G13 KLAUSUR 1. (1) (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit. f(x) = e 2x+1 x

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Hinrich Tristan Hofmeister
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1 G3 KLAUSUR PFLICHTTEIL Aufgabe Punkte (max) Punkte () (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = e 2x+. x (2) (2 VP) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = sin(2x + π). Bestimmen Sie die Stammfunktion von f, die bei x = 0 eine Nullstelle hat. (3) (3 VP) Lösen Sie die Gleichung x 4 x = 3. (4) Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = x 2 und g mit g(x) = x 2 +4x 2. Zeigen Sie, dass deren Schaubilder sich berühren. (5) (5 VP) Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. (a) Welche Aussagen über f ergeben sich daraus hinsichtlich der Anzahl der Extremstellen Wendestellen Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. (b) Begründen Sie, dass 5 gilt. f (x) dx > 0

2 2. November 200 (6) (3 VP) Stellen Sie den Vektor u = 2 0 als Linearkombination der drei Vektoren 0 a =, b =, c = dar. (7) (5 VP) Gegeben sind die Punkte P (2 3) und Q(3 2 4) sowie die Ebene E : 3x x 3 = 4. (a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von E. (b) Die Gerade durch die Punkte P und Q schneidet die Ebene E in einem Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S. Begründen Sie, dass S zwischen P und Q liegt. (8) (3 VP) Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g. E und g schneiden sich, aber g ist nicht orthogonal zu E. Die Gerade g wird senkrecht auf E projiziert; dabei entsteht die Bildgerade g in E. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man eine Gleichung von g bestimmt.

3 . November () Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = e 2x+. x f (x) = 2e 2x+ x e 2x+ 2x+ 2x + v 2 = e x 2. (2) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = sin(2x + π). Bestimmen Sie die Stammfunktion von f, die bei x = 0 eine Nullstelle hat. Die allgemeine Stammfunktion ist F (x) = cos(2x + π) + c 2 für eine Konstante c. Wegen F (0) = 2 cos π + c = 2 + c muss c = 2 sein. (3) Lösen Sie die Gleichung x 4 x = 3. Am Einfachsten mit Substitution: z = x. Dann wird z 4 z = 3, also (Nenner weg, alles auf eine Seite) z 2 3z 4 = 0. Dies gibt z = 4, z 2 =. Resubstitution liefert die Gleichungen x = 4 und x =. Die erste hat die Lösung x = 6, die zweite hat keine Lösung, da Quadratwurzeln positiv sind. Oder durch Quadrieren: mit der 2. binomischen Formel folgt x x = 9, also x 2 7x + 6 = 0. Dies gibt x =, x 2 = 6. Da wir quadriert haben, ist Probe Pflicht: x = ist keine Lösung, x 2 = 6 ist eine. (4) Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = x 2 und g mit g(x) = x 2 +4x 2. Zeigen Sie, dass deren Schaubilder sich berühren. Die Schaubilder von f berühren sich in x 0, wenn f(x 0 ) = g(x 0 ) (gleicher Funktionswert in x 0 ) und f (x 0 ) = g (x 0 ) (gleiche Steigung in x 0 ) gilt. Schneiden liefert x 2 = x 2 + 4x 2, also 2(x 2 2x + ) = 0 mit einziger Lösung x 0 =. Gleichsetzen der Ableitungen ergibt 2x = 2x + 4, mit Lösung x 0 =.

4 4. November 200 Also berühren sich die Schaubilder in ( ). (5) Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. (a) Welche Aussagen über f ergeben sich daraus hinsichtlich der Anzahl der Extremstellen Wendestellen Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. (b) Begründen Sie, dass 5 gilt. f (x) dx > 0 Das Schaubild von f hat genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, also hat f genau zwei Extrema. Das Schaubild von f hat genau zwei Extrema, also hat f genau zwei Wendepunkte. Über die Anzahl der Nullstellen lassen sich aus dem Schaubild von f keine Aussagen machen: unentscheidbar. Das Integral ist positiv, da die Fläche unter dem Schaubild zwischen und 2 größer ist als diejenige zwischen 2 und 5. (6) Stellen Sie den Vektor 2 u = 0 als Linearkombination der drei Vektoren 0 a =, b =, c = dar. Die Gleichung ( u= r ) a + s b + t c liefert das Gleichungssystem 2 = r + t = r s + 3t 0 = 6r + 4s + t Einsetzen von r = 2 t in die zweite und dritte Gleichung gibt = s + 2t und 2 = 4s 5t, also s = 2t+ und damit t = 2, s = 3 und r = 4. Also ist u = 4 a 3 b 2 c (Kontrolle!).

5 . November (7) Gegeben sind die Punkte P (2 3) und Q(3 2 4) sowie die Ebene E : 3x x 3 = 4. (a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von E. (b) Die Gerade durch die Punkte P und Q schneidet die Ebene E in einem Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S. Begründen Sie, dass S zwischen P und Q liegt. Abstand mit Hesse-Normalform. E : 3x x = 0. Einsetzen von P gibt d(p, E) = =. 0 0 Geradengleichung von g aufstellen: 2 x = + r 3. 3 Schnittpunkt von g mit E durch Lösen von 3(2 + r) (3 + r) = 4. Man findet r = 2, also S(2, 5 0, 5 3, 5). Auf der Geraden gehört r = 0 zu P und r = zu Q, also liegt der Punkt S, der zu r = 2 gehört, genau dazwischen. Andere Möglichkeit: Nachrechnen, dass S der Mittelpunkt von P und Q ist. (8) Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g. E und g schneiden sich, aber g ist nicht orthogonal zu E. Die Gerade g wird senkrecht auf E projiziert; dabei entsteht die Bildgerade g in E. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man eine Gleichung von g bestimmt. (a) Berechne den Schnittpunkt S von g und E. (b) Wähle einen Punkt P S auf g und berechne dessen Bild P wie folgt: P ist der Schnittpunkt der Geraden x = OP + t n durch P, dessen Richtungsvbektor der Normalenvektor der Ebene E ist. (c) Die gesuchte Geradengleichung ist die Gerade x = OS + tsp durch S und P.

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