VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR

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1 VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR 9.5 Sinus- und Kosinusfuntionen 9.5. Bleib fit in Sinus- und Kosinusfuntionen. a) Die. Koordinate eines Puntes P ann diret in den Graphen übertragen werden. r = b) Die. Koordinate eines Puntes P ann auf der Rechtsachse abgelesen werden. Um sie diret in den Graphen zu übertragen, müssen wir die. Koordinate zunächst auf die Hochachse übertragen. Dazu zeichnen wir einen Viertelreis von der. Koordinate auf der Rechtsachse bis zur Hochachse. Der Wert, an dem der Viertelreis auf die Hochachse trifft, ann nun diret in den Graphen als. Koordinate übertragen werden. r =

2 . a) sin (,4),58 Aus Symmetriegründen auch: α = 5,4 Also α =,58, α = 5,4 b) sin (,7) 5,57 Aus Symmetriegründen auch x = 4,4 Mit Periodizität und z folgt: L = {5,57 + z ; 4,4 + z }. a) () f(x) = sin (x) () f(x) = sin x ( ) () f(x) =,5 sin (x + ) b) () Strece den Graphen mit dem Fator parallel zur y-achse und verschiebe den Graphen um parallel zur y-achse nach unten. () Strece den Graphen mit dem Fator parallel zur x-achse und spiegele den Graphen an der y-achse. () Strece den Graphen mit dem Fator,5 parallel zur y-achse und verschiebe den Graphen um parallel zur x-achse nach lins.

3 4. a) (,5 ) f(x) =, sin x, mit f(x): Auslenung in cm, x: Zeit in s b) (,5 ) c),5 ( = sin x,,5 ) f(4) =, sin 4,75, also,75 cm unter der Ruhelage. x =,4 Im Sachzusammenhang ergeben sich als Lösungen x =,94 und x =,8. Also: Die Feder befindet sich nach ca. s zum ersten Mal und nach ca., s zum zweiten Mal in der Auslenung,5 cm. 5. a) Strecung mit Fator in Richtung der x-achse. b) Verschiebung um nach rechts. c) Strecung mit Fator in Richtung der y-achse. d) Strecung mit Fator in Richtung der x-achse und Verschiebung um nach unten. e) Strecung mit Fator in Richtung der x-achse und Verschiebung um nach rechts. f) Strecung mit 4 in Richtung der x- und um in Richtung der y-achse.. a) Periode: Nullstellen: +, +,

4 4. b) Periode: 4 Nullstellen:, c) Periode: Nullstellen: +, 5 +, d) Periode: Nullstellen: +, 4 +, 4

5 5. e) Periode: Nullstellen: +, +, f) Periode: Nullstellen:, g) Periode: Nullstellen: +, +,

6 . h) Periode: Nullstellen: +, +, i) Periode: 4 Nullstellen: + 4, + 4, 7. a) 4 x 4 y Strecen mit 4 Strecen mit parallel zur y-achse parallel zur x-achse Verschieben um 4 nach rechts Verschieben um nach unten

7 7 7. b) 4 x 4 y Strecen mit parallel zur y-achse Strecen mit parallel zur x-achse Verschieben um nach lins Verschieben um nach oben c) 4 x 4 y Strecen mit parallel zur y-achse Strecen mit parallel zur x-achse Verschieben um nach lins Verschieben um nach oben d) 4 x 4 y Strecen mit parallel zur y-achse Strecen mit parallel zur x-achse Verschieben um nach lins Verschieben um nach oben

8 a) Der Graph von f entsteht aus dem Graphen von f durch Verschiebung um nach lins. 4 b) Der Graph von f entsteht aus dem Graphen von f durch Verschiebung um nach unten und durch Verschiebung um nach lins. c) Der Graph von f entsteht aus dem Graphen von f durch Strecung mit parallel zur y-achse und Strecung mit parallel zur x-achse. 9. a) sin e x j b) sin. a) f (x) = sin x + e x j c) sin e j d) sin e x j + 4 x 4 e j [ f (x) = cos x ] b) f (x) = sin x ( ) f( x) = cos x e j c) f (x) = sin ( x + 4 ) ( 4 ) d) f (x) = 4 sin x + 5 e j + 4 cos x + e j + f(x) = cos x. Es ergeben sich folgende Funtionen, dabei ist x = für November, x = für Dezember u. s. w. 9 e j, 9 e x +8 j 9 e j, 5 e j, e 5 j, 5 e j, 5 e x +95 j, x 5 e j +9, List auf Sylt: f (x) 8 sin x +84 Greifswald: f (x) 8,9 sin Travemünde: f (x) 8,4 sin x +85 Hannover: f (x) 8, sin x +87 Potsdam: f (x) 9, sin x +85 Leipzig: f (x) 9, sin x +8 Franfurt/M.: f (x) 9 sin Trier: f (x) 8, sin Regensburg: f (x) 9,95 sin 5 e x j+ 7,75 Freiburg: f (x) 9 sin 5 e x j+,5

9 9 7. Fortsetzung Damit ergeben sich folgende Werte: Nov. Dez. Jan. Feb. März Apr. Mai List auf Sylt,,,9,4, 5,9,5 Berechnet 7,,4,9,5, 5,5 9,7 Greifswald 4,5,,7,5,,, Berechnet 5,,4,7,5,,,8 Travemünde 5,,9,,,8,4, Berechnet 5,7,,,,,5,8 Hannover 5,,,5,7,7 7,7, Berechnet 5,,,,7, 7,4,8 Potsdam 4,,8,,, 7,9,9 Berechnet 4,,7,,,9 7,5,4 Leipzig 4,5,4,5,,4 7,8,5 Berechnet 5,,4,,,7 7,,9 Franfurt/M. 4,8,7,5,7 5, 9,, Berechnet 5,,7,5,7 5, 9,5 4, Trier 4,7,7,8,9 5, 8,5, Berechnet 5,,9,8,9 5, 9,, Regensburg,,,,,4 8,, Berechnet,8,9,,9,8 7,8,7 Freiburg 5,7,5,5,9,5, 4, Berechnet,,7,5,7,,5 5, Juni Juli Aug. Sept. Ot. Jahr List auf Sylt 4, 5,8, 4,, 8, Berechnet,4 5,9, 4,, 8,4 Greifswald 5,8,7,5, 9, 7,9 Berechnet 4,,7,5 4, 9,9 8, Travemünde 5,,4,,5 9,5 8, Berechnet 4,5,5,,9, 8, Hannover 5,8 7,,,5 9,4 8,7 Berechnet 5,4 7,,7 4,, 8,7 Potsdam,7 7,9 7,4,9 9, 8, Berechnet, 8, 7, 4, 9,5 8,5 Leipzig,4 7,8 7,,8 9, 8, Berechnet 5,8 7,8 7, 4,5, 8, Franfurt/M. 7, 8, 7,9 4,5 9,4 9,5 Berechnet 7, 8,5 7, 4, 9,5 9,5 Trier 5,8 7,4,7 4, 9,5 9, Berechnet, 7,4,, 9, 9, Regensburg, 7,7,9,4 8, 8, Berechnet,4 7,7,4,7 7,8 7,8 Freiburg 7,5 9,5 8,8 5,8,,5 Berechnet 8, 9,5 8, 5,,5,5

10 7. a) Periodenlänge: 5 Tage: b =. 5 Am Tage des Sommeranfangs (..) ist die astronomische Sonnenscheindauer maximal, am Tage des Winteranfangs (..) minimal. Maximaler und minimaler Wert sind gleich weit von dem Wert entfernt, der für Frühlings- bzw. Herbstanfang angegeben ist, nämlich, h, h =, h 7,8 h = 4, h also: a = 4,; d = (, + 7,8) =. Den Beginn einer periodischen Bewegung ann man auf den.. (8. Tag seit Jahresbeginn) festlegen (Frühlingsanfang): c = 8. f(x) = 4,sin (x 8) + Also: ( ) 5 b). Juli: 9. Kalendertag des Jahres: ( ) f (9) = 4, sin (9 8) +, 5 Die astronomische Sonnenscheindauer beträgt also ungefähr Stunden Modellieren mit Sinus- und Kosinusfuntion 4. a) f(x) = cos(x) hat eine Wendepunte in I = [ ; ]. Damit liegt bei x = das größte Gefälle und bei x = der größte Anstieg. Also: f ( ) = sin( ),8 Das größte Gefälle ist 8 %. Der zugehörige Winel ist 59,. b) A = cos xdx, m c) V =, 5 8 m

11 5. a) Da man davon ausgehen ann, dass die Sonnenscheindauer annähernd periodisch ist, mit der Periode t =, ann ein sinusförmiger Verlauf mit dem Strecungsfator angenommen werden. Wird t = geeignet gewählt, ist eine Verschiebung parallel zur t-achse zu berücsichtigen. Die Verschiebung nach oben bzw. die Strecung parallel zur y-achse müssen durch die Parameter a, b angepasst werden. 9 = a + b sin ( ( ) ) b) LGS: = a + b sin () a = 5,5, b = 9 ( ) f(t) = 5,5 9 sin ( t ) c) f( 4), Fehler:,74 (absolut), Fehler:,8 % f() 87,5 Fehler: 55,5 (absolut), Fehler: 7 % Nur im Mai liefert das Modell eine gute Näherung. Das schlechte Ergebnis im Dezember önnte an besonders wenig Sonnentagen liegen. Hier zeigen sich deutlich die Grenzen der Modellierung. d) Aus 8 = 5,5 9 sin ( ) t folgt: t,. Aus Symmetriegründen (Achsensymmetrie zu t = ) folgt auch t = 5,. Also gibt es in den Monaten April und August mehr als 8 Sonnenstunden nach diesem Modell. e) Wendepunte der Funtion liegen bei t = und t =, denn f (t) = bei t = und t =. f) Sonnenscheindauer insgesamt: f (t)dt 5,5 t 9 cos( t ) = + = entspricht einem absoluten Fehler von ca. 77 Sonnenstunden. Damit liegt der Fehler bei ca. 7, % (relativer Fehler).

12 . a) s =, 4 s = 5 b) Eine Möglicheit ist: - Lege den Mittelpunt der Strece AB in den Koordinatenursprung. - Setze als Funtion an: f(x) = a sin(b(x + c)) + d - Extrema von f(x) liegen in den Punten A, B. Es folgt aus Symmetriegründen, dass der Wendepunt im Koordinatenursprung liegt. - Es muss also gelten: c = d = ( ) Für a gilt: a = = - Also: f(x) = sin(bx) - Es gilt: f (x),4 Insbesondere gilt: f () =,4 Also folgt aus cos(b ) b =,4, dass b =,4 =,8. - Es ist p = = 785,4 die Periodenlänge. - Es ist p b,8 9,7 die gesuchte Strece. c) Gesucht: g(x) = ax + bx + cx + d Eine Möglicheit ist: A ist Minimum von g(x), B ist Maximum von g(x). P( ) ist Wendepunt von g(x). ( ) ist der Mittelpunt von AB. Es folgt: Der Graph liegt symmetrisch zum Ursprung mit b = d =. Aus g() =,4 folgt c =,4. s s g ( ) = und g ( ) = also: s s s () a ( ) +,4 = und () a ( ) +,4 = Umformen von () ergibt: s ( ) s () ( ) s a +,8 = s a +,8 = () () ergibt: s s, 4, 8 =,8s = s = 75

13 . d) a) s = 5 b) s = 9,7 c) s = 75 Ma = 5 + 5,4 Mb 9, , 49 Mc ,9 Bei b) und c) ist der Materialverbrauch tatsächlich größer als die angegebenen Werte, da der Profilverlauf gerümmt ist. 7. a) f (t), 5,85 sin ( t) = + mit t = bei 5. Uhr, t = Zeit in min. 4 b) - Zeitdifferenz zu t = (5. Uhr) ist 4 Minuten f(4) =,5 +,85 sin (4,4), m - =,5 +,85 sin ( 4 t ) t 4,9 Aus Symmetriegründen folgt t,. Zwischen ca. 5.5 Uhr und 9.4 Uhr ist der Wasserstand höher als m. c).8 Uhr bis 7.4 Uhr 4 Minuten Durchschnittliche Steiggeschwindigeit in Meter pro Minute:,7 4, 7 Wendepunt von f(t) bei t =. Maximale Steiggeschwindigeit in Meter pro Minute: f () =, 9 cos =, 9. ( ) 4

14 4 8. a) ( ) ( ) f(x) = 45 sin x + sin x + Der Graph ist geeignet, weil er eine Periode von Monaten hat. Zunächst wächst die Anzahl schnell an, erreicht ein Maximum. Anschließend fällt sie schnell, dann langsamer und schließlich wieder schneller. Die Anzahl wird minimal und steigt wieder schnell. Man erennt: bei x liegt ein Maximum und bei x ein Minimum. Im GRAPH-Modus erhält man das Maximum (,4 5,) und das Minimum (9,9 874,4). Also gilt: Am. Februar ist die Herde am leinsten (874 Tiere); am. Juni ist die Herde am größten ( Tiere). b) Bis zum. Februar fällt der Bestand. Danach nimmt der Bestand bis zum. Juni zu. Ab diesem Zeitpunt fällt der Bestand bis zum. Februar des nächsten Jahres. Die Wendepunte von f(x) sind zu bestimmen. Dort liegen extremale Steigungen vor. Man erhält im GRAPH-Modus die Stellen x = ; x =,5; x = und x = 8,4. Bei x = ist der größte Zuwachs und bei x =,5 bzw. x = 8,4 die größte Abnahme. Im GRAPH-Modus (oder mit n-derive) ermittelt man: f () = 99, 48 und f (,5) = 54,9 ( = f (8, 4) ). Am. April wächst der Bestand der Herde am stärsten (um ca. Tiere pro Monat). Am 5. Juli und am 5. Dezember fällt der Bestand am schnellsten (um ca. 55 Tiere pro Monat).

15 5 9. a) Der Graph hat eine Periode von ca. s und schwant zwischen den y-werten, m und m. Die Schwimmerin wechselt in diesem s s Rhythmus ihre Geschwindigeit zwischen diesen Werten. f(x) =,4 sin(,x) +, Die Geschwindigeit ist dabei stets zwischen, m und m s s. b) f (x) =,cos(, x) = xe = 5,4, nach 5,4 s. (Berechnung auch im GRAPH-Modus oder mit Max im Editor) t,4 t c) s(t) = f (x)dx cos(,x), = +, = 4cos(, t) +, t + 4 insbesondere s() 9,5 m. (Berechnung auch mit fnint möglich) d) g(x): s() =,sin(,x) + dx,, = cos(,x) +,x 9, m h(x): s() =,4sin(,x) +,dx,4, = cos(, x) +, x 45, 5 m

16 9. d) Fortsetzung i(x): s() =,4sin(,x) +,,xdx,4, = cos(,x) +,x,5x,5 m Bei g(x) hält die Schwimmerin die Geschwindigeit gleichmäßiger (zwischen, m und.9 m s s ). Bei h(x) ändert sich die Durchschnittsgeschwindigeit (sie ist leiner). i(x): Der Vorgang ist nicht mehr gleichmäßig periodisch. Die Geschwindigeiten schwanen nicht mehr zwischen zwei gleich bleibenden Werten. Die Durchschnittsgeschwindigeit nimmt laufend ab. e) Periode: b = = Der Vorgang ann durch f(x) a sin( x) x: Zeit in s. Es gilt: = modelliert werden; ( ) ( ) a sin x dx = 5 acos x = a = 5 a,45 m (maximale Geschwindigeit) s f(x) =,45 sin x Also: ( ) Schätzung: Der Schwimmer schafft in min ( s) ca. 7,5 Bahnen (7,5 s). Die Strece ist 7,5 5 = 87,5 m lang. Berechnung: 7 Bahnen schafft er in s, das sind 75 m. Es verbleiben noch 8 s. 8 ( ),45 sin x dx =,48 m. Insgesamt sind es 87,48 m.

17 Funtionsuntersuchungen. Der Graph ist symmetrisch zur y-achse. Für liegen die Nullstellen bei und ( + ). Für berührt der Graph von f die Parabel g(x) = x oder die Parabel g (x) = x an der Stelle. Es existieren unendlich viele Schnittpunte mit den Winelhalbierenden. Diese liegen symmetrisch zur y-achse. Die Graphen f(x) = x cosx und g(x) = x schneiden sich, wenn cos x =, also für x =,. Die Graphen von f(x) = x cosx und h(x) = x schneiden sich, wenn cos x =, also für x = ( + ). An dieser Stelle berühren sich sogar die beiden Graphen: f(x) = xcosx+ x ( sinx) f ( ) = g(x) = x g ( ) = f (( + ) ) = ( + ) h(x) = x h (( + ) ) = ( + )

18 8 4. a) f(x) =,5x+ sin(x) f (x) = cos(x),5 f (x) = sin(x) x [, ] liefert für f (x) = x 4 E =, x E = ( E ) ( ) 4 4 ( E ) ( ) f x = f > TP bei x =, TP (,9,) f x = f < HP bei x =, HP (4,9,9) f(x) =,5x + sin(x)

19 9 4. b) Setze: g(x) = ax + bx + cx + d Löse das Gleichungssystem: g( ) = f( ) a + b + c+ d = g( ) = f( ) a b c = + + = g( ) = f( ) a+ b = g ( ) = f ( ) a = Dann: g(x) = x +,578x 4,448x + 5, f(x) =,5x+ sinx g(x) = x +, 578x 4, 448x + 5,77 c) Funtionen schneiden sich auf I = [, ] nur bei x =. oder Also: A = f(x) g(x)dx + f(x) g(x)dx,48 f (x) g(x) dx =,48. x f (x) g(x) = sin x +,578x +,948x, = h(x) An den beiden Graphen ist erennbar, dass das Maximum der Differenz nur an den Rändern x = bzw. x = liegen ann. h () =, An beiden Stellen ist die Differenz maximal. h () =,

20 5. Es gilt: f(x) = cos(x) Damit gilt: f(x) = sin(x) + c Aus P( ) auf dem Graphen von f folgt: c = sin (),7 Eine Nullstelle von f (x) = sin x +,7 liegt bei x,59; eine weitere bei x = +,59,. Also liegt im Intervall [; ] eine Nullstelle von f. A = ( sin(x) +,7) dx = [ cos(x) +,7x] 4,9 4. f(x) = x sin(x) HP(, 9,95) Berechnung mit dem GTR liefert:,9 A =,9,95 x sin(x)dx 5,4 7. a) Der Graph ist achsensymmetrisch, denn f( x) = f(x). f(x) = x sin(x) f(x) = sin(x) + x cos(x) f (x) = cos(x) xsin(x) f(x) = liefert mit dem GTR: xe = 4,9; x E =,; x E =,; x E = 4,9 oder 4 Mit f x folgt TP bei x E 4,9 4,8 ( E ) ( E ) > ( ) E < E (,,8) f x folgt HP bei x E E (,,8 ) E4 ( 4,9 4,8) > E ( ) ( E ) f x folgt TP bei x 5 E5 5 xe 5 =

21 4 7. a) Fortsetzung f(x) = x sin(x) b) Schnittpunte von f(x) und sin(x) liegen bei: {,,,,, }, werden aber nicht benötigt, wenn man das Integral folgendermaßen berechnet. A = x sin(x) sin(x)dx 5, 45 c) Schnittpunte: a sin x = x sin x, (a x) sin x =, a x = oder sin x =. x =, x = a, x = sind die Schnittpunte von g a (x) und f(x) im Intervall [, ]. a muss positiv sein, sonst gibt es nur eine Fläche. Aus x sin(x) a sin(x)dx = folgt mit dem GTR (solve): a =,57 Anderer Lösungsweg: Man betrachtet die beiden Flächen und vermutet a = (genau in der Mitte des Intervalls). Man stellt dann mit fn Int ( x sin x sin x, x,, ) = fest, dass die Vermutung stimmt.

22 4 8. a) Ein Graph entspricht der Winelhalbierenden. In f t (x) ist der. Summand null t =. Einer der beiden anderen Graphen liegt zunächst über der Winelhal- bierenden t >. Da f t ( ) etwa Einheiten über der Winelhalbierenden liegt, folgt t. Der letzte der Graphen liegt zunächst unter der Winelhalbierenden t <. Da f t ( ) etwa eine Einheit über der Winelhalbierenden liegt, folgt t. b) Für t, t und t t gilt: x + tsin(x) = x + t sin(x) sin x =, also x = oder x = oder x = c) f t (x) = x + t sin(x) f t (x) = t cos(x) + Für t = besitzt f t eine Extrema. Aus f t (x) = folgt cos x =.. t - Für t < hat der Graph von f t eine Extrema. - Für t = ist x =. f (x) = cosx + Der Graph wächst. Es liegt ein Extremum vor. d) e) - Für t = ist x = oder x =. Auch hier ist f (x). Es liegen eine Extrema vor. - Für t > gilt: Es liegt ein Hoch- und ein Tiefpunt vor. Für t < gilt dies entsprechend auch, es beginnt aber mit einem Tiefpunt. A = x t sin(x)dx x t cos(x) + = = A entspricht der Fläche unter der Winelhalbierenden: ( ) FΔ = = x + t sin(x)dx = x + t sin(x)dx x tcos(x) x tcos(x) t t t t 4t t 4 = + + = = =

23 4 9. a) f a (x): a, Nullstellen x =, x =, x = g a (x): sin x = a Nullstellen ann es nur geben für < a bzw. a <. Es liegen immer zwei Nullstellen im Intervall [; ]. b) f (x) = cos(x) a a 4 g a (x) = cos(x) a Schnittpunt: a sin x = sin x 4 a a ( + 4 a) = sin x Gleiche Steigung a cos x = cos x 4 a a ( 4 a) a () ( 4 a) + cos x = + = geht nicht, da dann sinx = wäre. () cos x =, d. h. a ( ) 4 a x =. + = 4a a + = 4 a a 4 a + = a = ± = a = Für a = berühren sich die Graphen an den Stellen x = +

24 c) Die Graphen schneiden sich bei x = +, und x = +, Es werden unendlich viele Flächen eingeschlossen. Stellvertretend werden zwei Flächen berechnet: f (x) g (x)dx x cos(x) = =, g (x) f (x)dx x cos(x) = + = +,7. a) f (x) t ( cos(x) t) t = ; t Nullstellen für t [,] x = cos (t) x = cos (t) Sonst gibt es eine Nullstellen. b) t f t (x) = tcos(x) t f (x) = t sin(x) t f t (x) = tcos(x) ( ) t ( ) WP t, WP t t Steigung von f t ist t in WP t und t in WP t. Für jeden Graphen der Schar schneiden sich die Wendetangenten auf der y-achse bei y = t + t.. Also: t = (oberer Graph), t = (mittlerer Graph), t = (unterer Graph). An der Stelle x =,7 gilt: f =,88; f =,7; f =,5. Ansatz: f t (x) = f t (x) liefert ( t ) ( ) t cosx,5sinx + =. Die Nullstellen von cos x,5sin x + liegen bei x =, und x =,4. Die Graphen schneiden sich in P(, + ) und Q( + ).

25 5 4. a) f() =, f ( ) = und ( ) = folgt: a + c =, a + b =, c =, f also a =, b = und c =. Es gilt: f(x) = cos(x). f(x) = sinx f (x) = für x =, x =. f() = ; f( ) = 5; f(5) =,4 Also ist P( 5) das Maximum. b) Für P ( 4) gilt: f(x) = + sin(x) cos(x) Maximum: Ermittlung mit dem GTR Extremum bei P(,78 5,). 5. a) Der Anteil des. Summanden von f und g ist erennbar durch das Unendlicheitsverhalten. Man erennt, dass jeweils ein Vertreter der Schar abgebildet ist. Blau: g ; grün: f In der linen Abbildung erennt man das periodische Verhalten. Die Funtionswerte weichen maximal um ± von den Funtionswerten von x bzw. x ab. Das erennt man auch gut an den Graphen. > : lim f (x) =, lim f (x) = x x x lim g (x) =, lim g (x) = x < : lim f (x) =, lim f (x) = x x x lim g (x) =, lim g (x) = x

26 5. b) Die Graphen entsprechen den im rechten Bild auf S. 5 abgebildeten Graphen. Es wird nur eine Fläche eingeschlossen. Gleichsetzen der beiden Funtionsterme ergibt die beiden Schnittstellen x = und x = = + ( x ); g,(x) =,x + sin( x,) f (x),x sin,, ( ) ,, f (x) g (x) dx =,x,x =, c) Folgende Hinweise fehlen in der. Auflage: Hinweise: Betrachtet werden sollen nur Parameter >. Die Aufgabe sollte mit einem dynamischen Funtionenplotter (z.b. Graphix auf der CD-ROM Mathemati interativ, die dem Band Elemente der Mathemati beiliegt) bearbeitet werden. (Bemerung: Die Aufgabe ann auch mit einem GTR bearbeitet werden, ist aber dann sehr aufwändig.) (I) x ( ) f (x) = x + sin, > Vorbemerung: Der Graph von f ist puntsymmetrisch zum Ursprung. Daher beschränen wir die Untersuchung auf x. (Die Überlegungen önnen dann auf den Fall x < übertragen werden.)

27 7 5. c) Fortsetzung Typische Verläufe von Graphen: =,8 =,554 = =, Nullstellen für x : () x = () - Für leine gibt es viele Nullstellen. - Da x sin( ) > -, gibt es für größere eine Nullstellen mehr, da der Term x zu groß ist. - Durch Probieren findet man: für,47 gibt es genau eine weitere Nullstelle bei x,. (Hier hat der Graph von f zudem ein Minimum.) Extrema für x : ( ) f (x) = + cos x =, also = cos ( x ) Für önnen eine Extrema vorliegen. Für = liegen bei (a + ) mit a, also bei,,,,, Sattelpunte vor.

28 8 5. c) Fortsetzung x (II) ( ) g (x) = x + sin, > Nullstellen: () x = () Nullstellen lins vom Ursprung, also für x< : Es gibt mindestens eine weitere Nullstelle für x <. Begründung: Für leine gilt: Die Gleichung sin x = x hat mindestens eine ( ) Lösung x <, denn dann liegt zwischen - und. x (Beispiel: =,4) x x x sin, also x + =, d.h. eine Nullstelle Für große gilt: ( ) liegt ungefähr bei x =. Andere Begründung: Die. Ableitung von g an der Stelle x = ist, also positiv. Es muss daher lins von x = mindestens eine Nullstelle geben, denn der Graph nähert sich für große dem Graphen von x an. (Beispiele: =,9 Ausschnitt des Graphen für =,7)

29 9 5. c) Fortsetzung () Nullstellen rechts vom Ursprung, also für x > : Für leine gibt es weitere Nullstellen für x >, wenn gilt: sin x ( ) < für < x <. Für größere gibt es ab einer bestimmten Größe von eine Nullstelle für x > mehr, weil der sin x nicht leiner als Anteil von ( ) werden ann und x star überwiegt. Durch Probieren findet man: Für,7 gibt es genau eine weitere Nullstelle bei x,57. (Hier hat der Graph von f zudem ein Minimum.) (Beispiel: Ausschnitt des Graphen für =,7) Extrema: () Mindestens ein Minimum (das globale Minimum) liegt lins vom Ursprung. Begründung: Lins von der Nullstelle ( ) liegt eine weitere Nullstelle und der Graph verläuft zwischen diesen beiden Nullstellen im negativen Bereich, weil g() = positiv ist. () Weitere Extrema: g x (x) =, also x + cos ( ) =. Der Graph dieser Ableitung ist eine der Kosinusurve ähnliche Kurve, die sich um eine Ursprungsgerade mit positiver Steigung schlängelt. - Für leinere hat der Graph von g weitere Nullstellen, also der Graph von g weitere Extrema. Man erennt am Verlauf des Graphen von g auch, dass es nur endlich viele Extrema geben ann. - Für größere gilt: Ab einem bestimmten wird der Abstand von Graphenpunten zur waagerechten Achse größer als. Dann hat der Graph von g eine weiteren Nullstellen, der Graph von g also eine weiteren Extrema.

30 5. c) Fortsetzung Beispiel eines Ableitungsgraphen g für =,9: Zusätzlich findet man heraus: Lins vom Ursprung gibt es weitere Extrema, wenn <,4 ist. Rechts vom Ursprung gibt es nur Extrema, wenn <,55 ist. Beispiel: Graph von g und g für =,4: Beispiel: Graph von g und g für =,55:

31 5. d) = = d. h. bei x =, x = sind Schnittpunte. f (x) g (x) x x, ( ) f (x) g (x) dx = x x = = = e) ( WP ) Ortsurve: f) x x, d. h. y x ( ) w(x) = = = = x f () = g (), also + =. Das geht nur, wenn = ist. Dies ist ausgeschlossen. 4. a) = = x ( ) f (x) = sin ; f (x) = 5 sin( x) Nullstellen f (x), f (x): x = ; 4; ; 8; ; Für die durch 4 teilbaren Nullstellen gilt: ( ) ( ) f x N =, also α 7, ; f x N = 5, also β 8, 4 Für die Nullstellen mit Rest bei Division durch 4 gilt: f x =, also α 7, ; f x = 5, also β 8, 4 ( ) ( ) N N

32 5 4. b) Der Graph von f (x) hat Nullstellen bei jeder geraden ganzen Zahl x. 5 ( ) A f (x) = 5sin( x)dx = cos x =,8 Der Graph von f (x) hat Nullstellen bei n für n. ( ) ( ) ( ) f = ( ) + = + A (x) sin x dx cos x = ( 4 + ) 4 ( ). = + Fasst man A() = 4( + ) als A() 4 4 =. A() =. Funtion auf, so ergibt sich: ( ) A () = und A () > : bei = liegt ein Minimum von A, V() fnint ( sin x ), x,..., = + muss für verschiedene berechnet werden. Werte sind c) ( ) ( ),,5,,7 V(),, 9,8 9,7, Es gibt ein leinstes Volumen, wenn,. ( + ) Oder mit CAS: V() =, also =. d) Es ist ( ) x f (x) cos( ) = +. Aus f (x) = und f ( x E) < folgt für das erste Maximum von f (x): HP ( + ). Die Ortslinie ist: h(x) = +. x 5. a) f (x) = sin(x), f, (x) =, sin(x) Mit dem Rechnerbefehl Max und Min erhält man: Max (,,); Min (,,7) f (x) = sin(x) =, d. h. sin (x) =. Waagerechte Tangenten gibt es nur für <. Für = liegt aber ein Extremum vor. Extrema nur für < <.

33 5 5. b) Aus,x + cos(x) = folgt mit den Nullstellen als Integrationsgrenzen,4,,5x f,(x)dx +,5x f,(x)dx,4,4, =,x + x sin(x) +,x + x sin(x),4 =,59 c) Aus g() = f, (); g(4) = f, (4); g () = f, () folgt mit g(x) = ax + bx + c und g (x) = ax + b : 9a + b + c =,9 a + 4b + c =,5 4a + b =,8 Lösung ist a =,47; b =,479; c =,994 g(x) =,47x,479x +,994 Die größte Differenz tritt am Rand bei x = auf: Wert =,994 =,994 d) Wendepunte von = y = mx + b f (x) sinx; W: = ( ) + b b= Wendetangente : f (x): WP ( ), WP ( ) y = ( ) x + = + + = W: ( ) b b Wendetangente : y = ( + ) x Aus W (x) = W (x) folgt, dass sich die Tangenten unabhängig von stets bei x = schneiden.