Inhaltsverzeichnis Grundlagen Analysis von Funktionen einer Veränderlichen Reihen 191

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Logische Grundlagen Grundlagen der Mengenlehre Abbildungen Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion Ganze, rationale und reelle Zahlen Ungleichungen und Beträge Komplexe Zahlen Aufgaben Analysis von Funktionen einer Veränderlichen Begriff der Funktion Eigenschaften von Funktionen Elementare Funktionen Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Differenzierbarkeit von Funktionen Lineare Approximation und Differential Eigenschaften differenzierbarer Funktionen TAYLOR-Formel und der Satz von TAYLOR Extremalprobleme BANACHscher Fixpunktsatz und NEWTON-Verfahren Kurven im R Integralrechnung Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern Parameterintegrale Uneigentliche Integrale Numerische Integration Interpolation Aufgaben Reihen Zahlenreihen Funktionenfolgen Gleichmäßig konvergente Reihen Potenzreihen Operationen mit Potenzreihen Komplexe Potenzreihen, Reihen von exp x, sin x und cos x

2 X Inhaltsverzeichnis 3.7 Numerische Integralberechnung mit Potenzreihen Konstruktion von Reihen FOURIER-Reihen Aufgaben Lineare Algebra Determinanten CRAMERsche Regel Matrizen Lineare Gleichungssysteme und deren Lösung Allgemeine Vektorräume Orthogonalisierungsverfahren nach ERHARD SCHMIDT Eigenwertprobleme Vektorrechnung im R Aufgaben Analysis im R n Eigenschaften von Punktmengen aus dem R n Abbildungen und Funktionen mehrerer Veränderlicher Kurven im R n Stetigkeit von Abbildungen Partielle Ableitung einer Funktion Ableitungsmatrix und HESSE-Matrix Differenzierbarkeit von Abbildungen Differentiationsregeln und die Richtungsableitung Lineare Approximation Totales Differential TAYLOR-Formel und Mittelwertsatz Satz über implizite Funktionen Extremalaufgaben ohne Nebenbedingungen Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen Ausgleichsrechnung NEWTON-Verfahren für Gleichungssysteme Aufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung Allgemeine Begriffe Allgemeines zu Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen erster Ordnung mit trennbaren Variablen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Durch Transformationen lösbare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Anmerkungen zum Rechnen mit Differentialgleichungen Numerische Lösungsmethoden

3 Inhaltsverzeichnis XI 6.11 Potenzreihen zur Lösung von Differentialgleichungen BESSELsche und LEGENDREsche Differentialgleichungen Rand- und Eigenwertprobleme Nichtlineare Differentialgleichungen Aufgaben Vektoranalysis und Kurvenintegrale Die grundlegenden Operatoren der Vektoranalysis Rechenregeln und Eigenschaften der Operatoren der Vektoranalysis Potential und Potentialfeld Skalare Kurvenintegrale Vektorielles Kurvenintegral Arbeitsintegral Stammfunktion eines Gradientenfeldes Berechnungsmethoden für Stammfunktionen Vektorpotentiale Aufgaben Flächenintegrale, Volumenintegrale und Integralsätze Flächeninhalt ebener Bereiche RIEMANNsches Flächenintegral Flächenintegralberechnung durch Umwandlung in Doppelintegrale Satz von GREEN Transformationsformel für Flächenintegrale Integration über Oberflächen Satz von STOKES Volumenintegrale Transformationsformel für Volumenintegrale Satz von GAUSS Aufgaben Partielle Differentialgleichungen Was ist eine partielle Differentialgleichung? Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Beispiele von partiellen Differentialgleichungen aus der Physik Wellengleichung Wärmeleitungsgleichung Potentialgleichung Entdimensionierung von partiellen Differentialgleichungen Aufgaben Funktionentheorie Komplexe Funktionen Differentiation komplexer Funktionen Elementare komplexe Funktionen und Potenzreihen Konforme Abbildungen Integration komplexer Funktionen

4 XII Inhaltsverzeichnis 10.6 Reihenentwicklungen komplexer Funktionen Behandlung von Singularitäten und der Residuensatz Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes Harmonische Funktionen Aufgaben Integraltransformationen Definition von Integraltransformationen FOURIER-Transformation Umkehrung der FOURIER-Transformation Eigenschaften der FOURIER-Transformation Anwendung der FOURIER-Transformation auf partielle Differentialgleichungen LAPLACE-Transformation Inverse LAPLACE-Transformation Rechenregeln der LAPLACE-Transformation Praktische Arbeit mit der LAPLACE-Transformation und der Rücktransformation Aufgaben Variationsrechnung und Optimierung Einige mathematische Grundlagen Funktionale auf BANACH-Räumen Variationsprobleme auf linearen Mannigfaltigkeiten Klassische Variationsrechnung Einige Variationsaufgaben Natürliche Randbedingungen und Transversalität Isoperimetrische Variationsprobleme Funktionale mit mehreren Veränderlichen Aufgaben Elemente der Tensorrechnung Tensoralgebra Tensoranalysis Aufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufällige Ereignisse Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse Zufallsgrößen Zufällige Vektoren Aufgaben

5 Inhaltsverzeichnis XIII 15 Statistik Stichproben Punktschätzung Intervallschätzung Statistische Tests Korrelations- und Regressionsanalyse Aufgaben A Formelkompendium 955 B Octave/MATLAB 969 B.1 Eingabekonventionen B.2 Kontrollstrukturen B.3 Vektoren und Matrizen B.4 Allgemeines B.5 Visualisierung: 2-dimensionale Plots B.6 Rechnen mit Matrizen B.7 Funktionen B.8 Rekursionen B.9 Komplexität B.10 Handles B.11 Verschiedenes C Literaturhinweise 985 Index 987

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