Höhere Mathematik II. Variante A

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1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof Dr E Triesch Höhere Mathematik II SoSe 5 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen Sonstige Hilfsmittel, wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt Bewertung: Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I-I Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte II: (Aufgabe II-II4 Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung miteinbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein III: (Aufgabe III-III4 Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr (W oder falsch (F zuordnen Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen Es gibt keine Minuspunkte Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( Pkt = 6 + = Antwort Punkte Antwort Punkte (i W W (v F - (ii W F (vi W - (iii F W (vii - F (iv F F (viii - W Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I: (8+7 Pkt a Bestimmen Sie die (reelle Partialbruchzerlegung von b Bestimmen Sie den Wert des Integrals x + x x 8 ( (x 5 6(x + x + dx (x + 4x + 5 a Zunächst faktorisieren wir das Nennerpolynom Da x = eine Nullstelle von x 8 ist, erhalten wir x 8 = (x (x + x + 4 Wegen x +x+4 = (x+ + > für alle x R besitzt x +x+4 nur komplexe Nullstellen Also ist die Faktorisierung für die Partialbruchzerlegung ausreichend Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, wenden wir nun den Standardansatz für die Partialbruchzerlegung x + x auf an Also finde Zahlen A, B und C aus R mit (x (x + x + 4 x + x (x (x + x + 4 = A x + Bx + C x + x + 4 x + x = A(x + x (Bx + C(x An dieser Stelle bieten sich zwei verschiedene Lösungswege an Einsetzen von speziellen Werten für x: x = : 9 = A( A = 4 x = : = 4 + (B + C ( 4 = C C = x = : = 7 + (B + ( 4 = B + 4 Koeffizientenvergleich und LGS B = 4 x + x = A(x + x (Bx + C(x = A(x + x B(x x + C(x = (A + Bx + (A B + Cx + (4A C Ein Koeffizientenvergleich liefert A + B =, A B + C = und 4A C =

3 Schließlich erhalten wir das folgende lineare Gleichungssystem, welches wir zb mit dem Gaußalgorithmus lösen können /4 /4 Also A = 4, B = 4 und C = Somit erhalten wir insgesamt x + x (x (x + x + 4 = 4 x + 4 b Es gilt ( (x 5 6(x + x + (x + 4x + 5 Weiter gilt x dx = ln x und x x + x x + x + 4 dx = + x dx 5 6 x + x + 4x + 5 dx dx = (x x Mit der Substitution z = x + 4x + 5 und somit dz = (x + 4dx erhalten wir x + x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = z dz Dann gilt für das Integral = ln z ( (x 5 6(x + x + dx = (x + 4x + 5 = ln x + 4x + 5 [ ln x = ln( ln( ln( 5 6 (x dx x + ] ln x + 4x + 5 ln(5 = ln( ln( = 6 ln( 5

4 Aufgabe I: (5+5 Pkt a Zeigen Sie, dass die Funktion f : R R mit x sin(x + y, (x, y (,, f(x, y = x + y, (x, y = (, im Punkt (, stetig ist b Gegeben sei die Funktion g : R R mit sin(x, x, g(x = x, x = Zeigen Sie, dass g auf ganz R differenzierbar ist und geben Sie die Ableitung von g an a Wir benutzen Polarkoordinaten (x, y = (r cos(φ, r sin(φ für r > und φ [, π Dann gilt Also gilt für den Grenzwert f(r cos(φ, r sin(φ = r cos(φ sin((r cos(φ + (r sin(φ (r cos(φ + (r sin(φ = r cos(φ sin(r r = cos(φ sin(r r lim f(r cos(φ, r sin(φ = lim r r cos(φsin(r r Also ist f im Punkt (, stetig l Hospital = cos(φ lim r r cos(r = = f(, b Für x R \ {} ist g differenzierbar als Komposition differenzierbar Funktionen und wir erhalten g (x = x cos(x x sin(x = x cos(x sin(x x x Für x = gilt g( + h g( lim h h sin(h h = lim h h = lim h sin(h h l Hospital = lim h h cos(h h Zusammengefasst erhalten wir als Ableitung von g x cos(x sin(x, x, g (x = x, x = Somit ist g differenzierbar auf ganz R = lim h cos(h = 4

5 Aufgabe I: (6+(4+4 Pkt a Gegeben sei die rekursive Folge (a n n N durch a = 5, a n+ = 9 + 4a n 4 + a n Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert a b Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw Divergenz i cos(nπ n(n + (n + n= ii n= n n! n n a Falls der Grenzwert a = lim a n existiert, gilt a = 9 + 4a 4 + a 4a + a = 9 + 4a a 9 = a = ± Wir beweisen mit vollständiger Induktion, dass a n für alle n N ist IA: a = 5 IV: Es gelte a n für ein n N IS: Nach der Definition der Folge ist a n+ = 9 + 4a n 4 + a n 9 + 4a n + a n (4 a n 9 a n Also gilt die Behauptung für alle n N und die Folge (a n n N ist nach unten durch beschränkt Wir zeigen, dass die Folge monoton fallend ist a n+ a n = 9 + 4a n 4 + a n a n = 9 + 4a n 4a n a n 4 + a n = 9 a n 4 + a n <, da a n Somit ist die Folge monoton fallend Aus und folgt, dass die Folge (a n n N nach dem Satz über monotone und beschränkte Folgen konvergiert Der Grenzwert ist mit lim a n = b i Es gilt cos(nπ = ( n für n N Wir setzen b n := n(n+(n+ Es gilt, dass b n > für alle n N und weiter lim b n = lim n + n + n = lim Aus n n + für alle n N folgt n + + n n b n+ = (n + (n + (n + = b n (n + (n + n 5

6 Somit ist die Folge (b n n N eine monoton fallende Nullfolge Aus dem Leibnizkriterium folgt die Konvergenz der Reihe cos(nπ = n(n + (n + n= ii Bezeichne c n := n n! Es gilt n n lim c n+ (n+ (n +! c n = lim (n + n+ = lim ( n+ n ( n b n n= n = lim ( + ( n n n n n n! = lim n + n n = e < Die Reihe n= n n! n n konvergiert nach dem Quotientenkriterium 6

7 Teil II Aufgabe II: (6+5 Pkt a Bestimmen Sie den Wert des (uneigentlichen Integrals 4x 4x + dx b Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f : (, R, f(x = sin( x a Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion des Integranden und betrachten das unbestimmte Integral 4x 4x + dx = (4x 4x + + dx = (x + dx = y=x dx = (x + y + dy Weiter gilt für ein a R a 4x 4x + = arctan(y = arctan(x [ ] t dx = lim arctan(x = t a lim t = π arctan(a, 4 arctan(t arctan(a }{{} π sowie a 4x 4x + [ ] a dx = lim arctan(x = arctan(a t t lim = arctan(a + π 4 t arctan(t }{{} π Also folgt insgesamt 4x 4x + dx = a 4x 4x + dx + 4x 4x + dx = arctan(a + π 4 + π arctan(a 4 = π a 7

8 b Wir substituieren zuerst t = x bzw dx = t dt sin( x dx = t sin(t dt Danach verwenden wir partielle Integration u(t = t, u (x =, v (x = sin(t, v(x = cos(t Dann gilt t sin(t dt = t( cos(t + cos(tdx = t cos(t + sin(t Durch Resubstitution t = x erhalten wir sin( x dx = x cos ( x + sin ( x 8

9 Aufgabe II: Gegeben sei die Funktion f : R R mit (5 Pkt f(x = sin(cos x Bestimmen Sie zu f das Taylor-Polynom T, π (x zweiten Grades an der Stelle x = π Es gilt f(x = sin(cos x, f (x = cos(cos x( sin x, f (x = sin(cos x( sin x + cos(cos x( cos x = sin(cos x sin x cos(cos x cos x Somit folgt ( π ( f = sin cos π = sin =, ( π ( f = cos cos π ( sin π = cos( ( =, ( π ( f = sin cos π sin π ( cos cos π cos π = Damit ist das Taylor-Polynom gegeben durch ( T, π (x = + x π + ( x π π = x +!! Aufgabe II: Gegeben sei die Funktion f : [ π, π R mit { x πx, x [, π, f(x = x πx, x [ π, (+7 Pkt Geben Sie die Koeffizienten a, a k und b k für k N an, so dass a + (a k cos(kx + b k sin(kx k= die Fourierreihe der π-periodischen Fortsetzung von f auf R ist Unterscheiden Sie dabei die Fälle: a a k für k N b b k für k N Hinweis: π π a k = f(x cos(kx dx, b k = f(x sin(kx dx, π π π π a = π π π f(x dx a Für x [, π gilt f( x = ( x π( x = x + πx = (x πx = f(x 9

10 Also ist f punktsymmetrisch zum Punkt (, und somit auch f(x cos(kx für ein beliebiges k N Insgesamt erhalten wir dann und Also ist a k = für alle k N a = π a k = π π π π π f(x dx =, f(x cos(kx dx = b Analog zu a erhalten wir, dass f(x sin(kx achsensymmetrisch zur y-achse ist Also gilt mit partieller Integration für n N π π b k = f(x sin(kx dx = f(x sin(kx dx = (x πx sin(kx dx π π π π = [ π (x πx ] π ( cos(kx π (x π( cos(kx dx k k }{{} = πk = πk π = (x π cos(kx dx [ (x π ] π k sin(kx k }{{} = 4 π πk = 4 πk Also ist für k N = sin(kx dx [ ( cos(kx k = 4 πk (( k ] π π sin(kx dx 8, k ungerade, b k = πk, k gerade π

11 Aufgabe II4: (+4+5 Pkt a Berechnen Sie den Wert der konvergenten Reihe n= + ( n 4 n b Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge (a n n N mit a n = 4n4 n n n + c Bestimmen Sie den Grenzwert b der Folge (b n n N mit b n = Hinweis: Für alle k n gilt a Es gilt n + n + + n + n n n + n + n k n + n + n n= 4 n = ( n = 4 n n= k n + n + k 4 n n= n= ( geom Reihe = n geom Reihe = k n + n + 4 = 4 ( = Da beide Reihen konvergieren, konvergiert auch die Summe Damit ist b Es ist c Setze n= + ( n 4 n = 4 + = 4 lim a 4n 4 n n 4 n = lim (n + ( 4n 4 n + n = lim n 4 n n ( + n n ( 4 n + ( ( n 4 n = lim n 4 ( n = lim + n ( 4 n + ( + n ( 4 n + = + = x n = y n = n + n + n + n + n + n + + n n + n + n = n n + n + n = (+n n n + n + + n + n n n + n + = n n + n + = n + n + n ; (+n n n + n +

12 Es gilt x n b n y n für alle n N Weiter gilt lim x n = lim lim y n = lim Nach dem Sandwich-Lemma folgt dann: ( lim n + n (n + n + n = lim + n + 6 n n + n (n + n + = lim n + n + + n + n = ; + n + 4 n + n = n = n + n + n

13 Teil III Aufgabe III: Gegeben sei die Funktion f : (, R mit (6 Pkt f(x = x arctan(x ln(x + x Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: lim f(x = lim f(x = lim f(x = 4 lim f(x = x x x x 5 lim f(x = 6 lim f(x = 7 lim f(x = π 8 lim f(x = x x x x Definiere f (x := x arctan(x und f (x := ln(x + x Dann gilt f (x lim f(x = lim x x f (x = lim x arctan(x x ln(x + x Da lim f (x = und lim f (x = gilt, liegt der Fall vor Sowohl f x x als auch f sind beliebig oft stetig differenzierbar Ableiten liefert f (x = arctan(x + x x + und f (x = x + Es gilt lim f x (x = und lim f x (x =, so dass wir erneut den Fall haben Wir bilden die zweiten Ableitungen und f (x = x + + (x + x x (x + = (x = (x + Es gilt f (x lim x f (x = lim x Mit der Regel von l Hospital gilt dann f (x + (x + = (x + f (x lim f(x = lim x x f (x = lim f (x x f (x = lim f (x x f (x =

14 Aufgabe III: a Gegeben sei die Funktion f : R \ {} R mit f(x = x ln(x Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen Die Funktion f(x ist streng monoton steigend für x (, Die Funktion f(x ist streng monoton steigend für x (, Die Funktion f(x ist streng monoton fallend für x (, 4 Die Funktion f(x ist streng monoton fallend für x (, b Gegeben sei die Funktion g : [, ] R g(x = xe x Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen Die Funktion g hat in ein lokales Minimum Die Funktion g hat in ein lokales Maximum Die Funktion g hat in ein lokales Minimum 4 Die Funktion g hat in ein globales Maximum a Bestimme zuerst die Ableitung Es gilt f (x = x x x = x x i f(x ist streng monoton steigend, wenn f (x > ist (4+5 Pkt x x > x > oder < x < f(x ist jeweils streng monoton steigend auf (, bzw (, ii f(x ist streng monoton fallend, wenn f (x < ist x x < < x < oder x < f(x ist jeweis streng monoton fallend auf (, bzw (, b Bestimme zuerst die kritischen Punkte von g(x Es gilt g (x = e x + xe x ( = e x ( x! = x =, da e x > für alle x [, ] ist Dh x = Wegen ist der einzige kritische Punkt Weiter ist g (x = e x ( ( x + e x ( = e x (4x 4 ( ( g = e 4 4 = e < g( = e ( = e, g( = e, hat g in mit g ( = e = > ein globales Maximum, in mit g( = e ein e e lokales Minimum und in mit g( = ein lokales Minimum e 4

15 Aufgabe III: Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x = ln( sin x + cos x x Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen ( Pkt Die Ableitung von f(x ist f (x = + ln( x sin x Die Ableitung von f(x ist f (x = (ln( + (cos x sin x x Die Ableitung von f(x ist f (x = + (ln( x sin x 4 Die Ableitung von f(x ist f (x = (ln( cos x sin xx (ln( sin x + cos xx x x Es gilt f (x = (ln( cos x sin x x (ln( sin x + cos x ln( x ( x = ln( cos x sin x (ln( sin x ln( cos x x = + (ln( x sin x 5

16 Aufgabe III4: Gegeben sei die Funktion h : ( π, π (, mit h(x = + cos x a Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen ( x Die Umkehrfunktion von h(x ist h (x = arccos x ( x Die Umkehrfunktion von h(x ist h (x = arccos x ( + x Die Umkehrfunktion von h(x ist h (x = arccos x 4 ( x Die Umkehrfunktion von h(x ist h (x = arccos + x b Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (+ Pkt a+b Die Ableitung der Umkehrfunktion von h(x ist (h (x = x x Die Ableitung der Umkehrfunktion von h(x ist (h (x = (x x Die Ableitung der Umkehrfunktion von h(x ist (h (x = x x 4 Die Ableitung der Umkehrfunktion von h(x ist (h (x = (x + x + Da + cos x > für alle x ( π, π gilt, ist h auch auf dem Intervall ( π, π differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen Es gilt h (x = h (x <, da sin x < für alle x ( π, π gilt h ist streng monoton fallend und damit injektiv Berechnung der Umkehrfunktion von h: y = sin x ( + cos x = sin x ( + cos x + cos x + cos x = y cos x = y y Die Umkehrfunktion ist ( h :, ( π, π, h (x = arccos ( y x = arccos y ( x Mit Hilfe vom Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion ist h auf (, differenzierbar und es gilt (h (x = h (arccos( x x 6 x

17 = = sin(arccos( x x [+cos(arccos( x x ] x ( x x = x = ( + x x cos ( arccos ( x x = x ( x+x x x x 7

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