K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 12. Übung SS 18: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 12. Übung SS 18: Woche vom Stochastik VI: Zufallsvektoren; Funktionen von ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/... (SS18).html Klausurtermin Mathe III: Montag, 6.8., Uhr

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3 Die 2-dimensionale Gleichverteilung Rechteck B = [a, b] [c, d] B = (b a)(d c), Dichtefunktion: 1 (b a)(d c) (x, y) [a, b] [c, d] f(x, y) =, speziell: 0 sonst. 0 x, y 0 1 (x, y) [0, 1] 2 xy (x, y) [0, 1] 2 f(x, y) = F (x, y) = x y > 1, x (0, 1) 0 sonst y x > 1, y (0, 1) 1 x, y > 1.

4 Die Randverteilungen der 2D-Gleichverteilung sind jeweils eindimensionale Gleichverteilungen: Für x [a, b] gilt (f X (x) = 0, x / [a, b], da f(x, y) = 0 für x / [a, b]) f X (x) = f(x, y)dy = d c dy (b a)(d c) = 1 b a. Das ist die Dichte einer 1D-Gleichverteilung! Analog gilt: f Y (y) = 1 d c, für y [c, d], f Y (y) = 0, für y / [c, d]. Damit gilt insgesamt: f XY (x, y) = f X (x) f Y (y), (x, y) R 2, d.h. (siehe Folie zu Unabhängigkeit), die Komponenten X und Y einer 2D-Gleichverteilung sind immer unabhängig!

5 Wdhlg.: Momente von Zufallsvekt. (X, Y ) (n=2) Erwartungswerte der Komponenten X bzw. Y E(X) = E(Y ) = ξf(ξ, η) dξdη = ηf(ξ, η) dξdη = ξf X (ξ)dξ ηf Y (η)dη Def Momente m pq und zentrale Momente µ pq m pq = E(X p Y q ) = µ pq = E( X E(X) p Y E(Y ) q ) = ξ p η q f(ξ, η) dξdη ξ E(X) p η E(Y ) q f(ξ, η) dξdη

6 Erwartungswerte der 2D-Gleichvertlg. b d xdxdy E(X) = m 10 = a c (b a)(d c) = Analog: E(Y ) = m 01 = b d a c b a xdx b a d dy c d c }{{} =1 = a+b 2 ydxdy (b a)(d c) =... = c+d 2 Die ersten Momente der 2D-Gleichverteilung sind die Erwartungswerte der Komponenten (vgl. auch die Def.). Analog gilt m 20 = E(X 2 ), m 02 = E(Y 2 ), µ 20 = D 2 (X), µ 02 = D 2 (Y ), und b d cov(x, Y ) = µ 11 = a c (x a+b c+d 2 )(y 2 )dxdy (b a)(d c) = 0 Die Unkorreliertheit der Komponenten einer 2D-Gleichverteilung ist (natürlich) eine Folgerung aus ihrer Unabhängigkeit.

7 Wdhlg.: Kovarianzmatrix; Korrelationskoeffiz. Def Ist (X 1, X 2,..., X n ) ein n-dimensionaler Zufallsvektor, so heißt k jl = E{[X j E(X j )][X l E(X l )]} = cov(x j, X l ) die Kovarianz der Zufallsgrößen X j, X l (1 j, k n). Die Matrix (k jl ) heißt Kovarianzmatrix. Die mit den Standardabweichungen normierten Kovarianzen nennt man Korrelationskoeffizienten: ρ jl = cov(x j, X l ) D(Xj ) D(X l ) = cov(x j, X l ) σ j σ l (1 j, l n). Definition (unkorrelierte Zufallsgrößen) Sei (X, Y ) ein zufälliger Vektor. Die Zufallsgrößen X und Y heißen unkorreliert, wenn ihr Korrelationskoeffizient ρ(x, Y ) (und damit auch cov(x, Y )) verschwindet.

8 Wdhlg.: Unabhängigkeit von ZG Def : Sei (X 1, X 2,..., X n ) ein zufälliger Vektor, F (x 1, x 2,..., x n ) sei seine Verteilungsfunktion, und F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F n (x n ) seien die eindimensionalen Randverteilungen. Man nennt die Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n unabhängig, wenn für beliebige x 1, x 2,..., x n gilt: F (x 1, x 2,..., x n ) = F 1 (x 1 )F 2 (x 2 )... F n (x n ). Für stetige ZG: Stetige ZG sind genau dann unabhängig, wenn die Dichte Produkt der Randdichten ist: F (x, y) = F X (x)f Y (y) f(x, y) = f X (x)f Y (y) Satz: Die Unabhängigkeit der ZG (X, Y ) impliziert ihre Unkorreliertheit, d.h., F (x, y) = F X (x)f Y (y) cov(x, Y ) = ρ(x, Y ) = 0

9 Die zweidimensionale Normalverteilung I Def : (X, Y ) ist 2D-normalverteilt, wenn die Dichte gegeben ist durch (σ X > 0, σ Y > 0, ρ ( 1, 1)) f(x, y) = a(x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 e a(x,y) 1 2(1 ρ 2 ) [(x m X σ X ) 2 2ρ x m X σ X y m Y σ Y +( y m Y σ Y ) 2 ]. Randverteilungen: X N(m X, σ 2 X), Y N(m y, σ 2 Y ). Die Komponenten X und Y sind also normalverteilt mit E(X) = m X, D 2 (X) = σ 2 X, E(Y ) = m Y, D 2 (Y ) = σ 2 Y. Für das zentrierte gemischte Moment 2. Ordnung gilt µ 11 = cov(x, Y ) = ρ σ X σ Y ρ(x, Y ) = ρ.

10 Die zweidimensionale Normalverteilung II Skalierung auf Standard-NV (2D): X = X m X σ X, Y = Y m Y σ Y, (X, Y ) NV mit m X = m Y = 0, σ X = σ y = 1. ρ(x, Y ) = ρ f X Y (x, y) = Satz: Bei normalverteilten ZG gilt: 1 2π 1 ρ x 2 2ρxy+y 2 2 e 2(1 ρ 2 ) Unabhängigkeit Unkorreliertheit ρ = 0 Denn bei ρ = 0 gilt immer (unabhängig von der Reskalierung) f XY (x, y)= (x m 1 X ) 2 (y m 1 Y ) 2 2σ e X 2 2σ e Y 2 2πσX 2πσY =f X (x) f Y (y).

11 Funktionen/Summen von ZG Gegeben: Zufallsvektor (X, Y ) neue ZG Z = g(x, Y ) Frage(n): Verteilung bzw. statistische Parameter von Z? E(Z) = g(ξ, η)f(ξ, η) dξdη. speziell Summen von ZG(allgemeingültig!): E(a 1 X + a 2 Y ) = a 1 E(X) + a 2 E(Y ), aber: i.a. D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y + 2ρ(X, Y )σ X σ Y Für unabhängige ZG gilt jedoch: E(XY )=EXEY, D 2 (a 1 X +a 2 Y )=a 2 1D 2 X +a 2 2D 2 Y

12 Summen identisch verteilter unabhängiger ZG X 1,.., X n identisch verteilte ZG, unabhängig (wichtig für Statistik), mit EX i = µ, D 2 X i = σ 2 < Z n = n i=1 X i. E(Z n ) = nex = nµ, D 2 Z n = nd 2 X = nσ 2 X n = Z n n E X n = µ, D 2 Xn = nσ2 n 2 Z n - Summe; Xn - statistischer Mittelwert. = σ2 n I.a. andere Verteilung; Sonderfall: X i (identisch, unabh.) normalverteilt Summe (Mittelwert) wieder normalverteilt X i N(µ, σ 2 ) Z n N(nµ, nσ 2 ) X n N(µ, σ2 n )

13 Das schwache Gesetz der großen Zahlen Satz: Sei X 1, X 2,..., X n,.. eine Folge identisch verteilter unabhängiger ZG vom Typ X (i.i.d. - englisch: identically independently distributed) mit EX i = µ, D 2 X i = σ 2, i = 1,.., n,... Dann gilt für alle ε > 0 lim P ( X n µ ε) = 1, ( X stoch. n µ) n d.h., das statistische Mittel konvergiert im Sinn der Wkt. (stochastisch) gegen den (einheitlichen) Erwartungswert µ aller Zufallsgrößen der Folge. Anwendung: Konvergenz der relativen Häufigkeit H n (A) gegen P (A) = p für A Z

14 Satz (Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg und Levy) {X 1, X 2,... } sei eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen, die sämtlich dieselbe Verteilungsfunktion haben. Es sei E(X i ) = µ und V ar(x i ) = σ 2 > 0 (i = 1, 2,... ). Weiter sei Z n = n i=1 X i, X n = 1 n Z n. Dann gilt für jedes x ], [ lim P {Z n nµ n σ n oder dazu äquivalent < x} = 1 2π x e 1 2 ξ2 dξ = Φ(x) lim P { X n µ n σ < x} = 1 x n 2π e 1 2 ξ2 dξ = Φ(x). Interpret.: Ȳ n = X n µ n, P ( Ȳ n < x) = F n (x) Φ(x), x σ Die (standardisierte) ZG Ȳn ist asymptotisch N(0, 1)-verteilt(!)