Exemplar für Prüfer/innen

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1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 11 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Cosinus Die nachstehende Abbildung zeigt einen Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 0), dem Radius r und dem Winkel α. r M Aufgabenstellung: Geben Sie die Werte von sin(α) und cos(α) an, wobei α der in der Abbildung dargestellte Winkel ist, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Begründen Sie, warum es zu jedem vorgegebenen Wert von cos(α) = c mit c ( 1; 1) genau zwei Winkel im Intervall [0 ; 360 ) gibt! Zeichnen Sie in der gegebenen Abbildung einen von α verschiedenen Winkel β ein, für den cos(β) = cos(α) gilt! Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Cosinus Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: sin(α) 0,87 cos(α) 0,5 Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Werte richtig angegeben werden und eine Vorgehensweise (sinngemäß) richtig erläutert wird. Toleranzintervall sin(α): [0,83; 0,89] Toleranzintervall cos(α): [0,48; 0,52] Lösungserwartung zur Leitfrage: Mögliche Begründung: Ein Punkt P auf der Kreislinie eines Kreises mit dem Mittelpunkt M = (0 0) und dem Radius r = 1 hat die Koordinaten P = (c y P ) und es gilt: c = cos(α). Zu jedem c ( 1; 1) existieren genau zwei Punkte auf der Kreislinie, die symmetrisch zur waagrechten Achse liegen. Daraus folgt: Es gibt genau zwei Winkel im Intervall [0 ; 360 ), für die cos(α) = c mit c ( 1; 1) gilt. Winkel β: 1 P = (c y P ) r 1 M 1 M P* = (c y P ) 1 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine (sinngemäß) korrekte Begründung angegeben und der Winkel β korrekt eingezeichnet wird. Der Wert von β muss dabei nicht angegeben werden. Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Parallele Geraden Die Geraden g und h sind durch ihre Parameterdarstellungen mit s, t R gegeben. =( ) g: X 2 1 ( ) + t h: X =( 3 ) ( ) + s 4 a Aufgabenstellung: Geben Sie an, welchen Wert die Variable a annehmen muss, damit die Geraden parallel zueinander sind, und begründen Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Erklären Sie, warum die gegebenen Geraden g und h jedenfalls nicht zusammenfallend (ident) sind! Ändern Sie bei der Parameterdarstellung der Geraden h einen Wert so ab, dass g und h zusammenfallend (ident) sind, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Parallele Geraden Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: a = 2, dann sind die Richtungsvektoren der Geraden ein Vielfaches voneinander. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert korrekt angegeben wird und eine (sinngemäß) richtige Erklärung vorliegt. Lösungserwartung zur Leitfrage: Bei den beiden gegebenen Geraden liegt der Punkt von h nicht auf der Geraden g. D. h., unabhängig von der Wahl des Parameters a können die Geraden nie ident sein. ( ) Beispiel für eine geänderte Parameterdarstellung für h: X = s ( 2). In diesem Fall liegt der Punkt von g auch auf der Geraden h. Die Richtungsvektoren sind parallel, somit sind die Geraden ident. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine (sinngemäß) korrekte Erklärung und eine korrekte Abänderung der Parameterdarstellung der Geraden h mit einer entsprechenden Erläuterung angegeben werden. Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Exponentialfunktion Gegeben ist eine Exponentialfunktion f mit der Gleichung f(x) = 50 e k x, k > 1. Aufgabenstellung: Skizzieren Sie den typischen Verlauf des Graphen einer solchen Funktion und geben Sie an, welche Auswirkung eine Vergrößerung des Parameters k auf den Kurvenverlauf hat! Leitfrage: Gegeben ist eine Funktion g mit der Gleichung g(t) = a 1,05 t, a > 0 und a R. g beschreibt einen Wachstumsprozess von Bakterien und g(t) gibt deren Anzahl nach t Sekunden an. Lösen Sie die nachstehend angeführte Gleichung nach t und interpretieren Sie die Lösung, wenn t die Zeit in Sekunden beschreibt! a 1,4 = a 1,05 t Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Exponentialfunktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Beispielgraph: f(x) 50 f x Wird der Parameter k vergrößert, so verläuft der Graph näher an den Achsen. Der Schnittpunkt mit der senkrechten Achse bleibt aber gleich. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Skizze angegeben und die Auswirkung einer Vergrößerung von k korrekt beschrieben wird. In der Skizze müssen ein Schnittpunkt mit der senkrechten Achse und der Monotonieverlauf klar erkennbar sein. Lösungserwartung zur Leitfrage: t 6,9 Sekunden Innerhalb von ca. 6,9 Sekunden steigt der Wert von g(t) um 40 %. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gleichung korrekt gelöst und eine (sinngemäß) richtige Interpretation angegeben wird. Toleranzintervall für t: [6,8 s; 7 s] Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Bremsweg Ein PKW beginnt zum Zeitpunkt t = 0 gleichmäßig zu bremsen. Die Funktion v beschreibt die Geschwindigkeit v(t) des PKW zum Zeitpunkt t (v(t) in Metern pro Sekunde, t in Sekunden). Es gilt: v(t) = 28 7t. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Länge desjenigen Weges, den der PKW während des gleichmäßigen Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt, und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Stellen Sie den Graphen der Funktion v und die Länge des berechneten Bremsweges im nachstehenden Koordinatensystem grafisch dar! 30 v(t) ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 t Erklären Sie, wie sich der Graph von v und die Länge des Bremsweges verändern, wenn die Geschwindigkeit am Beginn des Bremsvorgangs niedriger ist und die Geschwindigkeitsänderung bei diesem gleichmäßigen Bremsvorgang gleich bleibt, die Geschwindigkeit am Beginn des Bremsvorgangs gleich ist und die Geschwindigkeitsänderung bei diesem gleichmäßigen Bremsvorgang größer ist! Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Bremsweg Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Mögliche Berechnung: v(t) = 0 t = (28 7t)dt = (28t 3,5t 2 ) = Die Länge des Bremsweges beträgt 56 m. Mögliche Erklärung: s(t) ist eine Stammfunktion von v(t), daher muss v(t) integriert werden. Der Bremsvorgang ist nach 4 s beendet, da v(4) = 0, daher ist 4 die obere Grenze des bestimmten Integrals. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge des Bremsweges richtig berechnet und die Vorgehensweise (sinngemäß) richtig erklärt wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: Die Länge des Bremsweges ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von v und der t Achse. 30 v(t) v ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 t Bei niedrigerer Anfangsgeschwindigkeit und gleichbleibender Geschwindigkeitsänderung verläuft der Graph von v parallel zum ursprünglichen Fall und die Länge des Bremsweges nimmt ab. Bei gleicher Geschwindigkeit und größerer Geschwindigkeitsänderung ist der Graph von v steiler und die Länge des Bremsweges nimmt ab. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Graph von v und die Länge des Bremsweges richtig dargestellt werden. Beide Veränderungen müssen anhand des Graphen von v (sinngemäß) richtig erklärt werden. Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Spielkarten Ein Kartenspiel besteht aus 36 Karten. Von jeder der vier Farben (Herz, Karo, Kreuz, Pik) gibt es neun Karten. Ein Teil der Karten wird verdeckt an die Spieler ausgeteilt, wobei jeder Spieler vier Karten erhält. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler keine einzige Herz-Karte erhält, und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Ändert sich die Wahrscheinlichkeit, beim Austeilen von vier Karten keine einzige Herz-Karte zu erhalten, wenn das Kartenspiel aus mehr als 36 Karten aber aus gleich vielen von jeder Farbe besteht? Im Falle einer Veränderung beschreiben Sie diese und begründen Sie Ihre Antwort! Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Spielkarten Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: ,298 Mögliche Erklärung: Die Einzelwahrscheinlichkeiten (z. B. als relative Anteile bzw. durch den Ansatz günstige durch mögliche Fälle ) werden ermittelt und multipliziert ( und -Bedingung bzw. 1. Pfadregel). Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird und eine (sinngemäß) richtige Vorgehensweise erklärt wird. Toleranzintervall: [0,29; 0,30] Lösungserwartung zur Leitfrage: Bei mehr als 36 Karten nimmt die Wahrscheinlichkeit, beim Austeilen von vier Karten keine einzige Herz-Karte zu erhalten, zu. Mögliche Begründungen: durch Berechnung (anhand eines geeigneten Zahlenbeispiels) verbal (Argumentation, dass bei einer größeren Anzahl von Karten das Ziehen ohne Zurücklegen durch ein Ziehen mit Zurücklegen modelliert werden kann und dadurch die gesuchte Wahrscheinlich zunimmt) durch einen allgemeinen Ansatz Beispiel: Wenn das Kartenspiel aus 4n Karten besteht, so ist die Wahrscheinlichkeit, keine Herz- Karte zu erhalten: 3n 4n 3n 1 4n 1 3n 2 4n 2 3n 3 4n 3 Der erste Faktor beträgt immer 3, die anderen Faktoren sind umso größer, je größer n ist. 4 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Antwort und eine (sinngemäß) korrekte Begründung angegeben werden. Kompensationsprüfung 11 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13