3. Approximation von Funktionen und Extremwertprobleme im R n

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1 3. Approximation von Funktionen und Extremwertprobleme im R n Wie in D ist es wichtig Funktionen mit mehreren Variablen durch Polynome lokal approximieren zu können. Polynome lassen sich im Gegensatz zu anderen Funktionen leicht analysieren und ableiten. Um nun Funktionen durch ein Polynome zu nähern, hilft: 3. Satz von Taylor Es gibt verschiedene Darstellungsmöglichkeiten für diese Näherungsformel. In den meisten Fällen reicht es die gegebene Funktion durch Polynome maximal. Ordnung zu nähern, weswegen wir uns auf diesen Fall beschränken und zum Schluss einen Blick auf das Restglied werfen. Satz von Taylor im R n : Für eine k+ -mal stetig differenzierbare Funktion f auf einer Teilmenge U R n gilt für a, x U: f x = f a + (D v f) a +! D v f a + + k! D v k f a + R k+ x mit R k+ x = k+! D v k+ f a + ξ x a, ξ [0,] und v x a Beispiel: Taylorformel in R für f um a R. D.h. wir entwickeln die Funktion f im Entwicklungspunkt a, wobei v wieder x a = x a x a ist: f a + v = f a + f x a v + f a v x + f! x a v + f a v x x v + f! x a v Eine vielleicht etwas übersichtlichere Darstellungsweise dieser Formel ist für den Entwicklungspunkt x 0 y 0 T : f x, y = f x 0 + α, y 0 + β = f x 0, y 0 + α x f x 0, y 0 + β y x 0, y 0 + α xx f x 0, y 0 + β yy f x 0, y 0 + αβ xy f x 0, y 0 + o α, β wobei α = x x 0 und β = y y 0. Dabei ist anzumerken, dass Polynome. Ordnung Terme, wie x oder 8y sind und Polynome. Ordnung Terme, wie 7x, 6y oder xy sind. Beispiel: Entwickeln Sie die Funktion f: R R, f x, y = x y bis zur zweiten Ordnung um x 0, y 0 = e,. f e, = e ( x f) e, = yx y (e,) =

2 y f e, = ln x x y e, = e xx f e, = y y x y e, = 0 yy f e, = ln x x y e, = e xy f e, = x y + y ln x e, = f x, y = e + x e + e y + e y + x e y = = 3 e x ey + ey + xy Wie man aus den beiden Formeln erkennt ist das Restglied für k=3 von der kleinen Ordnung, womit man das Restglied noch genauer abschätzen kann. Beispiel (aus der Klausur): Für welche k N 0 kann man R 3 x, y lim = 0 x,y 0 x + y k folgern? R 3 x, y = o x, y ~ x + y x +y x +y k/ = x + y k 0 für k 3. Hessematrix Eine Möglichkeit die Taylorformel zu verkleinern bietet die Hessematrix: Im R n gilt H f x f x f x x n f f x n x x n. Für den wichtigen Fall des R gilt H f x = f x f x f x f x Auf Grund der Vertauschbarkeit der Ableitungen einer zwei mal stetig differenzierbaren Funktion (im R ) ist die Hessematrix symmetrisch. Die Taylorformel bis zur. Ordnung lautet also mit Hilfe der Hessematrix: f a + v = f a + v f a + v H f a v + o v Beispiel: Entwickeln Sie f x, y = x y nun mit Hilfe der Hessematrix. f e, = yxy x y = ln x e, e H f e, = y y xy x y + y ln x x y + y ln x ln x x y e, = 0 e

3 f x, y = e + e x e y + x e y 0 e x e y =.. Haufen Recenscritte.. = 3 e x ey + ey + xy Eine Abbildung der Form v Av mit einer symmetrischen Matrix, wie der Hessematrix, nennt man quadratische Form. Die Hessematrix ist im übertragenen Sinne die zweite Ableitung im R n. Der Gradient die erste. Um nun wie im zweidimensionalen Extremwertprobleme lösen zu können müssen symmetrische Matrizen etwas genauer klassifiziert werden. Hier ein Ausschnitt (wichtiger Definitheiten): positiv definit (A>0), falls x Ax > 0 x R n 0 negativ definit (A<0), falls x Ax < 0 x R n 0 definit, falls entweder A>0 oder A<0 indefinit, falls x, y R n : x Ax > 0, y Ay < 0 semidefinit, falls A 0 oder A Extremwerte Um Extremstellen zu finden und zu charakterisieren gibt es ein gut funktionierendes Schema, welches nach der Begriffserklärung kommt. Wenn die Funktion f bei x 0 eine lokale Extremstelle hat, dann gilt f x 0 = 0 D.h. x ist ein kritischer/singulärer Punkt. Ansonsten nennt man Punkte regulär. Will man nun herausfinden, welche Art von Extremum man gefunden hat, so nimmt man folgende Kriterien her: lokales Maximum, falls H f x 0 < 0 lokales Minimum, falls H f x 0 > 0 Sattelpunkt, falls H f (x 0 ) indefinit Im Spezialfall R kann man die Extremalstellen wesentlich einfacher charakterisieren: det H f x 0 > 0 f xx x 0 < 0 lokales Maximum bei x 0 det H f x 0 > 0 f xx x 0 > 0 lokales Minimum bei x 0 det H f x 0 < 0 Sattelpunkt bei x 0 det H f x 0 = 0 keine Aussage möglich

4 Nun das das Schema illustrierende (etwas zu groß geratene) Beispiel: Betrachten Sie die Funktion f x, y = x + y + (x + y). Wie viele kritische Punkte gibt es? Beschränken Sie sich danach nur auf positive kritische Punkte und charakterisieren Sie diese. (Hinweis: Eine Lösung der Gleichung 4λ 3 4λ + = 0 ist.) Schritt : Gradient berechnen und Null setzen: f x, y = 4x x + 4y y + = 0 4x3 4x + = 0 4y 3 4y + = 0 Hinweis x = y = Da die Gleichung für x und y identisch sind, reicht es eine Gleichung für die weiteren Schritte zu benutzen. Keine Lösungen vergessen! Danach müssen per Polynomdivision und Lösen der entstehenden quadratischen Gleichung die restlichen x = y = 4 ± 5 > 0 und x 3 = y 3 = 4 5 < 0 berechnet werden. Weil x nicht von y und y nicht von x abhängen, gibt es 3 3=9 kritische Punkte. Schritt : Berechnung der Hessematrix und Überprüfen der Definitheiten: H f x = x y 4 det H f x = x 4 y 4 H x, y wobei wir auch gleich f xx berechnet haben, was zur Charakterisierung der Extrema notwendig ist. H x, y = > 0 f xx x, y = > 0 lokales Minimum H x, y = < 0 Sattelpunkt der Fall H x, y entspricht dem Fall H x, y, da die Werte identisch sind Sattelpunkt H x, y = > 0 f xx x, y < 0 lokales Maximum 3.4 Extrema unter Nebenbedingungen Oft will man Extremstellen nur auf oder innerhalb bestimmter Bereiche finden. Wenn dies der Fall ist, muss man sowohl das Innere, als auch den Rand des Bereichs untersuchen. Dazu geht man erst vor wie in 3.3. Um danach den Rand zu analysieren, parametrisiert man ihn. Beispiel: Untersuchen Sie die Funktion f x, y = x + 3y entlang der Kurve

5 k t = 3 cos t sin t 3 sin t cos t + auf Extrema. f x t, y t = 3 cos t sin t + 3 cos t + sin t = 3 cos t f t d f t = 3 sin t = 0 sin t = 0 t = kπ k Z x / dt y = ± 3 / Eine Möglichkeit bei gegebenen Nebenbedingungen in der Form g x = 0 Extrema zu bestimmen ist die Methode der Langrange schen Multiplikation. Hierzu verwendet man eine Hilfsfunktion F x, λ = f x + λg x und geht entsprechend 3.3 vor. Diese Methode eignet sich am besten für Maximierungs- oder Minimierungsaufgaben, wie etwa: Beispiel: Welcher Punkt auf der Kugel k x, y, z = x 3 + y 3 + z 3 = hat den kleinsten bzw. größten Abstand zum Ursprung? (Symmetrie beachten!) Unserer Funktion lautet (Abstand zum Ursprung): f x, y, z = x + y + z Die Nebenbedingung sind die Orte auf der Kugel: g x = x 3 + y 3 + z 3 = Womit unserer Hilfsfunktion F x, y, z, λ lautet: F x, y, z, λ = x + y + z + λ x 3 + y 3 + z 3 x + xλ 6λ x + y + z y + yλ 6λ x F x, y, z, λ = + y + z z = 0 + zλ 6λ x + y + z x 3 + y 3 + z 3 Aus diesen vier Gleichungen für vier Unbekannte erkennt man, dass x = y = z gelten muss, da die Kugel auf allen drei Achsen um 3 verschoben wurde. Damit reduziert sich das Problem auf ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: x + xλ 6λ + λ x 6 3x 3 x 3 = 3 3 x 3 = 0 Wie man unschwer erkennt ist nun auch die obere Gleichung nicht von Nöten. Nun löst man die unterste Gleichung nach x_ und x + auf: x_ = 3 = 7 und x = 3 + = 9 6 Punkt mit dem geringstem Abstand M = 7 6, 7 6, 7 6. ± 6

6 Punkt mit dem größten Abstand P = 9, 9, Wenn man mehrere Nebenbedingungen G x = f x + λ G x G m x m = 0 gegeben hat, so lautet der j G j x j = Ansatz mit der Hilfsfunktion: F x, λ = = 0, womit man n+m G x Gleichungen für n+m Unbekannte (x,λ) hat. Diese Gleichungssysteme sind im Allgemeinen nicht linear und somit schwieriger zu lösen.