S = {W ; Z } S = {prim;prim } E=prim

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Johanna Schulz
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Bernoulli-Versuche: Daniel Bernoulli 1700-1782 1782 Schweizer Mathematiker Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt einstufiger Bernoulli-Versuch Versuch.

1 Bernoulli-Versuche: Daniel Bernoulli Schweizer Mathematiker Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt einstufiger Bernoulli-Versuch Versuch. Wir nennen künftig die Ergebnisse meistens E ( Erfolg) und E ( Misserfolg) Beispiele: Münzwurf S = {W ; Z } E=W oder umgekehrt Würfeln / Augenzahl prim? S = {prim;prim } E=prim

2 Bernoulli-Versuche: Daniel Bernoulli Schweizer Mathematiker Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch ist die n-malige Durchführung eines einstufigen Bernoulli-Versuchs. Beispiel: E W 3-maliger Münzwurf S = {( w w w );...(z z z )} # S = 8 3 mal Erfolg 0 mal Erfolg

Bernoulli-Versuch n= p=0,5 (Erfolg: Kugel nach rechts) http://www.learn-line.nrw.

3 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 (Erfolg: Kugel nach rechts) line.nrw.de/angebote/eda/medio/galton/galton.htm

4 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 Galton.exe

-stufiger Bernoulli-Versuch Erfolg: Kugel nach rechts p=0,5 n= p=0,5 9 90 428 1137

5 -stufiger Bernoulli-Versuch Erfolg: Kugel nach rechts p=0,5 n= p=0, Ergebnis nach 000 Durchführungen (000 Kugeln) Galton.exe

6 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) Dieses stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt. T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel den eingezeichneten Weg einschlägt? P(rllrrlrrll) = 0,5

7 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) Dieses stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt. P(rllrrlrrll) = 0,5 T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in dem Topf T 5 landet? Zu dem Topf führen alle Pfade bei denen 5 mal r und 5 mal l vorkommen. 5 Da es solcher Pfade gibt: = = = 5 P(T 5 ) 0,5 0,246 24,6%

8 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) Dieses stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt. T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in dem Topf T k 0<=k<= landet? Zu dem Topf führen alle Pfade bei denen k mal r und (-k) mal l vorkommen. k Da es solcher Pfade gibt: = = k P(T k ) 0,5 0,246

9 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) Dieses stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt. k P(T k ) = 0,5 = 0,246 T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T Für das Ereignis k-mal Erfolg schreiben wir in Zukunft X=k Die Zufallsvariable X bezeichnet dabei die Anzahl der Erfolge bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment. P( X = k) = 0,5 k

10 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) Dieses stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt. T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T P( X = k) = 0,5 k Rechnet man alle Wahrscheinlichkeiten aus, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses Versuchs.

11 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) P( X = k) = 0,5 k BINOMIALVERTEILUNG n= p=0,5 T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 0,300 0,250 0,200 P(X=k) 0,150 0,0 0,050 0, K

Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) P( X = k) = 0,5 k P(X=k) 0,300 0,250 0,200 0,150 0,0 0,050 BINOMIALVERTEILUNG n= p=0,5 0,000 0 1 2

12 Bernoulli-Versuch n= p=0,5 ( rechts ) P( X = k) = 0,5 k P(X=k) 0,300 0,250 0,200 0,150 0,0 0,050 BINOMIALVERTEILUNG n= p=0,5 0, K Wie viele Kugeln erwarten wir damit in den einzelnen Töpfen? Simulation mit Galton.exe

13 Stufiges Bernoulli-Experiment p=0,4 q=(1-p)=0,6 k = = = ) = 0,5 k P( X = ) 0,5 falls p 0,5 und q (1 p Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung wenn p und q unterschiedlich sind? P( X= k) = 0,4 k 0,6 k k EXCEL Galton.exe

n Stufiges Bernoulli-Experiment Erfolgswahrscheinlichkeit p Bei einem n stufigen Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der

14 n Stufiges Bernoulli-Experiment Erfolgswahrscheinlichkeit p Bei einem n stufigen Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q=(1-p) hat man für das Ereignis X=k ( k Erfolge ) die Wahrscheinlichkeitsverteilung n k k n k P( X = k) = p (1 p) EXCEL Galton.exe

15 Binomialverteilungen bei gleichem n Binomialverteilung n=0 p= 0,3 ; 0,4 ; 0,5 0,0 0,090 0,080 symmetrisch 0,070 0,060 0,050 0,040 0,030 0,020 0,0 0,

16 Der Erwartungswert µ Binomialverteilung n=0 p= 0,3 ; 0,4 ; 0,5 0,0 0,090 0,080 symmetrisch 0,070 0,060 0,050 0,040 0,030 0,020 0,0 0,000 E(X) = n p

17 Binomialverteilungen bei gleichem p (n variabel) n=0 n=500 p=0,2 µ µ Start

18 Binomialverteilungen bei gleichem n (p variabel) Außer dem Erwartungswert E(X) benötigen wir noch ein Maß für die Breite der Verteilung : σ (x) = n p q q = 1 p line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj4/grundlagen/grund-mu mu-sigma sigma-b.htm

90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens k1 und höchstens k2

19 Faustregel 1 für 90%-Umgebungen E(X) = µ = n p σ = n p q Wie muss ich k 1 und k 2 wählen, damit die Anzahl der Erfolge mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens k1 und höchstens k2 beträgt. µ k 1 =? k 2 =? Schätzen und mit EXCEL überprüfen. EXCEL

20 Faustregel 1 für 90%-Umgebungen n-stufiges Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und dem Erwartungswert E(X) = µ = n p und der Standardabweichung σ = n p q Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegt die Anzahl der Erfolge in dem Intervall [ µ 1,64 σ ; µ + 1,64 σ ] N

21 Beispiel für die Faustregel 1 µ µ 1,64 σ µ + 1,64 σ n = 0 p = 0,4 µ = np = 40 σ = n p q = 4 0 0, 6 4,9 1, 6 4 σ 8,0 3 U = [3 2 ; 4 8 ] 9 0 % In 90% aller Fälle liegt das Ergebnis dieses Zufallsversuchs im Bereich von 32 bis 48 Erfolgen!

22 Faustregeln Die folgenden Faustregeln für Binomialverteilungen gelten umso genauer, je größer n ist, insbesondere falls die Laplace-Bedingung σ = n p q > 3 erfüllt ist. Radius der Umgebung Wahrscheinlichkeit der Umgebung Wahrscheinlichkeit der Umgebung Radius der Umgebung σ 2σ 3σ 68% 90% 95,5% 95% 99,7% 99% 1, 6 4 σ 1, 9 6 σ 2, 5 6 σ

23 Beispiel für die Faustregeln µ 1,96 σ µ 1,96 σ µ 2,56 σ n = 0 p = 0,4 µ = np = 40 σ = n p q = 4 0 0, 6 4,9 µ µ 1,64 σ µ + 1,64 σ 1, 6 4 σ 8,03 1,96 σ 9, 6 2,56 σ 1 2,5 4 U 9 0 % = [3 2 ; 4 8 ] U 9 5 % = [3 1; 4 9 ] U 9 0 % = [2 8 ;52] µ + 2,56 σ

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