Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben

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1 Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben Aufgabe C Gegeben ist eine Funktion f durch f ( ) = + 3. Gesucht sind lineare Funktionen, deren Graphen zum Graphen von f senkrecht verlaufen. a) Geben Sie zwei Gleichungen von verschiedenen Funktionen an, die diese Bedingung erfüllen. b) Stellen Sie Ihre graphisch dar. C.a).b) z. B. g ( ) = + h ( ) = + 3 f y g I II K h Aufgabe C Skizzieren Sie den Graphen einer streng monoton fallenden Funktion mit einer Nullstelle und einer Wendestelle. C. z. B.: y Januar 03

2 Aufgabe C 3 Gegeben ist eine Funktion f mit f (3) = 0, f (3) = 0 und f (3) =. Formulieren Sie zwei Eigenschaften der Funktion f, die aus den gegebenen Angaben geschlussfolgert werden können. C 3 3. z. B. Die Funktion f hat bei = 3 eine Nullstelle. Die Funktion f hat bei = 3 einen lokalen Tiefpunkt. I II K6 K Aufgabe C 4 Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit dem Wendepunkt ( / f( ) ) Geben Sie die Aussagen an, die in jedem Fall zutreffend sind. (I) f ( ) = 0 (II) f ( ) = 0 (III) f ( ) = 0 W. (IV) Die Funktionswerte von f haben bei = einen Vorzeichenwechsel. C 4 4. (II) (IV) K I II Aufgabe C 5 Gegeben ist für R eine stetige und differenzierbare Funktion f mit den Eigenschaften: - f ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. - f hat keinen Wendepunkt. - f (3) = und f (3) = a) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen. b) Geben Sie die Anzahl der möglichen Nullstellen von f an. C 5 5.a) y y I II K6 5.b) keine eine Nullstelle K Januar 03

3 3 Aufgabe C 6 Aus einem rechteckigen Blatt Papier (Länge 0 cm, Breite cm) kann auf zwei verschiedene Arten der Mantel eines Zylinders hergestellt werden. Peter behauptet: Weil die Flächeninhalte der Mantelflächen gleich sind, sind auch die Volumina der entstehenden Zylinder gleich. Hat Peter recht? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (Hinweis: Die Herstellung des Zylindermantels soll ohne Überlappung erfolgen.) C 6 6. Peter hat nicht recht. 0 6 V = π cm cm V = π cm 0cm π π V = cm V = cm π π V V I II K K Aufgabe C 7 Aus einem rechteckigen Blatt Papier (Länge a, Breite b) kann auf zwei verschiedene Arten der Mantel eines Zylinders hergestellt werden. Peter behauptet: Weil die Flächeninhalte der Mantelflächen gleich sind, sind auch die Volumina der entstehenden Zylinder gleich. Hat Peter recht? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (Hinweis: Die Herstellung des Zylindermantels soll ohne Überlappung erfolgen.) C 7 7. Peter hat nicht recht. a r = π b r = π a b V = π b V = π a π π V a b = 4 π b a V = 4 π V = V nur für a = b, sonst V V I II K K Januar 03

4 4 Aufgabe C 8 Gegeben ist die Funktion f durch f() = ( ). a) Zeichnen Sie den Graphen von f in einem geeigneten Intervall. b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle. 4 c) Der Graph wird um v = verschoben. Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung 3 des neuen Graphen an. + C 8 8.a) 5 8.b) y = + 4 K 8.c) f() ( 6) = Aufgabe C 9 Gegeben sind die Funktionen ( R) (I) y = ( + ) (II) y = 3 (III) y = + 3 (IV) y 3 + y = a) Geben Sie die Funktion an, die keine lineare Funktion ist. b) Weisen Sie nach, dass zwei Funktionen identisch sind. c) Begründen Sie, dass die Graphen von zwei Funktionen zueinander parallel verlaufen, aber nicht identisch sind. d) Bestimmen Sie die Funktionen, die zueinander orthogonal sind. e) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion (III) im Intervall 5. = (V) ( ) Januar 03

5 5 C 9 9.a) (III) 9.b) Nachweis, dass (II) und (V) identisch sind K 9.c) Nachweis für (I) und (II) bzw. (V) gleicher Anstieg und unterschiedliches absolutes Glied 9.d) (I) und (II) bzw. (V) sind orthogonal zu (IV) K 9.e) y K Aufgabe C 0 Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat folgende Eigenschaften: I. G f hat im Ursprung einen lokalen Tiefpunkt. P 3; 0. II. G f schneidet die -Achse im Punkt ( ) III. G f und die -Achse begrenzen im Intervall [ ; 3] Fläche vollständig. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen von f. 0 eine im I. Quadranten liegende C 0 0 K6 y Januar 03

6 6 Aufgabe C Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat folgende Eigenschaften: (I) G f hat im Ursprung einen lokalen Tiefpunkt. P 3; 0. (II) G f schneidet die -Achse im Punkt ( ) (III) G f und die -Achse begrenzen im Intervall [ ; 3] 0 eine im I. Quadranten liegende Fläche vollständig. Der Flächeninhalt dieser Fläche beträgt A = 9 FE. 4 Begründen Sie, dass sich aus diesen Bedingungen folgender Ansatz für die Bestimmung der Funktion f ergibt: 3 () a 0 + b 0 + c 0 + d = 0 () 3a 0 + b 0 + c = 0 (3) 7 a + 9b + 3c + d = 0 (4) 8 9 a + 9b + 9 c + 3 d = 4 4 C Ansatz: Begründung: f() = a 3 + b + c + d f () = 3a + b + c () f (0) = 0 () f (0) = 0 (3) f (3) = 0 (4) 3 f ()d = I II K K6 Aufgabe C Die Graphen einer Schar ganzrationaler Funktionen f t dritten Grades mit dem Parameter t haben folgende Eigenschaften: (I) Die Graphen besitzen einen lokalen Tiefpunkt im Ursprung. (II) Jeder Graph schneidet die -Achse im Punkt P( t; 0) mit t R; t > 0. (III) Jeder Graph und die -Achse begrenzen im Intervall [ 0 ; t] eine im I. Quadranten liegende Fläche vollständig. t Der Flächeninhalt dieser Fläche beträgt A = FE. 4 Stellen Sie einen sansatz zum Ermitteln der Gleichung dieser Funktionenschar auf. Hinweis: Die Angabe der Funktionsgleichung ist nicht erforderlich. C 3 Ansatz: f() = a + b + c + d f () = 3a + b + c () f (0) = 0 () f t (0) = 0 (3) f (t) = 0 (4) f ()d = 4 t 0 I II K6 K Januar 03

7 7 Aufgabe C 3 Bestimmen Sie anhand der gegebenen Graphen folgende Werte. a) f( ) b) Nullstelle von h c) Monotonie von h d) Schnittpunkte des Graphen der Funktion g mit den Koordinatenachsen e) Hochpunkt des Graphen der Funktion g f y g h -5 C 3 f = 3.a) ( ) 0 3.b) o =, 5 3.c) streng monoton fallend 3.d) ( 4; 0), ( ; 0), ( 0; ) P 3.e) ( ; 0) P P y H Januar 03

8 8 Aufgabe C 4 Geben Sie den Definitionsbereich und die smenge an. a) 5 = + b) 3 = c) = 4 C 4 4 a) R, ; L = { 3} L = { ; 5} L = { 0; } b) R c) R Aufgabe C 5 Gegeben ist ein Kreis mit einem Radius von 5 cm. Eine Sehne dieses Kreises ist 8 cm lang. Berechnen Sie den Abstand des Kreismittelpunktes von dieser Sehne. C 5 5 Ansatz über Satz des Pythagoras d =3 cm I II K Aufgabe C 6 a) Skizzieren Sie die Funktion f () = cos + in ein Koordinatensystem im Intervall 3 π π; R. b) Ermitteln Sie den Wertebereich der Funktion f(). c) Geben Sie die Gleichung der Funktion y f() = cos + = in der Form y sin( + c) + d = an. C 6 a) graphische Darstellung: y -π O,5π b) Wertebereich: 0 y ; y R K/ c) π Funktionsgleichung: y = sin + Januar 03

9 9 Aufgabe C 7 Der Erwartungswert der Zufallsgröße X mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung beträgt,. X = i 0 3 ( X ) P = 0, p 0,3 q i Die Wahrscheinlichkeiten p und q sind gesucht. Geben Sie einen sansatz an. C 7 7 I p + q = 0,5 II p + 3q = 0,6 I II K Aufgabe C 8 C sind Eckpunkte der rechteckigen Grundfläche einer geraden Pyramide. Der Punkt S ist die Spitze der Pyramide. Die Höhe h beträgt 7 LE. Die Punkte A ( ; ; 0), B ( ; ; 0) und ( 5; ; 0) a) Ermitteln Sie den Punkt D der Grundfläche. b) Geben Sie die Punkte an, die Spitze dieser Pyramide sein könnten. S ( ; 0,5; ), S ( 3;,5; 7), S 3 ( 0,5;,5; 7), S 4 ( 3;,5; 7) c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. C 8 8.a) ( 5; ; 0) D K 8.b) S, S 4 K I II 8.c) 8 V = 3 VE Januar 03

10 0 Aufgabe C 9 Geben Sie jeweils die Koordinaten eines Punktes in einem Koordinatensystem mit folgender Eigenschaft an: a) Der Punkt liegt in der y-z-ebene. b) Der Punkt liegt auf der z-achse. c) Der Punkt hat von der -z-ebene den Abstand LE. C 9 9.a), b), c) jeweils einen Punkt angeben K I II Aufgabe C 0 Gesucht ist die smenge der Gleichung 3 = 0 Bewerten Sie folgenden sweg. C =0 : =0 + = L={-;} ( R) G =. 0 Der sweg ist nicht korrekt. Mit dem ersten Umformungsschritt wäre eine Fallunterscheidung nötig, da die Division durch Null nicht erklärt ist. L = ; 0;. Die korrekte ist { } I II K,K Aufgabe C Ein Sportschütze trifft erfahrungsgemäß mit einem Schuss das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Er feuert fünf Schüsse unter jeweils gleichen Bedingungen auf ein Ziel ab a) Interpretieren Sie in diesem Zusammenhang den Term 0,9 0, 0. b) Geben Sie die Werte an, die dem Term von Aufgabe a) nicht entsprechen können. Begründen Sie. ) p=,0035 ) p=-0, ) p=0, ) p=0,0000 C a) Mit dem Term wird die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnet. (Binomialverteilung mit der Kettenlänge n = 5, Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,9; Wahrscheinlichkeit für Fehlschuss q = 0,) b) () und () wegen 0 P (4) ist Wahrscheinlichkeit für kein Treffer K3, K6 K Januar 03

11 Aufgabe C Gegeben ist der Graph der Funktion f() = 3sin. Zeichnen Sie ein Koordinatensystem ein und beschriften Sie die Achsen. C z. B.: y -π π π Aufgabe C 3 Entscheiden Sie, ob folgende Aussage wahr ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Jedes Parallelogramm ist ein Drachenviereck. C 3 3 falsche Aussage Nur wenn die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, trifft es zu. Zeichnung möglich I II K K6 Januar 03

12 Aufgabe C 4 Entscheiden Sie, ob folgende Aussage wahr ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Ein Rhombus (Raute) besitzt zwei stets gleich lange Diagonalen. C 4 4 falsche Aussage, gilt nur für Spezialfall Quadrat Zeichnung möglich I II K K6 Aufgabe C 5 Für eine Ausstellungsvitrine soll aus 0 m langem Draht ein Kantenmodell eines Quaders mit quadratischer Grundfläche gefertigt werden. Die Höhe des Körpers sei dreimal so groß wie eine Grundkante. Berechnen Sie die Längen der Kanten des Quaders. C 5 a Länge einer der quadratischen Grundkanten c Länge der Höhe Ansatz: 8 a + 4c = 0 m, c = 3a Ergebnis: a = 0,5 m; a = 0,5 m Die Grundkanten sind jeweils 0,5 m lang und die Höhe beträgt,5 m. I II K3 K Aufgabe C 6 Gegeben ist ein Kreis. Sein Flächeninhalt wird verhundertfacht. Erläutern Sie die Veränderung des zugehörigen Umfangs. C 6 Erläuterung, dass u = 0 u0 K/K6 Januar 03

13 3 Aufgabe C 7 Konrad hat zur Veranschaulichung der Anzahl der Geschwister seiner Mitschüler folgendes Diagramm erstellt. Bewerten Sie anhand des Diagramms, welche Aussagen wahr sind. a) Mindestens 5 der Mitschüler sind Einzelkinder. b) Mehr als die Hälfte der Mitschüler haben mindestens zwei Geschwister. c) Die Anzahl der Kinder mit vier Geschwistern ist genauso groß wie die mit drei Geschwistern. d) Es gibt viermal so viel Schüler mit einem Geschwisterkind wie mit drei Geschwistern. e) Höchstens 80 % der Schüler haben Geschwister. f) Mehr als 30 % haben ein Haustier. C 7 a) b) d) richtig mit Begründung K6 Aufgabe C 8 Ein Feld wird von acht Mähdreschern in sechs Stunden abgeerntet. Berechnen Sie die Zeitersparnis, wenn Mähdrescher im Einsatz sind. C 8 Zeitersparnis von Stunden K3 Januar 03

14 4 Aufgabe C 9 Geben Sie zur Berechnung des Flächeninhalts der Figur zwei unterschiedliche Terme an und weisen Sie deren Gleichwertigkeit nach. a b e f C 9 z. B.: ( a + b)( e + f) und a e + b e + a f + b f Nachweis, dass ( a + b)( e + f) = a e + b e + a f + b f I II K Aufgabe C 30 Beschreiben Sie die Fehler, die bei den Termumformungen gemacht wurden. a) ( + 4)( 5 + 7) = b) ( a + b)( a 4b) = a 4b C 30 a) b) Der Term 0 fehlt. Der Term -ab fehlt. K6/ / I II Aufgabe C 3 Geben Sie die Terme an, mit denen man den Flächeninhalt der Figur berechnen kann. 3 a b A A 3a + ( b a) A = 3b b a = ( ) = 3( a b) A = ( a + b) C 3 I, II, IV Januar 03

15 5 Aufgabe C 3 Vereinfachen Sie folgende Terme soweit wie möglich. a) 98 b) 00 + c) 3 ( 75 4 ) C 3 a) 4 b) c) 6 Aufgabe C 33 Ein PKW verbraucht etwa 8 Liter Benzin auf 00 km. Berechnen Sie den Benzinverbrauch für 70 Kilometer. C 33 5,6 Liter K3/ Aufgabe C 34 Zeigen Sie, dass f () = 0,5 für 0 > eine Umkehrfunktion von ( ) 0, 5 g () = ist. C 34 rechnerischer Nachweis oder durch graphische Darstellung I II K Aufgabe C 35 Zwei ideale Würfel mit den Augenzahlen,, 3, 4, 5, 6 werden geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der gewürfelten Augenzahl mindestens 0 beträgt. C 35 p = 6 36 K3 I II Januar 03

16 6 Aufgabe C 36 In einem Geschäft werden gefüllte Glückswürfel verkauft. In jedem fünften Glückswürfel befindet sich eine Tierfigur. Julia kauft zwei dieser Würfel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Julia mindestens eine Tierfigur erhält. C 35 P(A) = 0,8 = 0,36 K3 Aufgabe C 37 Bei der Herstellung von Kaffeebechern werden erfahrungsgemäß 70 % fehlerfrei glasiert. Man entnimmt der laufenden Produktion rein zufällig 0 Kaffeebecher. a) Geben Sie einen Term für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A an. A:= Von den entnommenen Bechern ist nur der 7. defekt. b) Beschreiben Sie verbal ein Ereignis B, dessen Wahrscheinlichkeit durch P(B) = 0,7 + 0,7 0,3 + 0,7 0,3 berechnet wird. C 37 a) 9 P(A) = 0,3 0,7 K3/ b) B:= Von den 0 entnommenen Bechern sind höchstens defekt. K6 Aufgabe C 38 c 4 Gegeben sind die Vektoren a = c und b =. 4 Bestimmen Sie c so, dass die Vektoren zueinander orthogonal sind. C 38 c = 6 Januar 03

17 7 Aufgabe C 39 A. Der Punkt A ist der Bildpunkt von A bei der Spiegelung an der -z-ebene. a) Beschreiben Sie die besondere Lage der Geraden, die durch die Punkte A und A verläuft. b) Geben Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der -z-ebene an. Gegeben ist der Punkt ( ; 3;5) C 39 a) Beschreibung, z. B.: Gerade ist parallel zur y-achse K6 b) S ( ;0;5 ) K Aufgabe C 40 Untersuchen Sie die Vektoren Ergebnis geometrisch. 0 a = 0, b = 3, 4 C 40 z. B.: c = 3 7 a, b und c = 3 und Interpretation 4 7 auf lineare Abhängigkeit. Interpretieren Sie das I II K Aufgabe C 4 6 Gegeben sind die Geraden g mit = 6 + s (s R) und h mit 3 3 Entscheiden Sie, welche Aussage zutrifft. I Die Geraden verlaufen parallel. II Die Geraden schneiden sich senkrecht. III Die Geraden schneiden sich nicht senkrecht. IV Die Geraden verlaufen windschief. V Die Geraden sind identisch. 0 = 8 + t (t R). 0 3 C 4 III ist richtig K Januar 03

18 8 Aufgabe C 4 Zeigen Sie, dass die Punkte H( ;; ), S( 3;; ) und ( 0; ;6 ) Untersuchen Sie, ob das Dreieck rechtwinklig ist. V ein Dreieck bilden. C 4 Punktprobe Dreieck nicht rechtwinklig Aufgabe C 43 Geben Sie den Term an, der dem unbestimmten Integral A: ln + t B: ln + t C: ln d entspricht. D: ln + t ( t R) C 43 B: ln + t Aufgabe C 44 Begründen Sie, dass die Funktion f keine lokalen Etremwerte besitzen kann. a) f() = 8 0 b) f() = e + 3 f() = 5 d) f () = ln( + ) c) ( ) 3 C 44 Begründung, z. B. über das Monotonieverhalten der Funktion f K Aufgabe C 45 0;0;0 Die Punkte A ( ), B ( 4;5;0 ), C ( 0;6;0 ), D und ( ;3;6 ) S sind Eckpunkte einer vierseitigen Pyramide. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD in dieser Reihenfolge ein Parallelogramm ergibt. b) Überprüfen Sie, ob dieses Parallelogramm ein Rhombus ist. c) Zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem. Januar 03

19 9 C 45 a) D( 4;;0 ) K b) Überprüfung mit der Entscheidung: kein Rhombus K/ c) Zeichnung I II Aufgabe C 46 Gegeben sind die Punkte A( 7;3) und B( 3;8). Der Punkt T teilt die Strecke AB im Verhältnis : 3. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A und B verläuft. b) Geben Sie die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen an. c) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes T. C 46 a) y = 0,5 + 6, 5 b) S ( 3;0), S y ( 0;6,5 ) c) T ( 4,5;4,5 ) Aufgabe C 47 Die Punkte A ( 5; ;), B ( 4;;3 ), C ( ;0;) und D( 9;5; ) sind die Eckpunkte eines ebenen Vierecks ABCD. Geben Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes an. C 47 Angabe der Koordinaten des Punktes: M (6,5; 3; ) Januar 03

20 0 Aufgabe C 48 Gegeben sind die Punkte A( ;5; ), B( 3; 5;4) und ( 7; 5;a) C. Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Bestimmen Sie den Parameter a so, dass der Punkt C auf g liegt. C 48 Für t = 3 ist a = 6 K Aufgabe C 49 Gegeben sind die Punkte A ( 0;3;0), B ( 0;0;3) und C ( 0;3;3) Abstand des Punktes C von der Geraden g(ab).. Bestimmen Sie den C 49 a = 3 K Aufgabe C 50 Die Funktion f mit a) y = f() = a + b + b) y = f() = a e b hat an der Stelle 0 = den Anstieg und den Funktionswert. Ermitteln Sie die Werte für a und b. C 50 a) b) 7 a = ; b = a = ; b = e I II K K Januar 03