a 0 +a 1 x+a 2 x n=0 a n x n := lim

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1 1 Taylor-Entwicklung 1.1 Potenzreihen Def.: Ein Ausdruck der Form a 0 +a 1 +a +... a n n := lim k k a n n, (1) mit einer (unendlichen) Folge reeller Konstanten a 0,a 1,a,... ( Koeffizienten ) und einer Variable, heißt Potenzreihe. Bem.: Formal ist eine Potenzreihe ein Polynom unendlichen Grades. Dagegen ist ein Polynom endlichen (k-ten) Grades immer auch eine Potenzreihe, mit a n = 0 für n > k. Bsp. 1a: Wir betrachten speziell die Koeffizientenfolge a 0 = a 1 = a =... = 1. Stellt die entsprechende Potenzreihe, interpretiert als Grenzwert, n := lim k k n, () zumindest für einen gewissen Wertebereich der Variable, eine endliche Funktion f() dar? Für > 1 ist dies sicher nicht der Fall. Speziell für = 1 dagegen erhalten wir ( ) n 1 = = = f(1 ). (3) Für beliebige 1 ist die k-te Partialsumme der Reihe () gegeben durch k n = k+1, R\{1}. (4) Diese Formel kann man z. B. durch direkte Induktion beweisen (Übungen). Für < 1 verschwindet die Potenz k+1 bekanntlich im Limes k. Daraus schließen wir n k+1 = lim k = 1 =: f(), < 1. (5) Wir identifizieren also die (unendliche) Potenzreihe auf dem Intervall 1 < < 1 mit einer gewöhnlichen (endlichen) Funktion f(). Dieses Beispiel läßt sich verallgemeinern: Satz 1: Jede Potenzreihe a n n besitzt einen Konvergenzradius (KR) r 0, wobei sie für alle mit < r gegen eine endliche Funktion f() konvergiert, während sie für alle mit > r divergiert. (Im Fall = r ist keine allgemeine Aussage möglich.) 1

2 y y = 1++ y = 1+ y = 1 y = 1 Bsp. 1b: In Bsp. 1 gilt r = 1. Daraus schließen wir: Für beliebig vorgegebenes c > 0 hat die Potenzreihe mit den Koeffizienten a n = c n, den KR r = 1, denn es gilt ja c c n n (c) n, (6) (c) n = 1 1 c, c < 1 < 1 c. (7) Satz (Quotientenkriterium): Ist b n > 0 für alle n = 0,1,,... und eistiert b n+1 lim = g 0, (8) n b n so konvergiert die Reihe b n falls g < 1, während sie im Fall g > 1 (inklusive g = ) divergiert. Im Fall g = 1 ist keine allgemeine Aussage möglich. Bsp. : (a) Für die Koeffizientenfolge a n =, also die Potenzreihe n = (9) haben wir für ein beliebig gewähltes jeweils b n+1 (n+1)! n+1 g = lim lim n b n n n = lim n (n+1) = ( 0). (10)

3 Folglich divergiert diese Potenzreihe für alle 0: r = 0. (b) Für a n = 1 liefert die gleiche Überlegung den KR r =. Die entsprechende Reihe stellt also für alle R eine endliche Funktion dar! Wir werden sogleich sehen, um welche Funktion es sich handelt (Bsp. 5b). Satz 3: HatdieReihe a n n denkrr > 0, soist dieentsprechende Funktion f() für < r beliebig oft differenzierbar, und es gilt f () = a n n n 1 = n=1 (n+1)a n+1 n ( < r). (11) Bsp. 3: (a) Für die Potenzreihe nn gilt n n 1 = d n = d 1 d d = () ( < 1). (1) (b) Die Potenzreihe n hat KR r = und die Eigenschaft f () = n=1 n n 1 = n=1 n 1 (n 1)! = Außerdem ist offenbar f(0) = 1. Damit folgt e. n = f(). (13) Satz 4 (Identitätssatz): Gibt es ein r 0 > 0, sodaß für alle mit < r 0 gilt a n n = b n n = f() ( < r 0 > 0), (14) mit einer für < r 0 endlichen Funktion f(), so sind beide Potenzreihen identisch, a n = b n für alle n = 0,1,,..., mit einem KR r r 0. (Dieser Satz begründet die Methode des Koeffizientenvergleichs.) Bsp. 4: (a) Gilt a n n = 0 (15) für alle mit < 1, so folgt zwangsläufig: a n = 0 für alle n = 0,1,,... (b) Gilt a n n = 1 für alle mit < 1 17, so folgt zwangsläufig: a n = 1 für alle n = 0,1,,..., sowie r = 1. 3 (16)

4 1. Analytische Funktionen Bem.: Die Potenzreihe a n n habe den KR r > 0. Dann folgt für die um 0 verschobene Funktion f( 0 ): a n ( 0 ) n ( 0 < r). (17) Diese verschobene Potenzreihe konvergiert natürlich genau im entsprechend verschobenen Intervall 0 r < < 0 +r (und nur dort). Sie heißt die Entwicklung von f() in eine Potenzreihe um (den Entwicklungspunkt) = 0. Bsp. 5a: Aus Bsp. 1a schließen wir, daß für < 1 gilt 1 1+ = ( < 1). (18) Dies ist die Entwicklung von 1 1+ um 0 = 0. Um den alternativen Entwicklungspunkt 0 = 1 gilt dagegen die Entwicklung (s. das spätere Bsp. 6b) 1 1+ = ( 1)+ 1 8 ( 1) 1 16 ( 1) ( 1 < ). (19) InAbschnitt 1.3werdenwirsehen, wiemanfüreinegegebenefunktionf()zugegebenem Entwicklungspunkt = 0 die Koeffizienten a n bestimmt. f() Def.: Die Funktion f() heißt analytisch bei = 0, wenn sie sich um = 0 in eine Potenzreihe mit KR r > 0 entwickeln läßt, wenn also(nach Identitätssatz dann eindeutige) Koeffizienten a n eistieren, sodaß für alle mit 0 < r Gl. (17) gilt. 4

5 Bsp. 5b: Die Funktion f() ist bei = 0 nicht analytisch, wenn (a) sie dort nicht definiert ist, wie etwa (b) f () dort nicht definiert ist, wie etwa bei 1, ln; (0), sgn() 1/ sgn(); (1) (c) f () dort nicht definiert ist, wie etwa bei (d) Bei = 0 nicht analytisch ist auch die Funktion 3 3/. () { ( 0), 1 ( 0). (3) Satz 5: (a) Ist die Funktion f() analytisch (anlt.) bei = 0, so ist sie an jeder Stelle eines endlichen Intervalls 0 r < < 0 +r (mit r > 0) um 0 herum anlt. (b) Mit f() und g() sind auch h() = f()+g() und k() = f() g() anlt. (c) Ist f() bei = 0 anlt. mit f( 0 ) 0, so ist auch g() = 1 bei = f() 0 anlt. (d) h() = f(g()) ist bei 0 anlt., wenn g() bei 0 und f(u) bei u 0 = g( 0 ) anlt. sind. Bsp. 5c: Die Funktion 1 (4) ist an jeder Stelle R\{1} anlt., weil der Nenner g() = auf ganz R anlt. ist. 1.3 Taylor-Reihen Notation: Wir schreiben f () =: f (1) (), f () =: f () (), etc. für die Ableitungen von f(). Insbesondere schreiben wir für die Funktion selbst auch : f (0) (). Satz 6: Ist f() in = 0 analytisch, so ist es dort beliebig oft differenzierbar, und es gibt ein r > 0, sodaß für alle mit 0 < r gilt f (n) ( 0 ) ( 0 ) n ( 0 < r). (5) 5

6 Die Koeffizienten aus Gl. (17) sind also gegeben durch a n = f(n) ( 0 ). (6) Man nennt Gl. (5) die Taylor-Entwicklung von f() um = 0. Beweis: Wir differenzieren beide Seiten von Gl. (17) k-mal nach, f (k) () = a n n(n 1)...(n k +1)( 0 ) n k. (7) n=k Lassen wir hier auf beiden Seiten 0 gehen, so überlebt auf der rechten Seite nur der erste Summand mit n = k, f (k) ( 0 ) = a k k! a k = f(k) ( 0 ), q. e. d. (8) k! Bsp. 6a: Gesucht ist die Taylor-Entwicklung der Funktion 1 1+ (1+) 1 (9) um den Entwicklungspunkt 0 = 0. Dazu brauchen wir die Ableitungen f (n) ( 0 ), f (0) ( 0 ) f( 0 ) = (1+ 0 ) 1 = 1, f (1) ( 0 ) f ( 0 ) = (1+ 0 ) = 1, f () ( 0 ) f ( 0 ) = (1+ 0 ) 3 =, f (3) ( 0 ) f ( 0 ) = 3 (1+ 0 ) 4 = 3!, etc. (30) Spätestens jetzt erkennt man die allgemeine Regel, f (n) ( 0 ) f (n) (0) = ( 1) n (n = 0,1,,...). (31) Damit lautet also die Taylor-Reihe (5) (mit 0 = 0) f (n) (0) n = ( 1) n n ( < 1), (3) in Bestätigung von Bsp. 5a. Bsp. 6b: Wir entwickeln nochmals die Funktion aus Bsp. 6a, jetzt aber um den anderen Entwicklungspunkt 0 = 1, f (0) ( 0 ) = (1+ 0 ) 1 = 1, f (1) ( 0 ) = (1+ 0 ) = 1 4, f () ( 0 ) = (1+ 0 ) 3 = 8, f (3) ( 0 ) = 3 (1+ 0 ) 4 = 3!, etc. (33) 16 6

7 Allgemein gilt jetzt also f (n) (1) = ( 1) n ( ) n 1 = ( 1)n1 n+1 (n = 0,1,,...), (34) und mit 0 = 1 ergibt sich die Taylor-Reihe (19) f (n) (1) ( 1) n = 1 ( 1) n ( 1 ) n ( 1 < r). (35) Mit 1 =: u ist sie von der Form cn u n, mit c = 1. Nach Bsp. 1b ist daher der KR gegeben durch r = 1 c =. (36) Während also die Reihe (3) nur auf dem Intervall 1 < < 1 konvergiert, gilt dies für die Reihe (35) auf dem doppelt so großen Intervall 1 < < 3. Bsp. 6c: Besonders wichtige Taylor-Reihen (um 0 = 0 und mit r = ) sind (Übunge) e = ! , (37) 4! cos() = , (38) 4! sin() = 3 3! (39) 5! Ihre offensichtliche gegenseitige Verwandschaft wird erst im Zusammenhang mit den kompleen Zahlen verständlich werden. Bsp. 6d: Die Funktion { e 1/ ( 0), 0 ( = 0) (40) ist bei = 0 stetig und sogar unendlich oft differenzierbar, f (n) (0) = 0 (n = 0,1,,...), (41) offensichtlich dort aber dennoch nicht analytisch, da ihre Taylor-Reihe die Nullfunktion g() = 0 darstellt, und somit in keinem endlichen Intervall < r gegen f() konvergiert. 7

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