Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 11

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 11"

Transkript

1 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel Vorbemerkung: Zur Bestimmung der Eigenwerte (bzw. des charakteristischen Polynoms) einer (, )-Matrix verwenden wir stets die Regel von Sarrus (Satz..) und zur Bestimmung der zugehörigen Eigenvektoren den Gaußschen Algorithmus, wobei wir nicht alle Rechenschritte vollständig ausführen. Abschnitt. Aufgabe Bestimmung der Eigenwerte von A: 6 λ 7 λ 7 λ = (6 λ)(7 λ) (7 λ) (6 λ) 4(7 λ) = (6 λ)(λ 4λ + 4) = (λ 6)(λ 4)(λ ). A hat also die drei verschiedenen reellen Eigenwerte λ = 4, λ = 6, λ =. Bestimmung des Eigenraumes zu λ = 4: x = x =. Hieraus ergibt sich für den Eigenraum von A zum Eigenwert λ = 4 E(A, 4) = c R Bestimmung des Eigenraumes zu λ = 6: x = x =. Hieraus ergibt sich für den Eigenraum von A zum Eigenwert λ = 6 E(A, 6) = c R Bestimmung des Eigenraumes zu λ = : 4 x = x =.

2 Hieraus ergibt sich für den Eigenraum von A zum Eigenwert λ = E(A, ) = c R Jetzt normieren wir die Basisvektoren der drei Eigenräume. Diese normierten Vektoren sind dann natürlich ebenfalls Basisvektoren der Eigenräume. Die normierten Basisvektoren der Eigenräume lauten v =, v = 6, v =. Die Vektoren v, v, v sind paarweise orthogonal, denn für Skalarprodukte je zweier der Vektoren gilt offenbar v v = v v = v v =. Also bilden v, v, v eine Orthonormalbasis von R (wie in Satz..8, (4) ausgesagt). Aufgabe (a) Bestimmung der Eigenwerte von A: 5 λ λ 6 4 λ = (5 λ)(4 λ)( 4 λ) (4 λ) + (5 λ) + 6(4 + λ) = (5 λ)(λ 6) 4λ + 84 = (λ 5λ + 8λ 4) = (λ )(λ 4λ + 4) = (λ )(λ ). A hat also den Eigenwert λ = λ = der Vielfachheit und den Eigenwert λ = der Vielfachheit. Bestimmung des Eigenraumes zu λ = λ = : 6 6 x = x =. 6 6 Hieraus ergibt sich für den Eigenraum von A zum Eigenwert λ = λ = E(A, ) = + c c, c R Bestimmung des Eigenraumes zu λ = : x = x =. 6 5

3 Hieraus ergibt sich für den Eigenraum von A zum Eigenwert λ = E(A, ) = c R (b) Bestimmung der Eigenwerte von A: λ 7 λ 7 λ = ( λ)(7 λ) (7 λ) ( λ) 4(7 λ) = ( λ)(λ 4λ + 49) + 9λ 58 = (λ 4λ + 8λ 4) = (λ 6)(λ 8λ + 7) = (λ 6) (λ ). A hat also den Eigenwert λ = λ = 6 der Vielfachheit und den Eigenwert λ = der Vielfachheit. Bestimmung des Eigenraumes zu λ = λ = 6: 4 x = x =. Hieraus ergibt sich für den Eigenraum von A zum Eigenwert λ = λ = 6 E(A, 6) = + c c, c R Bestimmung des Eigenraumes zu λ = : 5 x = x =. 5 Hieraus ergibt sich für den Eigenraum von A zum Eigenwert λ = E(A, ) = c R Aufgabe (a) Wir bestimmen die Basisvektoren der drei Eigenräume in der üblichen Weise und normieren sie sofort. Bestimmung eines normierten Basisvektors des Eigenraumes E(A, ): x = x =. 9

4 Ein normierter Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. Bestimmung eines normierten Basisvektors des Eigenraumes E(A, ): x = x =. 8 Ein normierter Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. 9 Bestimmung eines normierten Basisvektors des Eigenraumes E(A, ): x = 6 x =. Ein normierter Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. 8 6 Die Vektoren v, v, v sind paarweise orthogonal, denn für Skalarprodukte je zweier der Vektoren gilt offenbar v v = v v = v v =. Also bilden v, v, v eine Orthonormalbasis von R (wie in Satz..8, (4) ausgesagt). (b) Nach Satz.6.8 hat x eine Darstellung als Linearkombination x = α v + α v + α v der Basisvektoren v, v, v, und die Koeffizienten α, α, α sind gegeben durch die Skalarprodukte α = x v =, α = x v = 9 9, α = x v = 8. Abschnitt. Aufgabe Die Matrizen sind symmetrisch und haben daher reelle Eigenwerte. Nach Satz.. kann dann mit Hilfe der Eigenwerte und der Basisvektoren der zugehörigen Eigenräume die allgemeine Lösung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems angegeben werden. 4

5 (a) Bestimmung der Eigenwerte: λ λ λ = ( + λ)( + λ)( + λ) ( + λ) + 4( + λ) + ( + λ) = (λ + ) (λ + ) λ = (λ + )(λ + 4λ 5) = (λ + )(λ + 5)(λ ). A hat also die reellen Eigenwerte λ = 5, λ =, λ =. Bestimmung eines Basisvektors von E(A, 5): x = x =. 4 Ein Basisvektor von E(A, 5) ist also gegeben durch v =. Bestimmung eines Basisvektors von E(A, ): x = x =. Ein Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. Bestimmung eines Basisvektors von E(A, ): x = x =. Ein Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. Die allgemeine Lösung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems lautet damit y(x) = c e 5x + c e x + c e x. 5

6 (b) Bestimmung der Eigenwerte: λ λ λ = ( + λ)( + λ)λ ( + λ) + 4( + λ) + λ = (λ + 6λ + 9λ 9λ) = (λ + 6λ ) = (λ )(λ + 8λ + 6) = (λ )(λ + 4). A hat also die reellen Eigenwerte λ = λ = 4, λ =. Bestimmung der Basisvektoren von E(A, 4): x = x =. 4 Basisvektoren von E(A, 4) sind also gegeben durch v =, v =. Bestimmung eines Basisvektors von E(A, ): 5 5 x = x =. Ein Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. Die allgemeine Lösung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems lautet damit y(x) = c + c e 4x + c e x. Aufgabe Das homogene lineare Differentialgleichungssystem hat die Form y = Ay mit A = 6. 6

7 Bestimmung der Eigenwerte: λ λ 6 λ = ( + λ)( λ)λ + + ( λ) + ( + λ) + 4λ = (λ + λ λ 45 9λ) = (λ + λ + λ 45) = (λ 5)(λ + 6λ + 9) = (λ 5)(λ + ). Die Matrix A hat also den reellen Eigenwert λ = λ = der Vielfachheit und den reellen Eigenwert λ = 5 der Vielfachheit. Bestimmung der Basisvektoren von E(A, ): 4 6 x = x =. Basisvektoren von E(A, ) sind also gegeben durch v =, v =. Bestimmung eines Basisvektors von E(A, 5): x = x =. 5 Ein Basisvektor von E(A, 5) ist also gegeben durch v =. Die allgemeine Lösung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems lautet damit y(x) = c + c e x + c e 5x. Aufgabe Bestimmung der Eigenwerte: λ λ λ = (λ λ λ + ) = (λ )(λ + )(λ ). A hat also die reellen Eigenwerte λ =, λ =, λ =. 7

8 Bestimmung eines Basisvektors von E(A, ): x = x =. Ein Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. Bestimmung eines Basisvektors von E(A, ): x = x =. Ein Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. Bestimmung eines Basisvektors von E(A, ): x = x =. Ein Basisvektor von E(A, ) ist also gegeben durch v =. Die allgemeine Lösung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems lautet damit y(x) = c e x + c e x + c e x. Wir setzen hier die Anfangsbedingung ein und erhalten ein lineares Gleichungssystem für c, c, c : c c + c + c = c =. c Mit dem Gaußschen Algorithmus erhalten wir die Lösung c =, c =, c =. Die Lösung des Anfangswertproblems lautet damit y A (x) = e x + e x. 8

9

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 15: Eigenwerte und -vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. November 2009) Diagonalisierbarkeit

Mehr

Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren

Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,

Mehr

Höhere Mathematik III für Physik

Höhere Mathematik III für Physik 8..8 PD Dr. Peer Kunstmann M.Sc. Michael Ullmann Höhere Mathematik III für Physik 5. Übungsblatt - Lösungsvorschläge Aufgabe (Homogene Anfangswertprobleme) Lösen Sie erst die folgenden Differentialgleichungssysteme

Mehr

Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)

Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2) Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Lineare Algebra II FS 14 Manfred Einsiedler. Musterlösung 8. i=1. w 2, w 2 w 2 =

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Lineare Algebra II FS 14 Manfred Einsiedler. Musterlösung 8. i=1. w 2, w 2 w 2 = D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Lineare Algebra II FS 14 Manfred Einsiedler Musterlösung 8 1. Wir konstruieren eine Orthogonalbasis aus der Basis (v 1, v 2, v ) mit dem Gram- Schmidt-Verfahren. Wir wenden die Formel

Mehr

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 5/6: Lösungen Darstellungsmatrizen. Bestimme die Darstellungsmatrix M B,B (f ) für die lineare Abbildung f : 3, die durch f (x, y, z) = (4x + y z, y + z) definiert

Mehr

Determinante und Inverse

Determinante und Inverse Vorzeigeaufgaben: Determinante und Inverse Bestimmen Sie für welche a R die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Sie deren Inverse: A = a cos(x) sin(x) a sin(x) cos(x) Bestimmen Sie ob folgende

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Differentialgleichungssysteme Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 20 PV-Kurs HM 3 DGlSysteme - Zusammenfassung Allgemeine Differentialgleichungssysteme.Ordnung

Mehr

Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT

Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in

Mehr

Institut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017

Institut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 27 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (.64) 2. Haupttest (FR, 9..28) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt.

Mehr

Institut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017

Institut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 7 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (.64). Haupttest (FR, 9..8) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt.

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt

Mehr

Lösungsskizzen zur Klausur Mathematik II

Lösungsskizzen zur Klausur Mathematik II sskizzen zur Klausur Mathematik II vom..7 Aufgabe Es sei die Ebene im R 3 gegeben. E = +λ 3 + µ λ,µ R (a) Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E an. (b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion Π E

Mehr

Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)

Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2) Eigenwerte Teschl/Teschl 4. Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x 0, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe Beispiel einer Koordinatentransformation Gegeben seien zwei

Mehr

Institut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017

Institut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 7 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (.64). Haupttest (FR, 9..8) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt.

Mehr

Lösungsskizzen zur Nachklausur

Lösungsskizzen zur Nachklausur sskizzen zur Nachklausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie und Chemie Sommersemester 22 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren 2 v = 2, v 2 = und v 3 = 2 im R 3 gegeben. (a) Zeigen Sie, dass

Mehr

Tutorium Mathematik II M WM

Tutorium Mathematik II M WM Tutorium Mathematik II M WM 9.6.7 Lösungen Lösen Sie folgende Systeme von Differentialgleichungen der Form x = A x + b mit. A = 6 und b = et. e t Hinweis: Die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A lauten:

Mehr

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt

Mehr

Probeklausur zu Mathematik 2 für Informatik

Probeklausur zu Mathematik 2 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die

Mehr

Lineare Algebra für Ingenieure

Lineare Algebra für Ingenieure TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen

Mehr

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,

Mehr

Klausur Mathematik I

Klausur Mathematik I Technische Universität Dresden 15. August 2008 Institut für Numerische Mathematik Dr. K. Eppler Klausur Mathematik I für Studierende der Fakultät Maschinenwesen (mit Lösungshinweisen) Name: Matrikelnummer.:

Mehr

Lineare Algebra II. Inhalt und Begriffe. Lineare Algebra II p. 1

Lineare Algebra II. Inhalt und Begriffe. Lineare Algebra II p. 1 Lineare Algebra II Inhalt und Begriffe Lineare Algebra II p. 1 Inhaltsverzeichnis Kapitel II Grundlagen der Linearen Algebra... Lineare Algebra II p. 2 Inhaltsverzeichnis Kapitel II Grundlagen der Linearen

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1. Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn

Mehr

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 03/04 Eppler, Richter, Scherfner, Seiler, Zorn 25.

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 03/04 Eppler, Richter, Scherfner, Seiler, Zorn 25. A Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 3/4 Eppler, Richter, Scherfner, Seiler, Zorn 5. Februar 4 Februar Klausur (Rechenteil) Lösungen: Lineare Algebra für Ingenieure Name:.......................................

Mehr

Lösungsskizzen zur Klausur

Lösungsskizzen zur Klausur sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie

Mehr

Lösungsskizzen zur Klausur zur Linearen Algebra II. Definitionen

Lösungsskizzen zur Klausur zur Linearen Algebra II. Definitionen Technische Universität Berlin Sommersemester 2008 Institut für Mathematik 18 Juli 2008 Prof Dr Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Klausur zur Linearen Algebra II Aufgabe 1 (1+1+1 Punkte)

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07.03.2016-11.03.2016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Darstellungsmatrizen 2 2 Diagonalisierbarkeit

Mehr

29.2 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das homogene System. y = A y, t R, (1)

29.2 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das homogene System. y = A y, t R, (1) 292 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das homogene System y = A y, t R, ( wobei A C n n, und wollen ein Fundamentalsystem bestimmen Grundlegende Beobachtung:

Mehr

Höhere Mathematik I. Variante B

Höhere Mathematik I. Variante B Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I SoSe Variante B Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet,

Mehr

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math. Carlos Hauser SoSe 7 7.7.7 Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 12 Hausaufgaben Aufgabe 12.1 Sei f : R 3 R 3 gegeben durch f(x) :=

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte und Eigenvektoren Siehe Analysis (von der Hude, Folie 20: Definition 2.3. Ein Vektor x R n heißt Eigenvektor der quadratischen n n-matrix A zum Eigenwert λ R, wenn gilt Ax = λx Die Eigenwerte

Mehr

Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation

Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation 1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Prof. Dr. Michael Stiebitz Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation Termin: Ort: Determinante

Mehr

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung Lineare Differentialgleichungen Ausblick auf die heutige Vorlesung Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform

Mehr

Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt

Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 01 Prof. Dr. Matthias Schneider./. Juli 01 Dr. Silke Horn Dipl.-Math. Dominik Kremer Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) (a) Welche

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 5 4.5.5 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Mehr

Gruppe II Lineare Algebra

Gruppe II Lineare Algebra Pflichtbereichs Klausur in der Lehrerweiterbildung am 7.Juni 22 Bearbeiten Sie 3 der folgenden 6 Aufgaben, dabei aus jeder der beiden Gruppen (Lineare Algebra und Analysis) mindestens eine Aufgabe! Zur

Mehr

Lineare Differenzengleichungen

Lineare Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 +F n 2 für n >= 2 Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine homogene lineare Differenzengleichung

Mehr

Beispiele. zum Tutorium Numerisches Rechnen und Lineare Algebra WS 2016/2017

Beispiele. zum Tutorium Numerisches Rechnen und Lineare Algebra WS 2016/2017 Beispiele zum Tutorium Numerisches Rechnen und Lineare Algebra WS 6/7 Zur positiven Beurteilung der LV ist es notwendig, dass aus jedem der 9 Abschnitte (Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Vektorräume,

Mehr

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4Q Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4Q Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg. Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4Q Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 206 Bearbeiten Sie bitte

Mehr

Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren

Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren 5.1 Definition und allgemeine Eigenschaften Definition 5.1 Sei A eine quadratische (n n)-matrix. λ C heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor x C n mit x 0 existiert,

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. , a R. det(a) = 0 a = 1.

Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. , a R. det(a) = 0 a = 1. b Musterlösung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Multiple Choice) Gegeben sei die folgende Matrix Winter 3 Prof. H.-R. Künsch A = a a) deta) = genau dann wenn gilt x a =. a =. ), a R. x

Mehr

Lösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:

Lösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in

Mehr

Übungsblatt

Übungsblatt Übungsblatt 3 3.5.27 ) Die folgenden vier Matrizen bilden eine Darstellung der Gruppe C 4 : E =, A =, B =, C = Zeigen Sie einige Gruppeneigenschaften: a) Abgeschlossenheit: Berechnen Sie alle möglichen

Mehr

Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min

Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 4.3.25, 2min Aufgabe ( Punkte) Es sei S := {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2, z 2}. (a) (6 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie die

Mehr

Klausur zu. Lineare Algebra II. Viel Erfolg! Fachbereich Mathematik WS 2012/13 Dr. habil. Matthias Schneider. Bonus Note. Aufgabe

Klausur zu. Lineare Algebra II. Viel Erfolg! Fachbereich Mathematik WS 2012/13 Dr. habil. Matthias Schneider. Bonus Note. Aufgabe Klausur zu Lineare Algebra II Fachbereich Mathematik WS 0/3 Dr. habil. Matthias Schneider Aufgabe 3 4 5 6 7 Bonus Note Punktzahl 4 3 3 3 3 0 erreichte Punktzahl Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die

Mehr

Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT

Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation

Mehr

9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-4.. Aufgabe G (Koordinatentransformation)

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4 Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4 Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4 Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016 Bearbeiten Sie bitte zwei

Mehr

Kapitel 11 Eigenwerte und Eigenvektoren

Kapitel 11 Eigenwerte und Eigenvektoren Kapitel Eigenwerte und Eigenvektoren. Problem der Diagonalisierbarkeit Es sei wieder K gleich R oder. Eine n n)-matrix A mit Koeffizienten aus K wird als diagonalisierbar bezeichnet, wenn es eine invertierbare

Mehr

D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 13. (A ± I)x = 0 Ax ± x = 0 Ax = ±x Ax = λx

D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 13. (A ± I)x = 0 Ax ± x = 0 Ax = ±x Ax = λx D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Musterlösung 13 1. Die Matrix A±I ist singulär falls es einen Vektor x 0 gibt der die Gleichung (A±I)x = 0 erfüllt, d.h. wenn A ± I als

Mehr

46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen

46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 46.1 Motivation Symmetrische Matrizen (a ij = a ji für alle i, j) kommen in der Praxis besonders häufig vor. Gibt es für sie spezielle Aussagen über

Mehr

Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen

Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen ¾ Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen a) Eigenwerte und Eigenvektoren Die Matrix einer linearen Abbildung ³: Î Î bezüglich einer Basis ( Ò ) ist genau dann eine Diagonalmatrix wenn jeder der Basisvektoren

Mehr

47 Singulärwertzerlegung

47 Singulärwertzerlegung 47 Singulärwertzerlegung 47.1 Motivation Wir haben gesehen, dass symmetrische Matrizen vollständig mithilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren beschrieben werden können. Diese Darstellung kann unmittelbar

Mehr

Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen.

Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. Definition: Lineare Abbildung Lineare Abbildungen Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. 8.1 Definition: Lineare Abbildung Eine Funktion f : V Ñ W zwischen

Mehr

Lineare Algebra I Lösungsvorschlag

Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Aufgabe Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Wir bezeichnen mit a, a 2, a 3 Q 4 die Spalten der Matrix A. Es ist 7 a + 2a 2 = 7 4 = 7a 3, und wir sehen im l A = a, a 2, a 3 = a, a 2. Da die Vektoren a und

Mehr

y hom (x) = C e p(x) dx

y hom (x) = C e p(x) dx Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 18

Aufgaben zu Kapitel 18 Aufgaben zu Kapitel 8 Aufgaben zu Kapitel 8 Verständnisfragen Aufgabe 8. Gegeben ist ein Eigenvektor v zum Eigenwert λ einer Matrix A. (a) Ist v auch Eigenvektor von A? Zu welchem Eigenwert? (b) Wenn A

Mehr

1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von

1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von 1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von Wachstumsraten Bestimmung von Maximal- und Minimalwerten von

Mehr

Probeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT

Probeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Frühling 018 Probeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Die Prüfung dauert 10 Minuten. Sie dient der Selbstevaluation. Die Musterlösungen folgen. Die Multiple Choice

Mehr

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2, Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist

Mehr

Wichtige Kenntnisse der Linearen Algebra

Wichtige Kenntnisse der Linearen Algebra Wichtige Kenntnisse der Linearen Algebra In Kapitel 3 der Vorlesung werden wir sehen (und in Kapitel 6 vertiefen, dass zur Beschreibung von Quantensystemen mathematische Begriffe aus dem Gebiet der Linearen

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8 Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 6: Matrix Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems u x = Aux für die A =, 9 indem Sie das System auf eine einzelne gewöhnliche

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung

6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung HJ Oberle Differentialgleichungen I WiSe 22/3 6 Lineare DGL-Systeme erster Ordnung A Allgemeines Wir betrachten ein lineares DGL System erster Ordnung y (t = A(t y(t + b(t (6 und setzen voraus, dass die

Mehr

Lösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015

Lösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015 sskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 5 Aufgabe I. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M {x G x x e}. Zeigen Sie: (a) Ist G kommutativ, so ist M eine Untergruppe von G. (b)

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 23): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag 3. Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen sowie der Tatsache, daß sich die Determinante

Mehr

T := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass

T := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass I. a) Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e G. Zeigen Sie, dass U := {g G g 3 = e G } eine Untergruppe von G ist. b) In der symmetrischen Gruppe S 4 definieren wir analog zu a) die

Mehr

Aufgabe Summe Note Punkte

Aufgabe Summe Note Punkte Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Klausur Ingenieurmathematik am. September 5 (mit Lösungen) Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe 3 5 7 Summe Note Punkte Die Klausur

Mehr

eine vom Nullvektor verschiedene Lösung hat. r heisst in diesem Fall Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ.

eine vom Nullvektor verschiedene Lösung hat. r heisst in diesem Fall Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ. Eigenwert, Eigenvektor In der Regel hat bei einer linearen Abbildung das Bild eines Vektors eine andere Richtung als das Original r. Bei der Untersuchung der geometrischen Eigenschaften von linearen Abbildungen

Mehr

H. Stichtenoth WS 2005/06

H. Stichtenoth WS 2005/06 H. Stichtenoth WS 25/6 Lösungsvorschlag für das. Übungsblatt Aufgabe : Der gesuchte Unterraum U ist die lineare Hülle von v und v 2 (siehe Def. 5. und Bsp. 5.5b), d. h. U : Spanv,v 2 } v R : v λ v + λ

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 $Id: jordantex,v 7 9/6/ :8:5 hk Exp $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5 Die Jordansche Normalform Nachdem wir bisher das Vorgehen zur Berechnung

Mehr

KLAUSUR. Mathematik II (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure) (W.Strampp) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.

KLAUSUR. Mathematik II (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure) (W.Strampp) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr. KLAUSUR Mathematik II (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure) 39 (WStrampp) Name: Vorname: Matr Nr/Studiengang: Versuch Nr: Für jede Aufgabe gibt es Punkte Zum Bestehen der Klausur sollten 7 Punkte erreicht

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 22/3 Institut für Analysis 28..23 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik 4. Übungsblatt (letztes Blatt)

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Eigenwertprobleme. 25. Oktober Autoren: 1. Herrmann, Hannes ( ) 2. Kraus, Michael ( ) 3. Krückemeier, Paul ( )

Eigenwertprobleme. 25. Oktober Autoren: 1. Herrmann, Hannes ( ) 2. Kraus, Michael ( ) 3. Krückemeier, Paul ( ) Eigenwertprobleme 5. Oktober Autoren:. Herrmann, Hannes (45969). Kraus, Michael (9). Krückemeier, Paul (899) 4. Niedzielski, Björn (7) Eigenwertprobleme tauchen in der mathematischen Physik an Stellen

Mehr

Lineare Algebra II (SS 13)

Lineare Algebra II (SS 13) Lineare Algebra II (SS 13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 03.07.2013 Bernhard Hanke 1 / 16 Selbstadjungierte Endomorphismen und der Spektralsatz Definition Es sei (V,, ) ein euklidischer oder unitärer

Mehr

P AP 1 = D. A k = P 1 D k P. = D k. mit P 0 3

P AP 1 = D. A k = P 1 D k P. = D k. mit P 0 3 Matrixpotenzen In Anwendungen müssen oft hohe Potenzen einer quadratischen Matrix berechnet werden Ist die Matrix diagonalisierbar, dann kann diese Berechnung wie folgt vereinfacht werden Sei A eine diagonalisierbare

Mehr

Berechnung der Determinante

Berechnung der Determinante Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,

Mehr

D-ITET. D-MATL, RW Lineare Algebra HS 2017 Dr. V. Gradinaru T. Welti. Online-Test 2. Einsendeschluss: Sonntag, den

D-ITET. D-MATL, RW Lineare Algebra HS 2017 Dr. V. Gradinaru T. Welti. Online-Test 2. Einsendeschluss: Sonntag, den D-ITET. D-MATL, RW Lineare Algebra HS 7 Dr. V. Gradinaru T. Welti Online-Test Einsendeschluss: Sonntag, den..7 : Uhr Dieser Test dient, seriös bearbeitet, als Repetition des bisherigen Vorlesungsstoffes

Mehr

Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker

Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 200 Fachbereich 3 - Mathematik Pohst / Lusala Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker Name:................................................................................

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. Regeln Multiple Choice:

Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. Regeln Multiple Choice: b Prüfung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG Winter 03 Prof. H.-R. Künsch c Alle Aufgaben haben das gleiche Gewicht. Die Lösungswege müssen, abgesehen von Aufgabe, nachvollziehbar dargestellt

Mehr

Fachhochschule München Fachbereich 03 FA WS 2006/07. Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra) Fahrzeugtechnik

Fachhochschule München Fachbereich 03 FA WS 2006/07. Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra) Fahrzeugtechnik 1 Fachhochschule München Fachbereich 03 FA WS 006/07 Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra) Fahrzeugtechnik Arbeitszeit: Hilfsmittel: Aufgabensteller: 90 Minuten Formelsammlung, Skripten, Bücher,

Mehr

Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min. cos(x), y(0) = 1.

Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min. cos(x), y(0) = 1. Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung.9.6, min Aufgabe ( Punkte) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: y = e y cos(x), y() =. Sei y : I R die maximale Lösung des gegebenen Anfangswertproblems (diese

Mehr

Trigonalisierung einer Matrix Version ( )

Trigonalisierung einer Matrix Version ( ) Trigonalisierung einer Matrix Version (21.05.04) > with(linalg): > B:=matrix(4,4,[3,-1,1,-1, 2,1,0,-2, -1,0,4,0, 1,-1,0,2]); 3 1 1 1 B := 2 1 0 2 1 0 4 0 1 1 0 2 B ist Darstellungsmatrix des Endomorphismus

Mehr

KLAUSUR. Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.:

KLAUSUR. Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: KLAUSUR Lineare Algebra (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure/Informatiker).3. (W. Koepf) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Für jede Aufgabe gibt es Punkte. Zum Bestehen der Klausur

Mehr