Homogene Gleichungssysteme, Gausscher Algorithmus
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- Lioba Schräder
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1 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung Homogene Gleichungssyseme, Gusscher lgorihmus u ufgbe Besimmen Sie mi Hilfe des Gusschen lgorihmus die jeweilige Lösungsmenge folgender Gleichungssyseme! Geben Sie im Flle der Lösbrkei des GS die Lösungsmenge ls Vekorrum n und geben Sie die Dimension und die Bsis n! b Lösung: u Miels Gus schem lgorihmus digonlisieren wir ds Gleichungssysem (GS. (Bemerkung: die reche Seie des Gleichungssysems is b. Deshlb können wir bei der Mri ( b b weglssen, lso nur die Koeffizienenmri berchen, d diese Sple b immer gleich bleib, egl, welche Operion des Gusschen lgorihmus wir nwenden. * / 7 Ds o.g. GS können wir lso äquivlen durch folgende Digonlgesl drsellen:
2 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung D.h., die Lösungsmenge des GS is folgender Vekorrum der Dimension : L { } Hier is Rg (* n, wobei n die nzhl der Unbeknnen is. Ds GS h in diesem Fll (Rg( n genu eine Lösung und zwr die sogennne rivile Lösung u b... Miels Gus schem lgorihmus digonlisieren wir ds GS. (Bemerkung: die reche Seie des Gleichungssysems is b. Deshlb können wir bei der Mri ( b b weglssen, lso nur die Koeffizienenmri berchen, d diese Sple b immer gleich bleib, egl, welche Operion des Gusschen lgorihmus wir nwenden. Lösung des GS: Ds GS h die Digonlgesl: Wir hben Gleichungen und Unbeknne, d.h., eine Unbeknne, wir wählen, können wir beliebig wählen. nschließend lösen wir die beiden Gleichungen von unen nch oben nch und uf. Wir erhlen:.
3 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung D.h., die Lösungsmenge des GS is folgender Vekorrum der Dimension : L {, R }. Bsisvekor. Hier is Rg (* < n, wobei n die nzhl der Unbeknnen is. Ds GS h in diesem Flle (Rg( < n unendlich viele Lösungen. Die Dimension des Lösungsrumes ( Lösungsmenge is dn - Rg(* ( nzhl der frei wählbren Unbeknnen. D es ein homogenes GS (b is, is der Lösungsrum ein Vekorrum der Dimension d. Bemerkung: Es gil folgende llgemeine Regel: Homogene linere GS sind immer lösbr: Fll: Rg( n --> Ds GS h gnu eine Lösung (die rivile Fll: Rg( < n --> Ds GS h unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge is ein Vekorrum der Dimension dim(l n-rg(. nhomogene Gleichungssyseme, Gusscher lgorihmus u ufgbe u Wir formen ds Gleichungssysem durch nwendung des G äquivlen in Digonlgesl um:
4 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung Demzufolge erhlen wir die folgende Digonlgesl und die Lösungen: Hier is Rg(* Rg(* b * n Ds GS is eindeuig lösbr! Lösungsmenge: L u b.... Miels Gus schem lgorihmus digonlisieren wir ds GS:
5 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung Hier is Rg(* Rg(* b * bzw. Rg( Rg( b Ds GS is nich lösbr! Lösungsmenge: L Φ u c 7 7 Miels Gus schem lgorihmus digonlisieren wir ds GS: 7 ( * b * Es is rg(rg(* und rg( b rg( * b*. Hier is rg( rg( b <. D.h. ds GS h unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge is ein ffiner Rum der Dimension dn-rg( -, lso eine Gerde. Berechnung der Lösungsmenge: us der digonlisieren Mri ergib sich folgende Digonlgesl des GS: 7
6 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung Wir hben Gleichungen und Unbeknne, d.h., eine Unbeknne, wir wählen, können wir beliebig wählen. nschließend lösen wir die beiden Gleichungen von unen nch oben nch und uf. Wir erhlen:. 7 7 Die Lösungsmenge is lso: R L, ufpunk:, Bsisvekor: u ufgbe Für welche Were von bilde die Lösungsmenge des Gleichungssysems eine Gerde? Wie lue in diesem Fll die Lösung des Gleichungssysems? Lösung: Ds Gleichungssysem is äquivlen mi folgender Mri Veruschen der Splen, in der Reihenfolge S,S,S -
7 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung 7... Ds Gleichungssysem is nur dnn lösbr, flls gil: ( ( b rg rg. Weierhin gil: dim(lösungsrum n - rg(, wobei n die nzhl der Unbeknnen is, lso n. Der Lösungsrum soll eine Gerde sein, d.h., die Dimension des Lösungsrumes muss sein. D n folg us der Bedingung - rg( dss ( ( b rg rg sein muss. Deshlb muss in der obigen Dreiecksmri - sein. D.h., es is Die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Sysems h lso die Dimension für. Berechnen der Lösung des Gleichungssysems: Einsezen von (in obige Mri und Berücksichigung der obigen Veruschung der Splen (Die Koeffizienen in Sple gehören zu, in Sple zu und in Sple zu :. 7 7 ( Die Lösungsmenge unseres inhomogenen Gleichungssysems is lso für : L R P R P, 7 / / 7
8 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung u ufgbe Für welche R is dieses GS eindeuig b mehrdeuig nich lösbr? d Geben Sie im Flle der eindeuigen Lösbrkei die Lösung n! Lösung: Ds Gleichungssysem is äquivlen zur Mri, uf die wir den Gusschen lgorihmus nwenden. Gusscher lgorihmus: und dersplen Veruschen Lösbrkeisbedingungen: u eindeuig lösbr, flls rg( rg( b, lso flls de(. Dzu müssen lle Digonlelemene der Mri sein. D.h., eindeuig lösbr Die Lösung der Gleichung - - ergib: ± ±, D.h., ds GS is eindeuig lösbr, flls gil:
9 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung 9 u b und c Wir unersuchen nun die nderen Fälle: Fll : Fll -: u b Mehrdeuig lösbr, flls rg( rg( b <. Für is rg( rg( b <, d.h. ds GS is für mehrdeuig lösbr! u c Ds GS is nich lösbr, flls gil: rg( rg( b. Für - is rg( und rg( b, d.h. ds GS is für - nich lösbr! u d Die Lösung des GS im Fll der eindeuigen Lösbrkei berechnen wir miels G: Wir lösen ds GS von unen nch oben uf und erhlen: ( ( ( (
10 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung nwendungen u ufgbe Berechnen Sie die Teilsröme,, in folgender Msche: C R Ω R Ω R R Ω B Hinweis: Verwenden Sie die Kirchhoff schen Geseze (Mschenregel und Knoenregel und sellen Sie zunächs lle in dieser Msche gelenden Gleichungen für,, uf! Lösen Sie nschließend ds GS mi dem Gusschen lgorihmus! Mschenregel: Die Summe der Spnnungen in einer Msche is gleich (Bechen Sie, dss UR is und bechen Sie die Richung des Spnnungsbflls! Knoenregel: Die Summe der in einen Knoen hineinfließenden Sröme is gleich der Summe der us dem Knoen herusfließenden Sröme. Lösung: Wir erhlen us der Skizze folgendes Gleichungssysem: ( U U U Mschenregel ( ( ( B ( U i R i C Knoenregel "" "" Ohmsches Gesez Sezen wir ( in ( ein und berücksichigen wir die in der Skizze gegebenen Were für Sröme und Wiedersände, so erhlen wir folgendes Gleichungssysem:
11 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung (' (' (' (' Miels Gus schem lgorihmus digonlisieren wir ds GS: < > < > ( b Wir erhlen lso folgendes zu ( bis ( äquivlenes Gleichungssysem: Wir lösen es von unen nch oben uf und erhlen: /, /,7 /,7 u ufgbe Durch folgende Messpunke ( i,y i, i,..., geh genu ein Polynom. Grdes y d c b. i - yi Besimmen Sie die Koeffizienen -d dieses Polynoms, indem Sie zunächs ein Gleichungssysem ufsellen und dieses dnn miels Gusschem lgorihmus oder der Crmerschen Regel lösen!
12 HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: Tel.: 7- Lösungen zu Übung Lösung: us der Beziehung y i d c b i i i, die für jeden der Punke (i,yi gelen muss, erhlen wir ds Gleichungssysem: y v mi, y und d c b v. Wir lösen es durch nwendung des Gusschen lgorihmus: 9 ( Selle n leze y, Ds Gleichungssysem y v is folglich äquivlen zu: - b - c d b d -c - d d Wir lösen es von unen nch oben uf und erhlen: d c - / b - / Unser Polynom lue lso: y.
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Lebezieunen Lebezieunen Wir wollen nun die eenseiie Le von Punken, Gerden und benen unersucen.. Le eines Punkes bezülic einer Gerden Ds is eine scon beknne Übun. Nics deso roz ier noc einml ein Beispiel.
f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.
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DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN
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Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg
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Kapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie
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