Theorem 9 Sei G eine Verteilungsfunktion in IR. 1. Quantil-Transformation: Wenn U U(0, 1) (standard Gleichverteilung), dann gilt P(G (U) x) = G(x).

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1 Theorem 9 Sei G eine Verteilungsfunktion in IR. 1. Quantil-Transformation: Wenn U U(0, 1) (standard Gleichverteilung), dann gilt P(G (U) x) = G(x). 2. Wahrscheinlichkeit-Transformation: Sei Y eine Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion G. Es gilt G(Y) U(0,1). Theorem 10 (Sklar, 1959) Sei F:IR d [0,1] eine Gesamtverteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F 1,...,F d. Es existiert eine Copula C, sodass für alle x 1,x 2,...,x d IR = [, ] F(x 1,x 2,...,x d ) = C(F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d )). (4) Wenn F 1,...,F d stetig, dann ist C eindeutig. Vice-versa, sei C eine Copula und F 1,...,F d Verteilungsfunktionen. Dann ist die Funktion F aus (4) eine Gesamtverteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F 1,...,F d. C aus (4) heißt Copula von F. Für ein Zufallsvektor X IR d mit Gesamtverteilungsfunktion F heißt C auch Copula von X. 29

2 Korollar 1 Sei F eine Gesamtverteilungsfunktion mit stetigen Randverteilungsfunktionen F 1,...,F d. Die eindeutige Copula von F ist folgendermaßen gegeben: C(u 1,u 2,...,u d ) = F(F 1 (u 1 ),F 2 (u 2 ),...,F d (u d)). Theorem 11 (Copula-Invarianz bzgl. streng monotonen Transformationen) Sei X = (X 1,X 2,...,X d ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen F 1,F 2,...,F d und Copula C. Seien T 1,T 2,..., T d streng monoton steigende Funktionen in IR. Dann ist C auch eine Copula von (T 1 (X 1 ),T 2 (X 2 ),...,T d (X d )) T. Beispiel 9 Sei X N d (0,Σ) wobei Σ = R die Korrelationsmatrix von X ist. Seien φ R und φ die Verteilungsfunktionen von X bzw. X 1. Die Copula von X ist die so genannte Gauss sche Copula CR Ga: CR Ga C Ga R (u 1,u 2,...,u d ) = φ R (φ 1 (u 1 ),φ 1 (u 2 ),...,φ 1 (u d )). ist auch die Copula jeder nicht degenerierten Normalverteilung N d (µ,σ) mit Korrelationsmatrix R. Für d = 2 und ρ = R 12 ( 1,1) gilt: C Ga R (u 1,u 2 ) = φ 1 (u 1 ) φ 1 (u 2 ) 1 2π(1 ρ 2 ) 1/2 exp { (x 2 1 2ρx 1 x 2 +x 2 2 ) } dx 2(1 ρ 2 1 dx 2 ) 30

3 Theorem 12 (Fréchet Schranken) Für jede Copula gilt { d } max u k d+1,0 C(u 1,u 2,...,u d ) min{u 1,u 2,...,u d }. k=1 Notation: Untere Schranke =: W d und obere Schranke =: M d, für d 2. Für d = 2 setzen wir M := M 2, W := W 2. Anmerkung: Ein analoges Ergebnis wie im Satz 12 gilt für allgemeine multivariate Verteilungen F mit Randverteilungen F i, 1 i d: { d } max F k (x k ) d+1,0 F(x 1,x 2,...,x d ) min{f 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d )}. k=1 Beispiel 10 Zeigen Sie, dass die Fréchet untere Schranke W d für d 3 keine Copula ist. Hinweis: Verwenden Sie die Rechtecksungleichung ( 1) k 1+k k d W d (u 1k1,u 2k2,...,u dkd ) 0 k 1 =1k 2 =1 k d =1 wobei (a 1,a 2,...,a d ), (b 1,b 2,...,b d ) [0,1] d mit a k b k und u j1 = a j und u j2 = b j für j {1,2,...,d}. Zeigen Sie, dass diese Ungleichung nicht erfüllt ist falls d 3 und a i = 1 2, b i = 1, for i = 1,2,...,d. 31

4 Theorem 13 (Ohne Beweis) Für jedes d 3 und jedes u [0,1] d, es existiert eine Copula C d,u, sodass C d,u (u) = W d (u). Anmerkung 1: Für jedes d 2 ist die Fréchet obere Schranke M d eine Copula. Überprüfung der 3 Copula-Axiome ist einfach. Anmerkung 2: Weiters sind M und W Copulas. Hinweis: Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F X. Seien Y = T(X) und Z = S(X) zwei Zufallsvariablen, wobei T und S zwei streng monotone Funktionen, T steigend und S fallend, sind. Nun ist M die Copula von (X,T(X)) T und W die Copula von (X,S(X)) T. 32

5 Co-Monotonie und Anti-Monotonie Definition 9 X 1 und X 2 heißen co-monoton wenn M eine Copula von (X 1,X 2 ) T ist. X 1 und X 2 heißen anti-monoton wenn W eine Copula von (X 1,X 2 ) T ist. Theorem 14 Angenommen eine Copula von (X 1,X 2 ) T ist W oder M. Es existieren dann zwei monotone Funktionen α,β:ir IR und eine Zufallsvariable Z, sodass (X 1,X 2 ) d = (α(z),β(z)). Falls M die Copula von (X 1,X 2 ) T ist, dann sind α und β monoton steigend, falls W die Copula von (X 1,X 2 ) T ist, dann ist α monoton steigend und β monoton fallend. Wenn die Randverteilungen F 1 und F 2 von (X 1,X 2 ) T stetig sind, dann gilt: C = W X 2 = T(X 1 ) fast sicher,t = F 2 (1 F 1 ) monoton fallend C = M X 2 = T(X 1 ) fast sicher,t = F 2 F 1 monoton steigend Beweis: In McNeil et al.,

6 Theorem 15 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungsfunktionen F 1, F 2 und einer nicht spezifizierten Abhängigkeitsstruktur. Sei var(x 1 ),var(x 2 ) (0, ). Dann gilt: 1. Die Menge der möglichen linearen Korrelationen von X 1 und X 2 ist ein abgeschlossenes Intervall [ρ L,min ;ρ L,max ] mit 0 [ρ L,min ;ρ L,max ]. 2. Die minimale lineare Korrelation wird dann und nur dann erreicht wenn X 1 und X 2 anti-monoton sind. Die maximale lineare Korrelation wird dann und nur dann erreicht wenn X 1 und X 2 co-monoton sind. Im Beweis wird die Höffding sche Gleichung verwendet: Lemma 3 (Die Höffding sche Gleichung) Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Gesamtverteilung F und Randverteilungen F 1, F 2. Wenn cov(x 1,X 2 ) < dann gilt: cov(x 1,X 2 ) = Beweis in McNeil et al.,2005. (F(x 1,x 2 ) F 1 (x 1 )F 2 (x 2 ))dx 1 dx 2. 34

7 Beispiel 11 Sei X 1 Lognormal(0,1) und X 2 Lognormal(0,σ 2 ), σ > 0. Bestimmen Sie ρ L,min (X 1,X 2 ) und ρ L,max (X 1,X 2 ). Beispiel 12 Betrachten Sie zwei ZV Z 1 und Z 2, die die Verluste zweier Portfolii darstellen. Sei Z 1 N(0,1), Z 2 N(0,1) und ρ L (Z 1,Z 2 ) = 0. Geben Sie zwei Zufallsvektoren (X 1,X 2 ) T und (Y 1,Y 2 ) T mit unterschiedlichen Gesamtverteilungsfunktionen an, für die F X 1 +X 2 (α) F Y 1 +Y 2 (α) gilt und die obigen Annahmen erfüllt sind, d.h. X 1,X 2,Y 1,Y 2 N(0,1) und ρ L (X 1,X 2 ) = 0, ρ L (Y 1,Y 2 ) = 0,. Fazit: Aus den Verlustverteilungen der zwei Teilen eines Portfolios und aus der Korrelation der jeweiligen Verluste lassen sich keine Schlüsse über die Verlustverteilung des Gesamtportfolios ziehen. 35