Parseval-Identität: Seien zwei Funktionen v. mit Fourier-Reihen: dann gilt: Parseval-Identität. Speziell:
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1 Parseval-Identität: Seien zwei Funktionen v. mit Fourier-Reihen: dann gilt: (kühnes Vertauschen von Integral und Summe!) Parseval-Identität Speziell: Anmerkung: beide Seiten kann man als Skalarprodukt auf geeignet definierten Vektor- Räumen interpretieren. Dann folgt aus (6), dass die Fouriertransformation eine eins-zueins-abbildung ist, "Winkel und Längen (d.h. Metrik) erhält", somit eine "Isometrie" ist. Fourier-Reihen für periodische Funktionen Sei periodisch, mit Periode L: Auch für diesen Fall gilt die Fourier- Reihen-Darstellung (b.3), mit : (b.3) (und stückweise stetig differenzierbar) (c.5) Begründung: Fourier-Moden sind periodisch: Beweis v. (3): identisch zur Herleitung auf Seite C6.1c Integral kann über eine beliebige Periode genommen werden, wegen (1) und (5) Folglich ist auch (2) periodisch: Periodische delta-funktion: [vergleiche (j.2)]
2 Anmerkung: Falls f(x) nicht ganz glatt ist, sondern nur stückweise stetig differenzierbar ist (d.h. Sprünge hat), gilt (Satz v. Dirichlet): Die Fourier-Reihe (l.2),, konvergiert an allen Stetigkeitstellen gegen. An den Unstetigkeitstellen ist der Wert der Fourier-Reihe gleich dem Mittelwert der einseitigen Grenzwerte: Grund für (1): [vergleiche (g.1)]: Falls f(x) reell ist, gilt: Beispiel: periodische Folge v. scharfen Peaks: Betrachte normierten 'Exponentialpuls': Gewicht: Periodische Kette solcher Peaks: Berechne Fourier-Koeffizienten von, für : weil gilt im Interval (scharfe Pulse, gut getrennt) dass
3 komplex konjugiert wenn komplex konjugiert 'Diskretes Frequenzspektrum' ('Frequenzkamm') mit Lorenzkurve als Einhüllenden Konsistenzcheck: Im Limes : (C6.2b.6) (5) reproduziert die Fourier-Komponenten vom delta-puls: = konsistent mit (5) unabhängig von k! Bemerkung: Für vergleiche Schärfe der Pulse in x-darstellung: k-darstellung: Faustregel: 'Fourier-Gegensätzlichkeit' ('Fourier repricosity') Heisenbergs Unschärferelation in der Quantenmechanik ist ganz analog: Räumlich scharfe Pulse ( klein) haben ein breites 'Spektrum an Wellenlängen' ( groß) (und zu Grunde liegende Mathematik ist auch dort Fourier-Analysis! )
4 Faltungstheorem: Seien periodische Funktionen, dann ist die Faltung wieder periodisch: Beweis: via Fourier-Darstellung der Faltung: [Details sind analog zu Seite k, Parseval] (kühnes Vertauschen von Integral und Summe) Fourierkoeffizient der Faltung ist Produkt der Fourierkoeffizienten! (nützlich zur Abkürzung von Rechnungen) = offensichtlich wieder periodisch! Anwendung v. Faltungstheorem: Tiefpassfilter Wähle so, dass Dann: Somit: Tiefpassfilter dämpft schnelle Flutkuationen weg, langsame durch!
5 Fourier-Reihe einer Ableitung: Fourier-Komponente von f'(x) Ist (4) konsistent mit (2)? Check: partielle Integration wegen Periodizität Fazit: Ableiten in x-darstellung Multiplikation mit in k-darstellung Cosinus- und Sinus-Reihen (erhalten durch Umschreiben d. Fourier-Reihe) oft man hier auch die Notation und wobei
6 Cos, Sin-Reihen sind nützlich, f(x) symmetrisch oder antisymmetrisch ist: Dann wird Berechnung der Fourier-Komponenten erheblich vereinfacht, wenn das Integrationsinterval symmetrisch um x=0 gewählt wird: Falls f symmetrisch, mit Falls f antisymmetrisch, mit Beispiel: Periodische Rechtecksfunktion "Vorzeichenfunktion" für und für beliebige "periodische Fortsetzung" Fourier-Koeffizienten: Reine Sinus-Reihe, da n gerade n ungerade periodisches Für liefert (6): Mittelwert siehe (m.1)]
7 Anmerkung zu Notationskonventionen Warnung: es gibt in der Literatur viele unterschiedliche Konventionen! Vorzeichen von k im Exponenten ist Konvention: Alternativ wäre auch möglich: Auch der Vorfaktor L kann anders gewählt werden; z.b.: Oder auch: In Physik-Anwendungen, wo Funktion von der Zeit abhängt, wird die Fourier- Transformation von Zeit-Darstellung zu Frequenz-Darstellung meist wie folgt definiert: Für Fourier-Reihen- Ansatz: anderes Vorzeichen als bei xk-darstellung (1)!
Anmerkung: Falls f(x) nicht ganz glatt ist, sondern nur stückweise stetig differenzierbar ist (d.h. Sprünge hat), gilt (Satz v.
Fourier-Reihen für periodische Funktionen Sei periodisch, mit Periode L: Auch für diesen Fall gilt die Fourier- Reihen-Darstellung (b.3), mit : (b.3) (und stückweise stetig differenzierbar) (c.5) Integral
falls falls Tiefpassfilter lässt tiefe Frequenzen durch und dämpft hohe Frequenzen.
Anwendung v. Faltungstheorem: Tiefpassfilter Wähle so, dass Dann: Somit: Tiefpassfilter lässt tiefe Frequenzen durch und dämpft hohe Frequenzen. Zusammenfassung habe Periode, mit stückweise stetig und
Interpretation: f(x) wird zerlegt als Summe von unendlich vielen Funktionen
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Apl. Prof. Dr. N. Knarr Höhere Mathematik III Musterlösung , 120min
Aufgabe (9 Punkte) Es sei die Fläche S R 3 gegeben durch S : { } (x, y, z) R 3 : 4z x + y 4, z. (a) ( Punkte) Geben Sie eine Parametrisierung für S an. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von
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