Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr

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1 Markus Otto Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr Spektrum k-/jl AKADEMISCHER VERLAG

2 Vorwort v 1 Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Richtung und Betrag Normierung Einfache Rechenoperationen Masse und Schwerpunkt Kanonische Basisdarstellung Geometrie mit Vektoren Statik Skalarprodukt Skalarprodukt und Projektion Folgerungen aus dem Skalarprodukt Skalarprodukt in Komponenten Weitere Rechenregeln Parallel-Senkrecht-Zerlegung Skalarprodukte in der Physik Vektorprodukt Definition des Kreuzprodukts Folgerungen und Rechenregeln Kreuzprodukt in Komponenten Doppelte Produkte Lorentz-Kraft Vektorgleichungen Gerade Ebenengleichung Kreis- und Kugelgleichung Koordinatensysteme Orientierung Orthonormalbasis Koordinatensysteme 39 2 Lineare Algebra Matrizenrechnung Matrixbegriff Grundlegende Rechengesetze Die Determinante Inverse einer Matrix Weitere Matrixoperationen Lineare Gleichungssysteme Was ist ein lineares Gleichungssystem? 61

3 viii Inhaltsverzeichnis Gauß-Algorithmus Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Matrizengleichungen Abbildungen Abbildungsmatrix Spiegelungen Drehungen Allgemeine Drehmatrix Basiswechsel = Drehung des Koordinatensystems Diagonalisierung und Hauptachsentransformation Eigenwertproblem Diagonalisierung Quadriken Hauptachsentransformation 85 3 Rechnen mit Indizes Einstein'sche Summenkonvention Skalarprodukt und das Kronecker-Symbol Skalarprodukt in Indizes Definition des Kronecker-Symbols Rechenregeln für das Kronecker-Symbol Interpretation des Kronecker-Symbols Sy Der Levi-Civita-Tensor Zyklische und antizyklische Permutationen Das Levi-Civita-Symbol Spatprodukt und Kreuzprodukt in Kurzform Produkte mit Kronecker und Levi-Civita Anwendungen" Beweis der bac-cab-formel Matrizenrechnung in Kurzform Tensoren Differenzialrechnung Ableitungen Begriff der Ableitung Ableitungsregeln Kurvendiskussion light Mehrdimensionale Ableitungen Skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher Partielle Ableitung und Gradient Lokale Extrema Reihenentwicklung Taylor-Entwicklung in 1-D Hilfreiche Reihen 137

4 ix e hoch Matrix Allgemeine Taylor-Entwicklung Ableitung vektorwertiger Funktionen Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante Kettenregel Totales Differenzial Integration Grundlegende Integralrechnung Integralbegriff Der Hauptsatz Einfache Integrationsregeln und -tricks Integrationsmethoden Partielle Integration Integration durch Substitution Ableiten nach Parametern Partialbruchzerlegung Mehrfachintegration Flächenintegrale Volumenintegrale Integraltransformationssatz Masse und Schwerpunkt Distributionen Delta-Distribution Der große Bruder: 9(x) Bahnkurven Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Bewegungen Geradlinig gleichförmige Bewegung Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung Kreisbewegung Zusammengesetzte Bewegungen Bogenlänge Geschwindigkeit in krummlinigen Koordinaten Gewöhnliche Differenzialgleichungen Grundlagen Was ist eine Differenzialgleichung (DGL)? Klassifikation und Terminologie Eine wichtige DGL: Newton Lösungsansätze Gekoppelte Differenzialgleichungen Komplexe Zahlen 219

5 Grundlagen i-gitt i-gitt Rechenregeln Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten 222 Trigonometrie mit komplexen Zahlen Euler-Formel Sinus und Kosinus 225 Anwendungen Komplexe Exponentialreihe Harmonischer Oszillator 227 Vektoranalysis 229 Was ist ein Feld? 229 Operatoren der Vektoranalysis Gradient, Divergenz und Rotation Laplace Noch mehr V Ableiten in Indexschreibweise 235 Krummlinige Koordinaten Bestimmung der Basisvektoren in neuen Koordinaten Tangentialvektoren und Oberflächenintegrale V in krummlinigen Koordinaten 241 Integralsätze Satz von Gauß Satz von Stokes, Kurvenintegral 248 Fourier-Analysis 251 Die Idee 251 Fourier-Reihe Fourier-Zerlegung Eigenschaften der Fourier-Reihe Parsevals Theorem 255 Fourier-Transformation Definition und Eigenschaften Spezielle Fourien Fourier-Trafo der Zeit D- und 4-D-Fourier-Transformation DGL-Lösung per Fourier 260 Partielle Differenzialgleichungen 263 Was ist eine partielle Differenzialgleichung? 263 Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung Laplace-Gleichung Kugelsymmetrische Lösung Poisson-Gleichung 266

6 xi 11.3 Kontinuitätsgleichung Diffusionsgleichung Diffusion und Wärmeausbreitung Formale Lösung der Diffusionsgleichung Diffusion im kugelsymmetrischen Fall Allgemeine Lösung Wellen Die Wellengleichung D-Wellengleichung Kugelsymmetrische Lösung Ebene Wellen sind einfachste Lösung der 3-D-Wellengleichung Einfache Anwendungen in der Mechanik Grundbegriffe Newton Newton'sche Axiome Newton'sche Bewegungsgleichung Wichtige mechanische Kräfte Konservative Kräfte, Zentralkräfte Energie, Impuls und Arbeit Energiesatz und Potenzial Impuls Arbeit Formale Lösung des 1-D-Energiesatzes Rotationen Drehimpuls und Drehmoment Drehimpulserhaltung Inertialsystem und Scheinkräfte Teilchen im Potenzial Bewegungen im Potenzial Symmetrien und Erhaltungsgrößen Effektives Potenzial Schwingungen Mathematisches Pendel Der harmonische Oszillator Exakte Schwingungsperiode in einem Potenzial Kleine Schwingungen im Potenzial Gekoppelte Schwingungen Schwingungen im mehrdimensionalen Potenzial Rotation eines Körpers Grundbegriffe Trägheitstensor und -moment Stabile Rotation 335

7 xii Inhaltsverzeichnis 13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik Bewegung eines geladenen Teilchens Ladung Strom Kontinuitätsgleichung Ladung in E- und ß-Feldern Maxwell-Gleichungen Interpretation der Maxwell-Gleichungen Andere Maßsysteme Integrale Maxwell-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Elektrostatik Gleichungen der Elektrostatik Lösung durch Ansatz Lösung per Skalarpotenzial Magnetostatik Gleichungen der Magnetostatik Lösung durch Ansatz Lösung per Vektorpotenzial, Satz von Biot-Savart Elektromagnetische Wellen Homogene Wellengleichungen Ebene elektromagnetische Wellen Lösung der allgemeinen Maxwell-Gleichungen 364 A Klausur spielen" 368 Literaturverzeichnis 373 Index 375