Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

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1 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt Relationen, Zahlenmengen, Algebraische Strukturen Die roten -Sterne zeigen Aufgaben zum verschärften Nachdenken Aufgabe Sei die Menge M := Schere, Stein, Papier, Brunnen} gegeben Weiter werde die Relation R wie nachfolgend definiert: R := (Schere, Papier), (Stein, Schere), (Papier, Stein), (Papier, Brunnen), (Brunnen, Schere), (Brunnen, Stein) } a) Entscheiden Sie ob die angegeben Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist b) Stellen Sie die Relation graphisch dar und interpretieren Sie diese als Spiel c) Zeigen Sie, dass die Strategie Brunnen dominant zur Strategie Stein ist d) Wie ändert sich die Spielsituation durch Weglassen des Elements Stein? e) Wie ist R zu wählen, sodass durch Hinzufügen eines neuen Elements Streichholz ein ausgeglichenes Spiel resultiert? Lösungsvorschlag zu Aufgabe a) Die Relation ist nur antisymmetrisch, denn es gilt x, y M : (xry yrx) b) Die graphische Darstellung der Relation durch einen Graph kann wie nachfolgend erfolgen Schere Stein Papier Brunnen xry kann dabei mit x schlägt y interpretiert werden c) Sowohl Stein als auch Brunnen schlagen Schere, verlieren aber beide gegen Papier Im direkten Vergleich gewinnt jedoch Brunnen Somit kann Brunnen als dominant im Vergleich zu Stein betrachtet werden d) In diesem Falle würde ein ausgeglichenes Spiel resultieren Schere Papier Brunnen Mathematik (Wintersemester 0/0) Seite von 8 November 0

2 e) Durch Hinzufügen eines neuen Elements Streichholz (verbrennt Papier, schwimmt im Brunnen, wird vom Stein zerschlagen und von Schere zerschnitten) gilt: Schere Stein Papier Brunnen Streichholz Dieses Spiel ist ausgeglichen, da jedes Element jeweils zweimal gewinnt und zweimal verliert Aufgabe Die Menge Z sei versehen mit folgender Relation R : R := (n, m) Z d N : n = m + d} Prüfen Sie ob diese Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist Welche Eigenschaften wären zutreffend, wenn anstatt R die Relation R 0 betrachtet wird Dabei sei R 0 := (n, m) Z d N 0 : n = m + d} Lösungsvorschlag zu Aufgabe Die Relation R erfüllt nachfolgende Eigenschaften: a) Antisymmetrie, denn es gilt n, m Z: (nrm mrn) b) Transitivität, denn wenn nrm und mrp erfüllt sind, so gilt n = m + d und m = p + d, dh n = p + d mit d := d + d N und somit auch nrp Die Relation R 0 ist zusätzlich sogar noch reflexiv, da d = 0 hier zugelassen ist Somit stellt R 0 eine Ordnungsrelation dar Gebräuchlicher für obige Relationen sind nachfolgende Schreibweisen xry : x > y, xr 0 y : x y Aufgabe Prüfen Sie, ob nachfolgende Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind a) Die Funktion f : N N mit n n b) Die Teileranzahlfunktion d : N N mit x n N n x } c) Die Funktion f :, ], ] R mit (x, y) x + y Lösungsvorschlag zu Aufgabe a) Es gilt: f() =, f() =, f() =, Somit ist f(n) = N, dh f ist nicht surjektiv Weiter ist f injektiv, da gilt: n, m N : n m f(n) = n m = f(m) Insgesamt ist f daher nicht bijektiv b) Zunächst kann folgende Feststellung gemacht werden: d( n ) = (n + ) für alle n N 0 Hiermit ergibt sich unmittelbar die Surjektivität Wegen d() = = d(p) für alle p P ist d jedoch nicht injektiv und daher auch nicht bijektiv Mathematik (Wintersemester 0/0) Seite von 8 November 0

3 c) f ist nicht injektiv, denn es gilt: f(x, ) = + x = f(x, ) für alle y, ] Desweiteren ist f nicht surjektiv, da beispielsweise stets f(x, y) 0 gilt Insgesamt ist f daher nicht bijektiv Aufgabe Zeigen Sie dass die Zahl + n + n+ für alle n N stets durch 7 teilbar ist Lösungsvorschlag zu Aufgabe Dies wird induktiv nachgewiesen (IV) A(n) : f(n) := ( + n + n+ ) 0 mod 7 für alle n N (IA) A() : + + = 0 mod 7 (IS) Zu zeigen: n N : A(n) A(n+) Dh aus der Richtigkeit von A(n) soll die Richtigkeit von A(n + ) folgen Hierbei wird gezeigt, dass die Differenz f(n + ) f(n) durch 7 teilbar ist (dh f(n + ) f(n) 0 mod 7) Falls dies nachgewiesen werden kann gilt (wegen f(n) 0 mod 7) f(n + ) = f(n + ) f(n)] + f(n) 0 mod 7 Dass die betrachtete Differenz durch 7 teilbar ist, kann wie folgt eingesehen werden f(n + ) f(n) = n+ n = n n = n ( n ) = n ( ( ) n ) = n (8 n ) n ( ) 0 mod 7 Aus dem Induktionsanfang (IA) und dem Induktionsschluss (IS) folgt somit die Behauptung Aufgabe Zeigen Sie, dass das Paar (A, ) mit A := f :,,, },,, } f bijektiv } eine nichtkommutative Gruppe darstellt Dabei stellt die Verknüpfung der Komposition dar Lösungsvorschlag zu Aufgabe Hier müssen die drei Eigenschaften einer Gruppe nachgewiesen werden Zunächst ist jedoch festzuhalten, dass die Komposition auf A überhaupt eine Verknüpfung darstellt, dh es muss gelten: : A A A Dies ist aber wegen Satz stets der Fall, da die Komposition zweier bijektiver Funktionen wiederum bijektiv ist Dh für alle f, g A gilt f g A Die Gruppeneigenschaften können dann wie folgt eingesehen werden: a) Assoziativität: Seien f, g, h A Dann gilt für alle x,,, } f (g h) ] (x) = f (g h)(x) ] = f g ( h(x) )] = (f g) ( h(x) ) = (f g) h ] (x) b) Existenz eines neutralen Elements: Die Funktion id :,,, },,, } mit x x verhält sich neutral im Sinne der Komposition, denn es gilt für alle f A (f id)(x) = f ( id(x) ) = f(x), (id f)(x) = id ( f(x) ) = f(x) Mathematik (Wintersemester 0/0) Seite von 8 November 0

4 c) Existenz inverser Elemente: Sei f A mit f(k) =: a k,,, } für k =,,, Dann gilt wegen der Surjektivität a, a, a, a } =,,, } Die Abbildung f :,,, },,, } mit a k k stellt dann das inverse Element von f bezüglich der Komposition dar, denn es gilt für alle k,,, } (f f )(a k ) = f ( f (a k ) ) = f(k) = a k, (f f)(k) = f ( f(k) ) = f (a k ) = k Somit stellen f f und f f die identische Abbildung id dar Insgesamt ist (A, ) somit eine Gruppe Diese ist jedoch nicht abelsch Beispielsweise können f und g wie nachfolgend gewählt werden f :,,, },,, } mit,,, g :,,, },,, } mit,,, Die Kompositionen f g und g f lauten dann: f g :,,, },,, } mit,,, g f :,,, },,, } mit,,, Somit gilt (f g) (g f), dh (A, ) ist nicht abelsch Diese Gruppe wird auch als Permutationsgruppe S bezeichnet Aufgabe Stellen Sie eine Teilbarkeitsregel für die Division durch auf Lösungsvorschlag zu Aufgabe Es gilt folgende Teilbarkeitsregel: Eine Zahl x = n k=0 a k0 k N mit a k 0,,, 9} ist genau dann durch teilbar, wenn die sog alternierende Quersumme durch teilbar ist Dh es muss gelten n ( ) k a k 0 mod k=0 Beispielsweise ist die Zahl x = 9 durch teilbar denn es gilt = Zum Nachweis verwendet man, dass 0 mod gilt Damit ergibt sich dann n n (0) k a k ( ) k a k mod k=0 k=0 Aufgabe 7 Zeigen Sie, dass es keine Zahl r Q gibt mit r = p für alle p P Hinweis: Lassen Sie sich von dem Nachweis der Irrationalität von inspirieren Ferner sollte das Lemma von Euklid zum Einsatz kommen Lösungsvorschlag zu Aufgabe 7 Diese Aussage wird mittels einem Beweis durch Widerspruch gezeigt Sei dazu p P beliebig aber fest Angenommen es gibt ein r Q mit r = p, so gibt es ein a Z und b N mit r = a b Wiederum soll der Bruch a b in gekürzter Form vorliegen Somit gilt a = pb, dh p a = a a Nach dem Lemma von Euklid teilt somit p auch einen der beiden Faktoren (a oder a) also a, dh es gilt p a Deshalb kann a auch in der Form a = m p mit m Z dargestellt werden Wegen a = pb gilt ferner m p = pb m p = b, dh b ist durch p teilbar Wiederum folgt nach Anwendung des Lemmas von Euklid auch die Teilbarkeit von b durch p Insgesamt sind somit a als auch b durch p teilbar Dh der Bruch a b liegt nicht in gekürzter Form vor (Widerspruch) Mathematik (Wintersemester 0/0) Seite von 8 November 0

5 Aufgabe 8 Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt Insbesondere nennt man eine zu N gleichmächtige Menge abzählbar unendlich Eine unendliche Menge die nicht abzählbar unendlich ist, wird hingegen als überabzählbar unendlich bezeichnet Zeigen Sie: a) Die Menge N := n n N} ist abzählbar unendlich b) Die Menge der ganzen Zahlen Z ist abzählbar unendlich c) Die Menge der positiven rationalen Zahlen ist ebenfalls abzählbar unendlich Hinweis: Nachfolgendes Schema könnte sich bei der Bearbeitung der Aufgabe als nützlich erweisen: d) Folgern Sie hieraus, dass die Menge der rationalen Zahlen Q abzählbar unendlich ist e) Die reellen Zahlen R sind überabzählbar unendlich Hinweis: Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass schon allein die Menge 0, ] überabzählbar ist Man nehme dazu an es gäbe ein Aufzählung aller Zahlen aus 0,] der Form x = 0, a a a a a x = 0, a a a a a x = 0, a a a a a x = 0, a a a a a x = 0, a a a a a Ziel ist es dann eine Zahl b = 0, b b b b b anzugeben, die in dieser Aufzählung nicht auftreten kann Beispielsweise könnte die Zahl b von nachfolgender Bauart sein? falls a kk =? b k :=, mit k =,,? sonst Lösungsvorschlag zu Aufgabe 8 a) Die Abbildung f : N N mit n n stellt eine Bijektion zwischen N und N dar Somit sind N und N gleichmächtig, dh N ist abzählbar unendlich b) Die Abbildung f : N Z mit 0,,,,,, 7,, dh n n f(n) :=, falls n gerade n, falls n ungerade stellt eine Bijektion zwischen N und Z dar Somit ist auch Z abzählbar unendlich Mathematik (Wintersemester 0/0) Seite von 8 November 0

6 c) Hier wird das angegebene Schema wie folgt durchlaufen Bei Durchlaufung dieses Schemas (wobei bereits zuvor durchlaufene Zahlen ausgelassen werden) erhält man somit eine Bijektion q : N Q + Dh es gilt,,,,,, 7, Somit ist die Menge Q + abzählbar unendlich d) Hier wird analog wie im Falle des Nachweises zur Abzählbarkeit von Z vorgegangen Dabei betrachte man die Abbildung f : N Q mit 0, q(), q(), q(), q(), q(), 7 q(),, dh es gilt q ( ) n n f(n) :=, falls n gerade q ( ) n, falls n ungerade für n N und f() := 0 Dann stellt f die gesuchte Bijektion zwischen N und Q dar, dh Q ist abzählbar unendlich e) Die gesucht Zahl b = 0, b b b b b kann wie folgt definiert werden:, falls a kk = 0 b k :=, mit k =,, 0, sonst Dann unterscheidet sich b von jeder Zahl der Aufzählung, dh b ist in der Aufzählung nicht enthalten Somit kann das Intervall 0, ] und damit auch R nicht abzählbar unendlich sein Da jedoch sowohl die Menge 0, ] als auch R unendlich viele Elemente besitzen, sind beide Mengen überabzählbar unendlich Mathematik (Wintersemester 0/0) Seite von 8 November 0

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