Die Einsteinschen Feldgleichung

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1 Die Einsteinschen Feldgleichung Thomas Lottner 14. November

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen 3 2 Die Feldgleichung 6 3 Die EG in der RW-Metrik 7 4 Exkurs: Gravitationsstrahlung 10 2

3 1 Mathematische Grundlagen Im folgenden Abschnitt soll eine kurze Einführung in die mathematische Theorie der Mannigfaltigkeiten (speziell Riemannsche Mannigfaltigkeiten), gegeben werden, sowie einei Konzepte der Dierentialgeometrie erläutert werden. Dieser Abschnitt soll als Erinnerung bzw. Klärung der Begriichkeiten dienen, um die nachfolgenden Teile nachvollziehen zu können. Für weitere Interessierte sei auf die entsprechenden Kapitel in Lehrbüchern zur Allgemeinen Relativitätstheorie (z.b. R. Wald, General Relativity) verwiesen. Anders als die klassische Physik verfolgt die Allgemeine Relativitätstheorie den Ansatz, die Gravitationr nicht mehr als Kraft zu beschrieben, die auf die Massen wirkt. Hier verzerren die Massen (dargestellt durch den Energie-Impuls Tensor) den Raum, der dann nicht mehr einer euklidischen Geometrie folgt. Dies führt zu folgendem Grundsatz: Die Raumzeit wird durch eine 4-dimensionale pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit beschrieben (R.Wald, General Relativity) Es sei darauf hingewiesen, dass hier nicht mehr von Raum und Zeit getrennt gesprochen wird, die Sonderstellung der Zeit wird aufgehoben, was zu einem 4-dimensonalen Raum führt. Einige Begriichkeiten: ˆ ˆ ˆ Eine Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Raum, der lokal-homöomorph zum R n ist, d.h. es existiert zu jeden Punkt x Mexisitiert eine oene Umgebung die stetig in den R n eingebettet werden kann. Wichtig ist hier die Eigenschaften der Lokalität. Die Abbildungen (Homöomorphismen), die Teilmengen der Mannigfaltigkeit in den R n (die Tangentialräume) überführen, werden Karten genannt. Auch diese Abbildungen gelten nur für eine Teilmenge der Mannigfaltigkeit. Ein vollständiger Satz Karten, der die Mannigfaltigkeit überdeckt, heiÿt Atlas. ein pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit besitzt zudem eine Skalarprodukt (wird über die Tangentialräume deniert), dass aber nicht positiv denit sein muss - die Metrik g µν. Die Metrik ist die Vorschrift, wie Elemente der Manigfaltigkeit (die zunächst nur ganz rudimentäre Eigenschaften haben und i.a. keine Vektoren sind) mit einander miltipliziert werden. Somit können auch auf gekrümmten Flächen Begrie wie Winkel, Abstände oder Flächen ganz natürlich eingeführt werden. 3

4 Abbildung 1: Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit Riemannsche Geometrie Weiter benötigen wir noch einige Begrie aus der Dierentialgeometrie, da Begrie wie Ableitungen, Geraden, usw. nicht mehr klar deniert sind: Ableitung T ν,δ = Tν x δ Kovariante Ableitung: T µ ;δ = T µ + Γ µ x δ δλ T λ Wobei Γ µ νδ die Cristoelsymbole darstellen, mit Γ µ νδ = 1 2 gµσ (g σν,δ + g σδ,ν g δν,σ ) Die Christoelsymbole sind die Komponenten des Levi-Chivita-Zusammenhangs, der die lokalen Tangentialräume in Zusammenhang bringen, und somit die Parallelverscheibung entlang einer beliebigen Kurve auf der Mannigfaltigkeit beschreiben. Sie enthalten somit Information über die Krümmung und sind Abhängig von der Metrik des Raumes. Auch Geraden auf der Mannigfaltigkeit müssen nun nicht immer die kürzeste Strecke in der Mannigfaltigkeit sein. Deswegen muss man nun die Geodäten einführen. Sie sind Kurven über die Mannigfaltigkeit, die die folgende Variationsbedingung erfüllen: δ B A ds = 0 oder δ B A ds2 = 0 Im euklidischen sind die Geodäten einfach die Geraden. Diese Variation führt zur Geodätengleichung: 4

5 d 2 x µ ds 2 + dx ν dx δ Γµ νδ ds ds = 0 Im achen Raum fällt diese Gleichung auf die bekannte Bewegungsgleichung a(t) = ẍ(t) = 0 zusammen. Abbildung 2: Ein Dreieck im gekrümmten Raum In Abb. 2 sind zwei Dreiecke angebildet (die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten). Es sei darauf hingewiesen, dass die Winkelsumme nicht mehr 180 entspricht. Nun können wir uns einigen Begrien und Konstrukten der Riemannschen Geometrie zuwenden: Zunächst benötigen wir den Riemannsche Krümmungstensor, der folgendermaÿen deniert ist: ˆR µ νδλ = Γµ νλ,δ Γµ δν,λ + Γρ νλ Γµ δρ Γρ νδ Γµ λρ Er ist ein (1,3)-Tensor, und enthält alle (relevanten) Informationen über die Krümmung des Raumes. Er ist aus den ersten Ableitungen der Christoelsymbole aufgebaut, und damit höchstens linear in den zweiten Ableitungen der Metrik. Wenn wir den kontravarianten Index mit dem zweiten kovarianten kontrahieren, erhalten wir den Ricci-Tensor: ˆR νλ = ˆR µ νµλ = Γµ νλ,µ Γµ µν,λ + Γρ νλ Γµ µρ Γ ρ νµγ µ λρ Er gibt anschaulich die Abweichung der Metrik g µν von der Minkowski-Metrik η µν an und beschreibt sozusagen die Krümmung in die verschiedenen Raumrichtungen. 5

6 Kotrahieren wir nun nocheinmal die verbleibenden Indizes, so erhalten wir die Skalarkrümmung: ˆR = ˆR δ δ Hier wird die Krümmung nun auf einen skalar reduziert, wir haben keine Richtungsabhängigkeit mehr, der Krümmungsskalar bezieht sich nurnoch auf den Ort. Bei einer Kugel mit Radius r ist die Skalarkrümmung z.b. ˆR 1 r 2. 2 Die Feldgleichung Nun haben wir alle mathematischen Konstrukte eingeführt, die wir benötigen und können uns an die Feldgleichungen herranwagen. Dafür benötigen wir einige Vorüberlegungen, welche Gestalt die Feldgleichungen besitzen müssen. Diese Bedingungen schränken die Feldgleichung allerdings nur ein, beliebig kompliziertere Versionen wären theoretisch denkbar, allerdings sehen wir die Einfachstmögliche reicht - fast (s. Vortrag Die kosmologische Konstante) - aus. Bedingungen an die Feldgleichung Zunächst fordern wir in Analogie zu den Maxwellgleichungen, dass die Masse die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Wir erinnern uns and die klassische Elektrodynamik in der wir für das elektrische Feld nden: E = ρ, die Ladungsdichte ist die Quelle des elektrischen Feldes. Aus der speziellen Relativitätstheorie wissen wir um die Äquivalenz von Masse und Energie, also fordern wir, dass der Energie-Impuls-Tensor die Quelle des Gravitationsfeldes ist, oder kurz: G µν = a T µν Hier sei nocharauf hingewieÿen, dass T µν wie ein Tensor transformiert, d.h. G µν muss, um für ein beliebiges Koodinatensystem zu gelten, ebenfalls wie ein Tensor transformieren. Auÿerdem ist T µν symmetrisch in seinen Lorentzidizes, insofern muss auch G µν symmetrisch in µ und ν sein. Auÿerdem wollen wir G µν nur aus der Metrik aufbauen, da wir annehmen, die Gravitationkraft lässt sich vollständig als Änderung der Geometrie verstehen, und wollen zunächst versuchen es nur mit ihrer ersten und zweiten Ableitung und in letzterer nur linear zu erreichen. Weiter fordern wir noch, dass Energie-Impulserhaltung gilt, also T µν = 0 G µν = 0. Hier sei noch gesagt, dass es nicht viele Tensoren gibt, die die Obigen Forderungen v.a. das Transformationsverhalten sowie die Symmetrie der Indizes, erfüllen. der Ricci-Tensor und die Skalarkrümmung gehören jedoch dazu. Schlussendlich wollen wir die klassische Gravitationsmechanik noch im Grenzfall geringer Geschwindigkeiten und schwacher Felder erhalten ( U = 4πGρ). 6

7 Beachtet man all diese Forderungen, so lässt sich als einfachst mögliche Feldgleichung postulieren: ˆR µν 1 2 g µν ˆR = 8πG c 4 T µν Wobei G µν = ˆR µν 1 2 g ˆR µν Einsteintensor genannt wird. Man beachte, dass beide Seiten Tensoren sind und symmetrisch sind. Für µ, ν {0, 1, 2, 3} ergeben sich damit 10 unabhängige gekoppelte nicht-lineare Dierentialgleichungen für die Komponenten der Metrik. Wir wollen im foglenden versuchen, diese abstrakte und unhandliche Gleichung für die bekannte Robertson-Walker-Metrik zu lösen. 3 Die EG in der RW-Metrik Wir betrachten wieder das Linienlement der RW-Metrik: [ ] ds 2 = c 2 dt 2 dr 2 + r 2 dω 1 κ r2 R(t) 2 wobei: R(t) = R a(t) die Ausdehnung des Universums angibt und dω = dθ + sin 2 (θ)dφ das Raumwinkelelement. Wir substituieren r r R und schreiben aus Bequemlichkeit wieder r. [ ] ds 2 = c 2 dt 2 R(t) 2 dr 2 1 κr 2 + r2 dω Somit lässt sich der metrische Tensor (deniert durchdx 2 = g µν dx µ dx ν ) leicht angeben: g µν R = κr R 2 r R 2 r 2 sin(θ) Der Energie-Impuls-Tensor Wir betrachten nun die Materie im Universum als klassische ideale Flüssigkeit, deren Druck isotrop im Ruhesystem eines jeden Teilchens ist. Man beachte, dass hier jede Galaxie als einzelnes Atom angenommen wird, da man sonst Probleme bekommt, die mit Bewegungen zusammenhängen, die nicht in Richtung der Ausdehnung verlaufen. Damit erhalten wir den folgenden Energie-Impuls-Tensor aus der Hydrodynamik: T µ ν = (ɛ + p)u µ u ν p g µ ν 7

8 wobei: ɛ = ρ die Energiedichte p der Druck u µ das Vektorfeld der lokalen Strömungsgeschwindigkeit sind Der Einfachheit halber verwenden wir hier natürliche Einheiten ( = c = k B = 1). Im Ruhesystem eines mitbewegten Beobachters (eines der Teilchen) vereinfacht sich dies, da: u µ = ( 1, 0, 0, 0 ) und g µν = η µν Damit erhalten wir (wieder in natürlichen Einheiten): ɛ T µ ν = p p p Hier sei noch angemerkt, dass diese Näherung für ein Universum erst ab 100 MPc sinnvoll ist, man muss also tatsächlich das ganze Universum betrachten ( 15GPc). Der Ricci-Tensor und die Skalarkrümmung Nun müssen wir noch den Richi-Tensor berechnen, was ungleich mehr Arbeit bedeutet, da wir nun die Christoelsymbole benötigen. Wir erinnern uns: ˆR νλ = Γ µ νλ,µ Γµ µν,λ + Γρ νλ Γµ µρ Γ ρ νµγ µ λρ Wobei die Christoelsymbole sich wiederum zusammensetzen: Γ µ νδ = 1 2 gµσ (g σν,δ + g σδ,ν g δν,σ ) Wir wissen glücklicherweise, dass sowohl Metrik als auch Energie-Impuls-Tensor diagonal sind, und somit muss auch R µν symmetrisch sein, und wir müssen nur 4 Elemente berechnen. Einigen Rechenaufwand später erhält man: ˆR 00 = 3 R c 2 R ˆR 11 = R R + 2Ṙ2 + 2cκ c 2 (1 κr 2 ) ˆR 22 = r2 c 2 (R R + 2Ṙ2 + 2cκ) ˆR 33 = r2 c 2 sin2 (θ)(r R + 2Ṙ2 + 2cκ) 8

9 Die Skalarkrümmung erhalten wir nun als Summe der obeigen Ausdrücke: ˆR = ˆR µ µ = 6 (R R + Ṙ2 + c 2 κ) c 2 R 2 Hierbei benötigten wir g µµ für die gilt: g µµ = 1 g µµ Nun können wir die Ergebnisse gemäÿ der Einsteinschen Feldgleichung zusammenfügen und erhalten zwei alte Bekannte: die Friedmann-Gleichungen. Die (00)-Komponente bestimmt die Hubble-Konstante: ȧ(t) 2 a(t) 2 = 8πG 3 ρ c2 κ a(t) 2 = H2 Und die (11)-Komponente gibt die Beschleunigung der Ausdehnung des Universums an: Ḣ + H 2 = a(t) a(t) = 4πG 3c 2 (ρc2 + 3p) Wir haben also nun nur aus dem allgemeineren Ansatz der Mannigfaltigkeiten bzw. gekrümmten Räumen, die Gravitationskraft auf eine Änderung der Geometrie reduziert und eine Gleichung hergeleitet, die uns eine Beziehung zwischen Energie/Masse und der resultierenden Metrik gibt. Abschlieÿend haben wir die Friedmann-Gleichungen aus der Einsteinschen Feldgleichung hergeleitet, die sich nun ganz natürlich in der Robertson-Walker- Metrik ergibt. 9

10 4 Exkurs: Gravitationsstrahlung Wir betrachten eine relativ ache Raumzeit. Dies ist global im Universum, abgesehen von schwarzen Löchern, Quasaren etc. eine relativ gute Näherung. Damit lässt sich die Metrik folgendermaÿen aproximieren lässt: g µν = η µν + γ µν Also eine kleine Abweichung von der Minkowski-Metrik. Damit ergibt sich für den Ricci-Tensor: R (1) µν = δ κ γ λδ + δ λ γ κδ 1 2 δ δ γ µν µ ν γ δ δ Mit noch einigen (unanschaulichen) Umformungen und einer Eichung analog zur Lorenz-Eichung der Elektrodynamik (siehe R. Wald, General Relativity S.75) erhalten wir dann eine Wellengleichung (vgl. kovariante Maxwell-Gleichung: µ µ A λ = 4πj λ ): δ δ γ = 16πT µν Dies beschreibt genau ein masseloses Spin 2 - Teilchen (Fierz, Pauli 1936) - das Graviton. 10