Blatt 8.1: Variationsrechnung I

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1 Fakultät für Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 015 Dozent: Jan von Delft Übungen: Katharina Stadler, Frauke Schwarz, Dennis Schimmel, Lukas Weidinger Blatt 8.1: Variationsrechnung I bgabe: Freitag, , 13:00 Beispielaufgabe 1: Brechungsgesetz von Snellius [] [](L) Nach dem Fermatschen Prinzip gelangt ein Lichtstrahl von einem Punkt zu einem Punkt B auf demjenigen Weg, der die Laufzeit T B minimiert. In einem Medium mit Brechungsindex n ist die Lichtgeschwindigkeit v = c 0 /n, wobei c 0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit bezeichnet. In zwei Dimensionen mit ortsabhängigen Brechungindex n(x, y) folgt der Lichstrahl also jenem Weg y(x), der folgendes Integral minimiert: T B = dt = ds v(x, y) = 1 c 0 Betrachten Sie den Übergang eines Lichtstrahls zwischen zwei Medien mit Grenzfläche entlang der y-chse, mit Brechungsindex n für x < 0 und n B für x > 0. Das Brechungsgesetzt von Snellius besagt, dass die Einfallswinkel α und ustrittswinkel β des Lichtstrahls, gemessen relativ zum Lot (siehe Skizze), die Gleichung sin β = n sin α nb erfüllen. Leiten Sie dieses Gesetzt aus dem Fermatschen Prinzip her. Beispielaufgabe : Skirennen [7] Betrachten Sie eine schiefe Ebene, parallel zur y-chse, mit Neigungswinkel π/4 relativ zu den x- und z-chsen (siehe Skizze). Eine Skifahrerin befindet sich in Ruhelage im Punkt = (0, 0, 0) und will den Punkt B = (x B, y B, z B ), mit z B < 0, in der kürzestmöglichen Zeit erreichen. Wir suchen im Folgenden die durch y parametrisierte minimale Bahnkurve (x(y), y, z(y)) die ihr dieses erlaubt, unter der nnahme reibungsfreien Gleitens. dx n(x, y) 1 + (dy/dx). g z (0, 0, 0) y x π/4 B (a) [1](L) Welche Beziehung gilt zwischen z und x für alle Punkte auf der schiefen Ebene? (Nutzen Sie im Folgenden diese Beziehung, um z durch x auszudrücken.) Nutzen Sie Energieerhaltung, um die Geschwindigkeit v der Skifahrerin als Funktion von x zu bestimmen, v = v(x). Hinweis: Wählen Sie z = 0 als Nullpunkt der potenziellen Energie, und somit E = 0 entlang der Bahn. (b) [](M) Stellen Sie ein Funktional T [x(y)] auf, dass für eine beliebige Bahnkurve x(y), mit nfangspunkt und Endpunkt B, die Gesamtfahrzeit T = dt liefert. Zeigen Sie, dass es die Form T [x(y)] = ˆ yb 0 1 dyf (x(y), x (y))

2 hat, mit x (y) = dx/dy, und bestimmen Sie die Funktion F (x, x ) explizit. Hinweis: Im Wegelement vdt = ds = dx + dy + dz lässt sich dz mittels der Beziehung (4a) durch dx ausdrücken! (c) [1](L) Die gesuchte minimale Bahnkurve x(y) minimiert das Funktional T und kann im Prinzip über die Euler-Lagrange-Gleichungen der Funktion F (x(y), x (y)) bestimmt werden. Wir folgen hier jedoch einem direkteren Weg, der unmittelbar eine Differentialgleichung 1. Ordnung für x(y) liefert: da F (x(y), x (y)) nicht explizit von y abhängt, ist entlang der minimalen Bahnkurve die Kombination F (x, x ) x F (x, x ) x = c (1) eine y-unabhängige Konstante. [Dies ist das nalogon zur ussage, dass die Hamilton- Funktion H = i q ip i L, mit p i = L/ qi, eine t-unabhängige Konstante ist wenn L = L(q i, q i ) nicht explizt von t abhängt, also wenn t L = 0.] Lösen Sie Gl. (1) nach x auf und zeigen Sie so, dass x(y) folgender Differentialgleichung genügt: x = dx 1 dy = ± 4c gx 1. () (d) [](M) Integrieren Sie die Differentialgleichung () mittels der Substitution x = 1 c g sin ϕ, die x durch den Parameter ϕ parametrisiert. Bestimmen Sie y als Funktion von ϕ. Hinweis: sin ϕ = 1 ˆ (1 cos ϕ) ; sin ϕ dϕ = 1 (ϕ sin ϕ) + C (e) [1](L) Zeigen Sie, daß die Bahnkurve x(y), parametrisiert durch den Parameter ϕ, die Form einer elliptischen Zykloide hat: x(ϕ) = r x (1 cos ϕ), y(ϕ) = ±r y (ϕ sin ϕ). Bestimmen Sie die Radii r x und r y als Funktionen von g und c, und finden Sie das Elliptizitätsverhältnis r x /r y. Beispielaufgabe 3: Testfragen [1] Testfragen Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden haben. Sie sollten sie ohne längeres Nachdenken oder Nachschlagen in ein paar Minuten beantworten können. 1. Was besagen die Keplerschen Gesetze?

3 . Zeichnen Sie das effektive Potential für das Keplerproblem und skizzieren Sie gebundene und ungebundene Bewegungen. 3. Was ist ein Funktional? Geben Sie ein Beispiel, das nicht in der Vorlesung vorkam. [Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 10] Hausaufgabe 1: Laplace-Lenz-Runge-Vektor im Kepler-Problem [7] Die Lagrange-Funktion für die Relativkoordinate im Kepler-Problem lautet L = 1 µṙ + α/r (mit α > 0). Die spezielle 1/r-Form des Potentials führt dazu, dass neben Energie (E = T + V ) und Drehimpuls (L = r p) eine weitere erhaltene Größe existiert, der sogenannte Laplace-Lenz-Runge-Vektor, V L p L µαr/r. Ziel dieser ufgabe ist zu zeigen, dass V L = 0, und daraus die Bahngleichung herzuleiten, ohne explizit eine Bewegungsgleichung für dρ/dφ zu integrieren. (Das illustriert die Faustregel: jeder Erhaltungssatz entspricht der Integration einer Bewegungsgleichung.) Hinweis: für diese ufgabe sind folgende Vektoridentitäten nützlich: (a b) c = (b c) a = (c a) b, (a b) b = 0, a (b c) bac-cap = b(a c) c(a b). (a) [1](L) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Gleichung zweiter rt für den Cartesischen Relativvektor r die Newtonschen Gleichung ṗ = αr/r 3 liefert. (b) [](M) Zeigen Sie, dass V L = 0. Hinweis: Berechnen Sie zunächst ṗ L mittels (a) und ( der bac-cap-identität. Zeigen Sie ferner, dass d r t r) = ṙ (r ṙ)r. r r 3 (c) [1](L) Zeigen Sie durch Berechnung von V L L, dass der Laplace-Lenz-Runge-Vektor in der Bahnebene liegt. (d) [1](L) Der Winkel zwischen r und dem erhaltenen Vektor V L werde mit φ bezeichnet, d.h. r V L = rv L cos φ. Leiten Sie, ausgehend von r V L, die Bahngleichung her: r = p L, mit p = 1 + ε cos φ µα, ε = V L µα. (3) Folgern Sie daraus, dass V L in Richtung des Perihels zeigt. Hinweis: m Perihel (= sonnennächster Punkt der Umlaufbahn) hat der Radius seinen kleinstmöglichen Wert. (e) [](S) Drücken Sie die Länge des Laplace-Lenz-Runge-Vektors, V L, durch E (erhaltene [ ] 1/. Energie) und L (Betrag des Drehimpulses) aus, und zeigen Sie so, dass ε = 1 + El µα Hinweis: Wählen Sie hierfür r und p am Perihel, wo r p gilt, was die Rechnung vereinfacht. Der Extremalradius am Perihel, r ph, lässt sich mittels der Gleichung E = V eff (r ph ) bestimmen. Hausaufgabe : Fermatsches Prinzip [3] Nach dem Fermatschen Prinzip gelangt ein Lichtstrahl von einem Punkt zu einem Punkt B auf demjenigen Weg, der die Laufzeit T B minimiert. In zwei Dimensionen ist also 3

4 das Integral T B = 1 dx n(x, y) 1 + (dy/dx) c 0 minimal, wenn y(x) der Lichtbahn entspricht. Hier bezeichnet c 0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit und n(x, y) den ortsabhängigen Brechungindex. (a) [1](L) Wir betrachten nun ein Medium mit n(x, y) = n(y) = a/y. Zeigen Sie zunächst allgemein, dass [ ] d F dx y y F = 0 gilt, wenn der Integrand F (y, y, x) des Funktionals nicht explizit von x abhängt, indem Sie die Euler-Lagrangegleichung benutzen. (b) [](L) Berechnen Sie aus der oben gefundenen Erhaltungsgröße (dem usdruck, dessen x-bleitung verschwindet) die Bahn des Lichts. Was für Bahnen beschreibt das Licht also in diesem Medium? Hausaufgabe 3: Domänenwand [7] Die freie Energie eines eindimensionalen Magneten hat die Form ˆ [ ( ) ] 1 dm F [m(x)] = dx 1 dx m m4. Die physikalische Lösung für die Magnetisierung m(x) ist diejenige, die F mit entsprechenden Randbedingungen m( ) = m 1, m( ) = m minimiert. Die freie Energi spielt in der statistischen Physik, insbesondere in der Theorie der Phasenübergänge, eine wichtige Rolle. Sie ist die Energie, die man benötigt, um ein System zu generieren, das bei vorgegebener Temperatur im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung steht. Im Kontext der aktuellen ufgabe reicht es zu wissen, dass das physikalische Magnetisierungsprofil m(x) die freie Energie minimiert. (a) [1](L) Bestimmen Sie aus dieser Minimalbedingung die Euler-Lagrange-Gleichungen für m(x). Welche Form hat die potenzielle Energie als Funktion der Koordinate m? (b) [1](L) Zeigen Sie, dass es ein erstes Integral zu diesem Problem gibt und geben Sie es an. (c) [1](L) Welche konstanten Lösungen m(x) = const. hat dieses Problem, welche sind stabil? Welchem Zustand entsprechen diese physikalisch? (d) [](M) Wir betrachen nun Lösungen mit verdrehten Randbedingungen, m(± ) = ±1. Berechnen Sie die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung durch ufintegrieren des ersten Integrals aus (b). Skizzieren Sie die Lösung. (Lösung zur Kontrolle: m(x) = tanh((x x 0 )/ ). Dies ist eine Domänenwand.) (e) [](M) Zeigen Sie, dass die freie Energie für ein m(x), das die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt, die Form F = 1 dx 4 m4 (x). hat (Hinweis: Partielle Integration). Welche freie Energie hat also eine Domänenwand, d.h. wie groß ist der Unterschied der 4

5 freien Energien der Lösungen aus aus (d) und (c)? Hinweis: Benutzen Sie die Formel ˆ ds sinh p s cosh q s = sinhp 1 s cosh q+1 s q + 1 p 1 ˆ q + 1 ds sinh p s cosh q+ s. [Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 17] 5