Wahrscheinlichkeit Klasse 8 7

Transkript

1 7 Wahrscheinlichkeit Klasse 8 Ereignisse Seite 8 a) Ω {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 0; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz Ass; Eichel 7; Eichel 8; Eichel 9; Eichel 0; Eichel Unter; Eichel Ober; Eichel König; Eichel Ass; Schell 7; Schell 8; Schell 9; Schell 0; Schell Unter; Schell Ober; Schell König; Schell Ass; Gras 7; Gras 8; Gras 9; Gras 0; Gras Unter; Gras Ober; Gras König; Gras Ass} b) A {Herz König; Eichel König; Schell König; Gras König} B {Herz Ass; Eichel Ass; Schell Ass; Gras Ass} C {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 0; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz Ass} D {Herz 7; Herz 9; Eichel 7; Eichel 9; Schell 7; Schell 9; Gras 7; Gras 9} E {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 0; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz Ass} c) A Ω; B Ω; C Ω; D Ω; E Ω; C E d) () Z.B. Alle Trümpfe beim Herz Solo: { Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 0; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz Ass; Eichel Unter; Schell Unter; Gras Unter; Eichel Ober; Schell Ober; Gras Ober} (2) Z.B. Schell-Wenz: { Schell 7; Schell 8; Schell 9; Schell 0; Schell Ober; Schell König; Schell Ass; Herz Unter; Eichel Unter; Schell Unter; Gras Unter} 2 a) Ω {A; B; 0; AB} b) Ω {Januar; Februar; März; April; Mai; Juni; Juli; August; September; Oktober; November; Dezember} c) Ω {hat Fahrschein; hat keinen Fahrschein} a) E a {( ); ( ); (2 2);(2 4); ( ); ( ); (4 2); (4 4)} b) E b {(2 4); ( ); ( 4); (4 2); (4 ); (4 4)} c) E c {( ); ( 2); ( ); ( 4); (2 ); (2 2);(2 ); ( ); ( 2); (4 )} d) E d {( 4); (2 2); (2 4); ( 4); (4 ); (4 2); (4 ); (4 4)} 4 a) Ω {(Papier Papier); (Papier Schere); (Papier Stein); (Schere Papier); (Schere Schere); (Schere Stein); (Stein Papier); (Stein Schere); (Stein Stein)} b) Papier gewinnt jetzt auch gegen Brunnen, denn den Brunnen kann man mit Papier abdecken. Schere und Stein verlieren gegen Brunnen, denn sie können hineinfallen. Ω {(Papier Papier); (Papier Schere); (Papier Stein); (Papier Brunnen); (Schere Papier); (Schere Schere); (Schere Stein); (Schere Brunnen); (Stein Papier); (Stein Schere); (Stein Stein); (Stein Brunnen); (Brunnen Papier); (Brunnen Schere); (Brunnen Stein); (Brunnen Brunnen)} Seite 9 5 () Zufallsexperiment; Ω {liegt auf der Seite; liegt auf dem Kopf; steckt auf der Spitze} (2) Zufallsexperiment; Ω {Hauptgewinn; Gewinn; Niete} () Zufallsexperiment; Ω {Kopf; Zahl} (4) kein Zufallsexperiment (hoffentlich!)

2 8 (5) Zufallsexperiment; Ω {( ); ( 2); ( ); ( 4); ( 5); ( 6); (2 2); (2 ); (2 4); (2 5); (2 6); ( ); ( 4); ( 5); ( 6); (4 4); (4 5); (4 6); (5 5); (5 6); (6 6)} Hinweis: Bei gleichzeitigem Ziehen braucht man die Reihenfolge der nicht beachten, ( 2) und (2 ) sind nicht unterscheidbar. Daher darf auch nur eines dieser Ergebnisse in der Menge auftauchen. (6) Zufallsexperiment; Ω { } (normalerweise sind Kiner in der 8. Klasse noch nicht 9 Jahre alt.) 6 Siehe auch Hinweis zu Aufgabe 5(5). Im grünen Kasten rechts müssen die Ergebnisse (2 ) und ( ) daher gestrichen werden. E {( ); ( 2); ( )} E 2 {( 5); (2 4); ( )} E {( 2); ( 5); (2 4); ( )} E 4 {( 2); ( ); ( 4); ( 5); ( 6); (2 2); (2 ); (2 4); (2 5); (2 6); ( ); ( 4); ( 5); ( 6); (4 4); (4 5); (4 6); (5 6)} E 5 { } E 6 { } 7 Beispiel für ein sicheres Ereignis: Die Summe der beträgt mindestens. Beispiel für ein unmögliches Ereignis: Die Summe der beträgt 2. 8 a) Das Produkt ist gerade. E {( 2); ( 4); ( 6); ( 8); (2 ); (2 4); (2 5); (2 6); (2 7); (2 8); (2 9); ( 4); ( 6); ( 8); (4 5); (4 6); (4 7); (4 8); (4 9); (5 6); (5 8); (6 7); (6 8); (6 9); (7 8); (8 9)} Das Produkt ist kleiner als 5. E 2 {( 2); ( ); ( 4)} Das Prdukt beträgt mindestens 20. E {( 7); ( 8); ( 9); (4 5); (4 6); (4 7); (4 8); (4 9); (5 6); (5 7); (5 8); (5 9); (6 7); (6 8); (6 9); (7 8); (7 9); (8 9)} Das Produkt beträgt 00. E 4 { } b) Das Produkt ist durch 0 teilbar. E {(2 5); (4 5); (5 6); (5 8)} E Ω \ E {( 2); ( ); ( 4); ( 5); ( 6); ( 7); ( 8); ( 9); (2 2); (2 ); (2 4); (2 6); (2 7); (2 8); (2 9); ( ); ( 4); ( 5); ( 6); ( 7); ( 8); ( 9); (4 6); (4 7); (4 8); (4 9); (5 7); (5 9); (6 7); (6 8); (6 9); (7 8); (7 9); (8 9)} c) Unmögliches Ereignis: Das Produkt ist. Sicheres Ereignis: Das Produkt ist mindestens 2. Zusammengesetzte Zufallsexperimente Seite 20 a) Variante (): Etwa ein Sechstel der Leute wird eine würfeln, das sind 50 Leute, und von diesen Besuchern wird etwa die Hälfte Zahl werfen. Dies ergibt dann 25 Besucher. Andere Überlegung: Die Hälfte von einem Sechstel ist ein Zwölftel. Daher wird etwa ein Zwölftel der Besucher, das sind 25 Besucher gleich in Richtung des roten Pfeils weitergehen dürfen. Variante (2): Die Wahrscheinlichkeit für eine beträgt jetzt, damit ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 6 der Besucher, das sind 50 Leute.

3 9 Variante (): Hier kann keine Schätzung abgegeben werden, weil man nicht berechnen kann, wie wahrscheinlich bei diesem Zufallsgerät das Werfen einer ist (kein Laplace-Experiment). b) Es gibt also insgesamt 2 mögliche Ergebnisse. Nur eines gehört zum richtigen Ereignis Seite 2 2 a) P(blau;W) 6 b) P(grün;Z) P(grün;W) 6 P(blau;Z) 6 P(blau;W) 6 K Z K Z K Z K Z K Z K Z 2 Von 20 Versuchen erwartet man 40 mal (grün;z). 2 Von 20 Versuchen erwartet man 40 mal (grün;w). 6 Von 20 Versuchen erwartet man 20 mal (blau;z). Von 20 Versuchen erwartet man 20 mal (blau;w). a) P St S P St S P St S P St S 9 () X X X, % 9 (2) X X X, % b) 9 () X X X, % P St S B P St S B P St S B P St S B P St S B 6 () X X X X X X (2) X X X X X X () X X X X 6 4 (zugehörige Prozentsätze: () und (2),5%; () 25%) c) Die Spielvariante mit Brunnen sollte man bevorzugen, denn hier ist die Gewinnwahrscheinlichkeit höher ( > ). 8

4 0 4 Beim Ziehen mit Zurücklegen ist die Anzahl der Kugeln beim Zug immer gleich. Der Nenner im Term für die Wahrscheinlichkeit gibt die Anzahl der Äste im Baum an. Bei zweimaligem Ziehen mit gleicher Anzahl Kugeln ist dies das Quadrat der Kugelzahl. Im Zähler findet man die Anzahl der Äste, die dem Ereignis entspricht. a) 8 9² Es sind insgesamt 9 Kugeln 6 4² Im ersten Zug 4 passende, im zweiten Zug 4 passende Kugeln. Es sind 4 rote und 5 blaue Kugeln. b) 49 7² Es sind insgesamt 7 Kugeln. 6 6 Es sind entweder rote und 6 blaue Kugeln oder umgekehrt. Die Zerlegung 6 2 scheidet aus, da ist. c) 96 4² Es sind insgesamt 4 Kugeln. 64 8² Im ersten Zug 8 passende, im zweiten Zug 8 passende Kugeln. Es sind 8 rote und 6 blaue Kugeln. d) 49 7² Es sind insgesamt 7 Kugeln. 9 ² Im ersten Zug passende, im zweiten Zug passende Kugeln. Es sind blaue und 4 rote Kugeln. 5 a) Es gibt 8 Möglichkeiten, mit Z zu beginnen und 8 mit W als Start, also insgesamt 6 Möglichkeiten. ZZZZ 5 ZZWW WWWW WWZZ ZZZW 4 ZWZW WWWZ 2 WZWZ ZZWZ 4 ZWWZ WWZW 2 WZZW ZWZZ 4 ZWWW 2 WZWW 2 WZZZ 4 Es wird viele Dreier geben, etwas weniger Zweier und Vierer, aber ganz wenig Einser und Fünfer und keinen Sechser. b) P() 6 ; P(2) 4 ; P() 8 ; P(4) 4 ; P(5) 6 ; P(6) 0 6 a) P(gleicher Monat) 2 44 b) P(August;August) 44 c) P(mindestens einer im März) P(März;beliebig) +P(beliebig ohne März;März) d) P(nicht November; nicht November) [P(Nov; nicht Nov) + P(nicht Nov; Nov) + P(Nov, Nov)] (Verwende das Gegenereignis.) [ ] e) P(. Halbjahr;. Halbjahr) f) P(gleicher Wochentag)

5 Wahrscheinlichkeiten vorhersagen Strategien entwickeln Zu Seite 22 a)-- b) Die Differenz scheint sehr günstig zu sein, günstiger als z.b. die Differenz 5. 2 Ω 6² 6 (Mächtigkeit Anzahl der Elemente der Menge) Die Reihenfolge muss mit berücksichtigt werden, da z.b. die Differenz aus ( 2) doppelt so oft vorkommen kann wie die Differenz 0 aus ( ). E {( 2); (2 ); (2 ); ( 2); ( 4); (4 ); (4 5); (5 4); (5 6); (6 5)} P(E ) E 2 {( ); ( ); (2 4); (4 2); ( 5); (5 ); (4 6); (6 4)} P(E 2 ) E {( 4); (4 ); (2 5); (5 2); ( 6); (6 )} P(E ) E 4 {( 5); (5 ); (2 6); (6 2)} P(E 4 ) E 5 {( 6); (6 )} P(E 5 ) Vermischte Übungen Seite 2 a) Sechs von zehn Fahrrädern haben keine Mängel. b) Bis auf maximal zwei Autofahrer haben alle einen Führerschein. c) Eine Schulaufgabe ist kein Zufallsexperiment. 2 a) Es gibt Felder. Also ist die Gewinnchance 64. b) Anzahl der Randfelder: Gewinnchance 5 c) Anzahl Diagonalfelder: Gewinnchance 64 Gegenereignis Treffer nicht auf Diagonale Gewinnchance a) Der Hauptgewinn könnte sein, dass eine vorher bestimmte Zahl (z.b. die 5 ) zum ersten Mal gezogen wird. Gewinne könnten z.b. alle aus dem 0er-Einmaleins sein, Trostpreise vielleicht die aus dem 2er- Einmaleins (ohne die 0, 20, 0, 40 und 50), der Rest sind Nieten. b) Hauptgewinn: 50, Gewinn 5, Trostpreis , Nieten c) Wenn jeder einmal ziehen darf, braucht man Gewinne und Trostpreise. Wenn öfter gezogen werden darf, dann entsprechend mehr. 50 d) Solange der Hauptgewinn nicht gezogen wurde, erhöht sich die Chance ihn beim nächsten Mal zu ziehen nach jedem Zug. Vor dem ersten Zug ist sie 50, dann 49, 48 usw a) Laplace-Experiment: Die Chance auf eine ganz bestimmte Karte ist 2. b) Kein Laplace-Experiment. Man kann nicht abschätzen, wie oft der Nagel auf den Kopf fällt. c) Kein Laplace-Experiment. Die Flächen des Steins sind unterschiedlich groß. d) Kein Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 ist höher als z.b. die von der Augensumme 2.

6 2 e) Kein Laplace-Experiment. Man kann icht abschätzen, wie oft der Kronkorken auf den Kopf fällt. f) Kein Laplace-Experiment. Die verschiedenen Ereignisse sind nicht gleich wahrscheinlich. 5 a) b) Ω {( ); ( 2); ( ); ( 4); (2 ); (2 2); (2 ); (2 4); ( ); ( 2); ( ); ( 4); (4 ); (4 2); (4 ); (4 4)} c) Z.B. Summe der ist 4, die Wahlscheinlichkeit ist 6. Seite 24 6 P(2) 6, P() 6 2, P(4) 6, P(5) 6 4, P(6) 6 5, P(7) 6 6, P(8) 6 5, P(9) 4 6, P(0) 6, P() 2 6, P(2) 6 Es sollte egal sein, wo man steht, da z.b. für 7 der Weg sechsmal so lang wie für 2 oder 2 ist, aber die Summe 7 auch sechsmal so häufig vorkommen sollte. 7 a) Man sollte den gelben Würfel wählen. Der erste Spieler gewinnt in zwei von sechs Fällen, die restlichen vier von sechs Spiele gewinnt der zweite Spieler. b) Jeder Würfel hat sechs. Wenn man ein Baumdiagramm macht, erhält man 6 verschiedene Ergebnisse. In 20 von 6 Fällen gewinnt man bei blau und in 6 von 6 Fällen bei grün. Daher ist der blaue Würfel der günstigere. Andere Überlegung: Man wählt den blauen Würfel, denn vier von sechs Felder haben die höhere Zahl. c) Wenn man den grünen Würfel wählt, sollte man 2 aller Spiele gewinnen. Man sollte also nie als Erster den Würfel wählen, denn es gibt zu jedem Würfel einen besseren. d) Da der gelbe Würfel immer eine würfelt, genügt es, sich einmal die Gewinnsituation dafür anzusehen: Der blaue Würfel kann zweimal eine 5 und viermal eine 2 würfeln. Der grüne Würfel würfelt zweimal eine und viermal eine 4. Daraus ergibt sich das reduzierte Baumdiagramm: zweimal viermal gelber Würfel 5 2 zweimal viermal zweimal viermal 4 4 blauer Würfel grüner Würfel Blau gewinnt Gelb gewinnt Grün gewinnt 4 4 6

7 Würfel jweils 2. 6 f) Ereignis Wette auf Ergebnisse (Beispiele) Mit dem blauen Würfel gewinnt man 2 von 6 Spielen, mit dem gelben 8 von 6 und mit dem grünen 6 von 6 Spielen. Der grüne Würfel gewinnt also am häufigsten. e) Der normale Würfel hat immer eine Gewinnchance von 8, die drei Efron- Wahrscheinlichkeit (Chance) Plein eine Zahl {4} 2,7 % Cheval Carré Transversale Plein Transversale simple Kolonne Dutzend zwei benachbarte vier benachbarte {( oder 4); 2 5,4 % (4 oder 5); } {(4, 5, 7 oder 8); } 4 0,8 % Dreierreihe {(, 2 oder ); } 8, % zwei Dreierreihen {(, 2,, 4, 5 oder 6); } 6 6,2 % Zwölferspalte {(, 4, 7, 0,, 6, 9, 2 22, 25, 28, oder 4); } 2,4 % oberes, mittleres { ( bis 2);( bis 24); oder unteres Drittel der 2 2,4 % (25 bis 6)} Rouge alle roten {,, 5, 9, 2, 4, } 8 46,8 % Noir Pair Impair Manque Passe alle schwarzen alle geraden alle ungeraden obere Hälfte der untere Hälfte der {2, 4, 6, 8, 0,, } 8 46,8 % {2, 4, 6, 8, 0, } 8 46,8 % {,, 5, 7, 9,, } 8 46,8 % { bis 8} 8 46,8 % {9 bis 6} 8 46,8 % Das Lotto der kleinen Leute Seite 25 a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0, denn es gibt 0 verschiedene kombinationen. Denn es kommt nicht darauf an, welche Zahl zuerst gezogen wird, sondern nur, welche überhaupt gezogen wird. ( 2) und (2 ) unterscheiden sich also nicht. b) Nein, die Wahrscheinlichkeit bleibt gleich, da alle gleich häufig gezogen werden.

8 4 c) Nachdem die erste Zahl gezogen ist, gibt es noch 4 Möglichkeiten, die zweite Zahl zu ziehen, das ergibt 5 4 Möglichkeiten. Da es egal ist, welche Zahl man zuerst zieht, muss man dieses Ergebnis noch halbieren. 6 5 d) 5 Möglichkeiten 2 e) Wahrscheinlichkeit Anzahl Möglichkeiten