An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung
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- Nelly Sauer
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1 An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern? Magnetische Kraft auf einen Draht mit dem Strom F = il Drehmoment auf eine Drahtschleife mit dem Strom τ ges = in Magnetisches Dipolmoment μ = NiA Potenzielle nergie des Dipols U = μ Das iot-savartsche Gesetz d = μ0 i 4π ds r 3 r Das Amperesche Gesetz ds =μ i 0 um Das Magnetfeld eines Stroms in einem langen geraden Leiter 0 μ i = π Das Magnetfeld einer Zylinderspule = μ0ni
2 7. Induktion und Induktivität 7.1 Das faradaysche Induktionsgesetz 1. in Strom tritt immer dann auf, wenn es eine elativbewegung zwischen Magnet und Leiterschleife gibt; er hört auf, wenn auch die elativbewegung aufhört.. ine schnellere ewegung produziert einen höheren Strom. 3. Gleiche ewegungen des Nordpols und des Südpols des Magneten erzeugen auf die Schleife Ströme in entgegengesetzten ichtungen. Den Strom in der Schleife ist ein induzierter Strom. Die Arbeit, die pro Ladungseinheit verrichten werden muss, um diesen Strom zu erzeugen, ist induzierte Spannung, und den Prozess, in welchem wir den Strom erzeugt haben, ist Induktion. In der Leiterschleife wird eine Spannung Spannung induziert, wenn sich die Zahl der magnetischen Feldlinien ändert, die durch die Schleife hindurchtreten. Um mit dem faradayschen Gesetz arbeiten zu können, brauchen wir einen Weg, die Menge des Magnetfelds zu quantifizieren und zu berechnen, die durch eine Schleife hindurchtritt.
3 Der magnetische Fluss durch eine Schleife: Φ = da A ist die Fläche, die die Schleife umschließt. da ist einen Vektor mit dem etrag da, der senkrecht auf dem differenziellen Flächenelement da steht. Falls die Schleife in einer bene liegt und das Magnetfeld homogen ist : Φ = Acosθ Die SI-inheit des magnetischen Flusses: Tesla mal Quadratmeter (Weber, Wb) 1Wb = 1 T 1 m Die in einer Leiterschleife induzierte Spannung ist gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Schleife. dφ = Das Minuszeichen zeigt, dass die induzierte Spannung der Flussänderung entgegen wirkt. ine Spule mit N Windungen: Die Spannung wird in jeder einzelnen Windung induziert. Die gesamte in der Spule induzierte Spannung ist die Summe dieser inzelbeiträge. = N dφ
4 Man kann den magnetischen Fluss durch eine Spule auf verschiedene Arten ändern: Φ = Acosθ 1. indem man die Feldstärke des Magnetfelds innerhalb der Spule ändert;. indem man die Fläche der Spule ändern 3. indem man den Winkel zwischen der ichtung des Magnetfelds В und der Fläche der Spule ändern (z.. die Spule drehen)
5 7. Die lenzsche egel Lenzsche egel: in induzierter Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte Magnetfeld der Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt, die den Strom hervorruft. Wenn der Nordpol des Magneten sich mit seinem nach links zeigenden Magnetfeld der Schleife nähert, nimmt der Fluss durch die Schleife zu. Um dieser Zunahme entgegenzuwirken, muss der induzierte Strom i ein eigenes, nach rechts gerichtetes Magnetfeld i erzeugen. Der nach rechts gerichtete Fluss des Felds wirkt i dann dem nach links gerichteten, ansteigenden Fluss des Felds В entgegen. Der Fluss von i wirkt immer der Änderung des i Flusses von В entgegen. Das bedeutet aber keineswegs, dass i, immer auch В entgegengerichtet ist. Wenn man den Magneten von der Schleife entfernen, dann ist der Fluss von В immer noch nach links gerichtet, aber er nimmt nun ab. J d Fl i d S hl if b f ll h li k i d Ab h Jetzt muss der Fluss von i in der Schleife ebenfalls nach links zeigen, um der Abnahme von Ф entgegenzuwirken.
6 7.3 Induktion und nergietransfer ei jeder ewegung von Magneten tritt nach der lenzschen egel eine magnetische Kraft auf, die der ewegung entgegenwirkt. Für die ewegung des Magneten muss eine Arbeit verrichtet werden. Gleichzeitig wird in der Schleife Wärmeenergie produziert, da das Material der Schleife dem induzierten Strom einen elektrischen Widerstand entgegensetzt. Die nergie, die wir beim ewegen des Magneten an dem geschlossenen Gesamtsystem Schleife und Magnet verrichten, endet so schließlich als Wärmeenergie. ine rechteckige Schleife der reite L befindet sich zum Teil in einem homogenen äußeren Magnetfeld, das senkrecht in die bene der Schleife hinein zeigt. Wir wollen nun diese Schleife mit einer konstanten Geschwindigkeit v nach rechts aus dem Magnetfeld herausziehen. h Wenn wir mit x die Länge der Schleife bezeichnen, die sich noch him ereich hdes Magnetfelds befindet, dann ist tlx die zugehörige Fläche.
7 Der magnetischer Fluss durch die Schleife: Φ = Lx Der etrag der induzierten Spannung: dφ dx = = L = Lv Lv Der etrag des induzierten Strom: i = = wobei ist den gesamten Wiederstand der Schleife Die ate der elektrischen Wärmeenergieproduktion: P el = = i ( Lv) Die mechanische Kraft: F = il F und F 3 ausgleichen sich. Die mechanische Leistung: Lv F1 = il = L Lv Pmech = Fv 1 = Lv= ( Lv ) P el = P mech Die mechanische h Ab Arbeit wird iddirekt in thermische h nergie in der Schleife umgewandelt. Nicht in der potentiellen nergie!!!
8 Wirbelströme Wenn statt einer Leiterschleife eine leitfähige Platte aus dem Magnetfeld bewegt wird, induziert die elativbewegung zwischen Feld und der Platte einen Strom. Man beobachtet auch eine Kraft, gegen die man die Platte aus dem Feld ziehen müsste. Auch die Arbeit muss geleistet werden. In der Platte folgen die Leitungselektronen, die den induzierten i Strom ausmachen, jedoch keinem vorgegebenen Pfad wie in der Leiterschleife. Stattdessen wirbeln sie im Kreis - das ist der Wirbelstrom. Der in der Platte induzierte Strom bewirkt die Dissipation der mechanischen nergie als Wärmeenergie in der Platte.
9 7.4 Induzierte elektrische Felder Wir betrachten einen Kupferring in einem homogenen äußeren Magnetfeld, das sich mit konstanter Geschwindigkeit ändert. Nach dem faradayschen Gesetz eine Spannung und entsprechend ein Strom in dem ing induziert werden. Wenn in dem Kupferring ein Strom fließt, muss um ihn auch ein elektrisches Feld existieren, da dieses benötigt wird, um die Leitungselektronen in ewegung zu versetzen. in veränderliches Magnetfeld erzeugt ein induziertes elektrisches Feld. Das induziertes elektrische Feld auch dann existiert, wenn es gar keinen Kupferring gibt! ine Neuformulierung des faradayschen Gesetzes ine induzierte Spannung kann auch unabhängig von Strom oder geladenen Teilchen existieren. etrachten wir ein Teilchen mit Ladung q 0, das sich auf einer Kreisbahn bewegt. Das induzierte elektrische Feld verrichtet an ihm pro Umlauf die Arbeit W = q 0 = ò ds Andererseits: W = Fds = q ds ò 0 ò dφd Φ = ò ds dfd F =-
10 Die, durch einen veränderlichen magnetischen df Fluss induzierte Felder sind nicht konservativ, ds ò =- dh d.h. das Integral ldes Feldes über einen geschlossenen Weg ist nicht null. i Deshalb kann man kein Potential einführen. V V ds i - j =ò j Die induzierte Spannung ist deshalb keine Potentialdifferenz. Diese induzierte Spannung ist ähnlich einem Spannung einer atterie. 7.5 Induktivität l A Wenn in den Windungen einer Spule ein Strom i fließt, entsteht in ihrem Inneren ein magnetischer Fluss Фв. Die N Windungen der Spule werden von einem gemeinsamen magnetischen Fluss durchströmt. Die Größe NФв ist ein Maß für diesen gemeinsamen Fluss. Die Induktivität der Spule: L = NF i N die Zahl der Windungen Die Induktivität L ist ein Maß für den gemeinsamen Fluss, den die Spule pro Stromeinheit erzeugt. Die SI-inheit der Induktivität ist Tesla mal Quadratmeter pro Ampere (T m /A). Das wird als Henry (H) bezeichnet: 1H = 1T 1 m /1A
11 Die Induktivität einer Zylinderspule Wir betrachten eine lange Zylinderspule mit der Querschnittsfläche A. A l N NA nla Φ = = 0 l die Länge der Zylinderspule n - die Zahl der Windungen pro Längeneinheit В - die Feldstärke des magnetischen Felds im Inneren der Spule. = μ ni L = NF / i N Φ = μ 0 n Ali L = μ n Al 0n Al Die Induktivität pro Längeneinheit: L / l = μ 0n A Die Induktivität ität hängt -wie die Kapazität - nur von der Geometrie der Anordnung ab. Zu beachten: L n 1H = 1T 1 m /1A μ0 = 4π 10 Tm A= 4π Selbstinduktion 7 7 H m in Strom erzeugt in einer Spule einen magnetischen Fluss NФв. Wenn man den Strom ändert, verändert sich auch der Fluss. Dann wird idnach hdem faradayschen Gesetz eine Spannung induziert. ine induzierte Spannung entsteht in jeder Spule, in der sich der Strom ändert. Dieser Prozess wird als Selbstinduktion bezeichnet.
12 L = NF / i NΦ = Li ( Φ ) d N = di = LL ( ) 1H = 1 V / A/s Das Minuszeichen zeigt, dass die Spannung der Selbstinduktion so orientiert ist, dass sie der verursachenden Änderung des Stroms i entgegenwirkt (lenzsche egel). ine Spannung der Selbstinduktion in der Induktivität entspricht keinem elektrischen Potenzial im Inneren der Induktivität. Trotzdem kann man für Punkte in dem Stromkreis außerhalb der Induktivität Potenziale angeben. Wenn die Induktivität ideal ist (d. h. der elektrische Widerstand ihrer Leitungen vernachlässigbar ist), dann ist die Potenzialdifferenz V l nach dem etrag gleich der Spannung der Selbstinduktion. Wenn die Induktivität einen Innenwiderstand rbesitzen besitzen, dann - ähnlich wie bei Spannungsquellen: Vl = ir
13 7.7 L-Glieder Kirchhoffsche Maschenregel di -i - L = 0 i i= - - ( 1 exp( t L) ) = 1 exp t ( ( τ )) L τ = 1V L = 1H = 1As = 1s 1Ω 1V A di -i - L = 0 i i 0 exp t = = exp t ( τ) ( τ) S hl d i l h d bkli d S i i Gli d d h Sowohl der Anstieg als auch das Abklingen des Stroms in einem L-Glied durch dieselbe Zeitkonstante τ beschrieben werden.
14 7.8 nergiespeicherung im Magnetfeld Kirchhoffsche Maschenregel: di -i - L = 0 di = i + L Die kirchhoffsche Maschenregel ist ein Ausdruck der nergieerhaltung in Stromkreisen. di Wir multiplizieren li i beide Seiten der Gleichung mit i und erhalten: i = i + Li Die linke Seite der Gleichung i ist die Leistung, die die atterie an den Stromkreis abgibt. Der Term i gibt die Leistung an, mit der nergie in dem Widerstand in Wärmeenergie umgewandelt wird. Die nergie, die von der atterie abgegeben, aber nicht in Wärmeenergie umgewandelt wird, muss wegen der nergieerhaltung im Magnetfeld der Induktivität gespeichert werden. Deshalb, muss der letzte t Term die Leistung du / angeben, mit itder sich die nergie des Magnetfelds U ändert. du di Li Vergleichen mit = Li U = q U = einem Kondensator: C
15 7.9 Die nergiedichte eines Magnetfelds Wir betrachten einen Abschnitt mit der Länge l aus der Mitte einer langen Zylinderspule mit dem Querschnitt A, durch die A ein Strom i fließt; das Volumen des Abschnitts ist Al. Die in diesem Abschnitt gespeicherte nergie U hat eine l Dichte: U Li μ0ni u = = L= μ0n Al u = Al Al = μ 0ni u = μ Für das elektrische Feld: u = ε 0 Sowohl u als auch u sind proportional p zum Quadrat der Feldstärke des jeweiligen Felds Gegeninduktion In Spule 1 fließt ein Strom i 1. Dieser Strom erzeugt ein Magnetfeld 1. Magnetischen Fluss Ф 1 durch Spule : N Φ = M i M 1 ist Gegeninduktivität Wenn der Strom in Spule 1 sich ändert, wird eine Spannung in Spule induziert: Die SI-inheit für M ist das Henry (wie für L). d Φ = N = M di
16 Jetzt vertauschen wir die ollen von Spule 1 und Spule In Spule fließt ein Strom i. Dieser Strom erzeugt ein Magnetfeld. Magnetischen Fluss Ф 1 durch Spule 1: Wenn der Strom in Spule sich ändert, wird eine Spannung in Spule 1 induziert: Man kann zeigen, dass M1 = M1 = M Deshalb kann man die induzierten Spannungen wie folgt bestimmen: N Φ = M i dφ = N = M di di1 di = L M di di = M L Die Gleichungen bilden die physikalische asis für einen Transformator. in Transformator wandelt eine ingangsspannung, die an einer der Spulen angelegt ist, in eine zweite, Ausgangsspannung um, die an der anderen Spule abgegriffen werden kann. Dabei kann man das Verhältnis von ingangs- und Ausgangsspannung durch das Verhältnis der Windungszahlen der beiden Spulen variieren.
15.Magnetostatik, 16. Induktionsgesetz
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