Bilder von Nullmengen unter einer Krtenbbildung liefern keine Beiträge zum Wert des Integrls. Dher knn mn sich mnchml uf die Whl von Krten beschränken, die die nnigfltigkeit nur bis uf ds Bild einer Nullmenge überdecken, s. Beispiele 16.8, Ist f 1, so liefert uns ds Integrl ds k-dimensionle Volumen der nnigfltigkeit. vol k () = 1 ds. In ähnlicher Weise hben wir ds Oberflächenmß bei der Bestimmung von Kurvenlängen kennen gelernt, vgl. Stz 1.5: Ist :[, b]! R n eine Kurve, so ist ihre Länge (d.h. ihr eindimensionles Volumen) b b q L( )= k (t)k dt = (t) T (t) dt = 1dS = vol 1 ( ). Die Kurvendrstellung spielt die Rolle von. Die Determinnte bruchen wir hier nicht zu bilden, d die bleitung von ein n-vektor ist und somit (t) T (t) eine hl.

4 Beispiel. Wir betrchten die Sphäre S r vom Rdius r in R 3. Wir hben die Krte (vgl. 16.6) : ], 2 [ ], [! R 3 1 r cos ' sin (', ) r sin ' sin. r cos Der ßtensor bzw. die Grmsche Determinnte sind r g(', ) = 2 sin 2 r 2 bzw. det g(', ) =r 4 sin 2. Ds Bild von ist die Sphäre ohne den Nullmeridin. D er eine Nullmenge ist, spielt er für die Integrtion keine Rolle. Für f : S r! C ist lso 2 f(x) ds(x) = f( (', ))r 2 sin dd'. S r Insbesondere erhlten wir für die Oberfläche der Kugel vom Rdius r 2 vol(s r )= 1 dx = r 2 sin dd'=4 r 2. S r Rottionsflächen. Es sei I ein Intervll in R und f : I! R > stetig di erenzierbr und strikt positiv. Dnn ist die Rottionsfläche des Grphen von f um die z chse = {(x, y, z) 2 R 3 : z 2 I,x 2 + y 2 = f(z)} eine zweidimensionle nnigfltigkeit: Bis uf eine Nullmenge ist sie durch die Krte : I ], 2 [! R 3 1 f(t) cos ' (t, ') f(t)sin' t gegeben. Hier ist (t) f 1 (t) cos ' f(t)sin' f (t)sin' f(t) cos ' (Rng 2). 1 und ßtensor bzw. Grmsche Determinnte sind von der Form 1+f g(t, ') = (t) 2 f(t) 2 und det g(t, ') =f(t) 2 (1 + f (t) 2 ). Ds Volumen der Rottionsfläche ist dher sofern ds Integrl existiert 2 vol () = f(t) p 1+f (t) 2 dt d' =2 f(t) p 1+f (t) 2 dt. I Der Gußsche Integrlstz in R 3. Es sei U eine o ene und beschränkte enge in R 3. Der Rnd von U sei eine 2-dimensionle =. Der äußere Einheitsnormlenvektor. Esseix ein Rndpunkt von U. In einer Umgebung von x sei der Rnd gegeben durch die bbildung : T R 2! R 3 mit (t )=x für ein t 2 T. Die Spltenvektoren von (t ) spnnen nch nnhme (ii) in 16.5 einen zweidimensionlen Teilrum von R 3 uf. Es gibt lso einen eindimensionlen Unterrum von R 3 us dzu senkrecht stehenden Vektoren. Wir wählen den us, der Norm = 1 ht und nch ußen zeigt, und nennen ihn. Nch ußen zeigen heißt: Für jedes hinreichend kleine ">liegt der Punkt x + " ußerhlb von U und der Punkt x " in U. ußen. Wir nennen, genuer (x), den äußeren I

5 Einheitsnormlenvektor in x. Wir nehmen n, dss wir diese Whl uf dem Rnd stetig tre en können. Divergenz von Vektorfeldern. Es sei F : V! R 3 ein stetig di erenzierbres Vektorfeld, ds uf einer Umgebung V von U [ definiert ist. Die Divergenz von F ist die Funktion 3X divf (x) xj F j (x). j=1 it hf, i bezeichnen wir ds Sklrprodukt des Vektors F (x) mitdemäußeren Einheitsnormlenvektor (x) inx. Der Stz von Guß besgt nun, dss div F (x)dx = hf (x), (x)ids(x) rchimedisches Prinzip. Ein fester Körper sei eingetucht in eine Flüssigkeit der konstnten Dichte c>, deren Oberfläche mit der Ebene {x 3 =} in R 3 zusmmenflle. Die Physik sgt uns, dss im Punkt x die Flüssigkeit einen Druck der Stärke cx 3 (x) usübt, wobei die äußere Normle ist (mn bechte, dss x 3 negtiv ist und der Druck nch innen gerichtet ist). Die Gesmtuftriebskrft ist F = cx 3 (x) ds(x); für jede Komponente F j von F gilt lso F cx 3 j (x) ds(x). Dies ist ein Integrl der Form c hf j, ids, wobei f 1 (x) x 1 3,f 2 (x) 1 x 3,f 3 (x) 1. Folglich ist nch Guß F j = hf j (x), (x)i ds(x) =c x 3 divf j (x) dx j dx. Dmit ist F 1 = F 2 =, während F 3 = c 1 dx = c vol() ist. Der Körper erfährt lso eine nch oben gerichtete uftriebskrft, die gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist. 45