Mathematik I für MB und ME

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1 Mathematik I für MB und ME Übungsaufgaben Serie 5: Folgen Funktionen Dierentialrechnung Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 206/207 Bestimmen Sie die Grenzwerte der nachstehenden Folgen {a n } für n : a) a n = 5n + 2n (n 7)2 b) a + 8n 5 n = c) a + n 2 n = n + 5n 7n 2 d) a n = n n 5n + π ( ) 20 ( ) n n n 5 n 2 πn n n + 5e e) a n = f) a n = n + n + 5 ( ) n n + 2 g) a n = h) a n = ( ) n+9 n 7 i) an = n n n 5 n j) a n = 2 + ( ) n k) a n = sin( nπ) l) a 2 n = n2 2n 5 + n2 6n m) a n = 2n n 2 5n Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Funktionen: x 0 x x 5x x 5 x 2 5x + 6 b) lim x 2 x 2 7x + 0 x 2 x c) lim x 0 x Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen: a) f(x) = (cos π ) 2 x b) f(x) = x ln x e x c) f(x) = 2a a+ x d) f(x) = sin(ln(x 2 5)) e) f(x) = cos 2 (ax) + cos(ax) 2 f) f(x) = (x + )e x g) f(x) = e cos x2 h) f(x) = ln( x + + x 2 ) i) f(x) = (2x ) cos x j) f(x) = (x + ) x k) f(x) = ln (2x + ) (x ) (x + )x 2 ( x) l) f(x) = 5x m) f(x) = x 2 + x 0 (im Kopf!!!) Bilden Sie die n-te Ableitung der Funktion f(x) = (ax + b) m m N a b R 5 Welche quadratische Funktion f(x) = ax 2 + bx + c enthält den Punkt P = ( ) hat in P den Anstieg 0 und besitzt an der Stelle x = 2 den Anstieg 6? 6 An welcher Stelle haben die Graphen von f(x) = x 2 + x und g(x) = ln(x 2 + ) parallele Tangenten? Geben Sie die Gleichungen der Tangenten an 7 Gegeben sei die Funktion f(x) = ln(ax) + mit a 0 Geben Sie den Denitionsbereich D(f) an und bestimmen Sie Nullstellen und Extrempunkte Beschreiben Sie das x Monotonieverhalten der Funktion 8 Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Denitions- und Wertebereich Nullstellen Polstellen Extremwerte und Wendepunkte Verhalten im Unendlichen Monotonie- und Krümmungsverhalten Skizze) für die Funktion f(x) = 6x 9 (x ) 2

2 9 Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = xe ax in Abhängigkeit von a R a 0 0 Welche Punkte (x y) der Hyperbel y 2 x 2 = haben vom Punkt ( 0) die kleinste Entfernung? Für die Ellipse x2 + y2 = ist dasjenige achsenparallele Rechteck gesucht welches in der a 2 b 2 Ellipse liegt und den maximalen Flächeninhalt hat 2 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'hospital: e 2x + x x b) lim x 0 sin 2 (a + x) sin 2 a (a + x) 2 a 2 c) lim x 2 e x+ d) lim x ( x ln x ln x x 2 ) x e) lim x x x Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktionen: a) z(x y) = x y 2 + e y x ln x + y b) z(x y) = sin 2y x c) f(x t) = ln sin(x 2t) d) f(x y z t) = ye t z 2 sin y + t ln x e) f(x y z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen 2 Ordnung der Funktion f(x y) = x y Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen Ordnung der Funktion f(x y) = x y 2 5 Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene in einem beliebigen Punkt (x 0 y 0 ) der Funktion f(x y) = x 2 + y 2 y? Geben Sie die Tangentialebene an im Punkt (x 0 y 0 ) = ( ) Bestimmen Sie alle Punkte von f(x y) für die die zugehörige Tangentialebene parallel zur x-y-ebene liegt 6 Bestimmen Sie das totale Dierential der Funktion f(x y) = ln(y + x 2 + y 2 ) 7 Untersuchen Sie ob der Ausdruck (2x + 2xy )dx + (y x 2 )dy vollständiges Dierential einer Funktion f(x y) ist Wenn ja dann bestimmen Sie diese Funktion 8 Ermitteln Sie die lokalen Extremwerte der folgenden Funktionen: a) f(x y) = x xy + 2y 2 b) f(x y) = x y 2 (6 x y) mit x > 0 y > 0 9 Für welche Werte von a b R hat die Funktion f(x y) = 2(x + a) 2 + y(y + b) 2 im Punkt (x 0 y 0 ) = (2 ) ein lokales Extremum? Von welcher Art und wie groÿ ist dieses Extremum? 2

3 20 Berechnen Sie für folgende Funktionen an der gegebenen Stelle (x 0 y 0 ) bzw (x 0 y 0 z 0 ) den Wert der Richtungsableitung in Richtung r : ( ) a) f(x y) = x xy 2 (x 0 y 0 ) = (2 ) r = 0 b) f(x y z) = x sin z y cos(2z) (x 0 y 0 z 0 ) = (0 0 0) r = Zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium: Bestimmen Sie die Grenzwerte der nachstehenden Folgen {a n } für n : a) a n = 2n2 + n n + 2n b) a (2n )6 n = (n 2 + 5n + ) c) a n = 5n 2 n n ( ) n n + d) a n = cos( nπ) e) a 2 n = 2n n f) a n n = n 2 2 Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Funktionen: x x 5x x x6 + x b) lim c) lim 5 x 0 2x 2 x ( x x Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen: a) f(x) = x x b) f(x) = x ln x c) f(x) = ex 2 ln x +x d) f(x) = arctan( 2x 2 ) e) f(x) = e x 2x + f) f(x) = ( ) x x x+ g) f(x) = x + 2x Bilden Sie die n-te Ableitung der Funktion f(x) = x g(x) ) cos x 5 Bestimmen Sie Denitionsbereich Wertebereich Nullstellen und Extremstellen der Funktion f(x) = e sin x 6 Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Denitions- und Wertebereich Nullstellen Polstellen Extremwerte und Wendepunkte Verhalten im Unendlichen Monotonie- und Krümmungsverhalten Skizze) für die Funktion f(x) = x 2 e x 2 7 Von einem Dreieck seien die Summe der Länge von zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben Wie lang müssen die beiden Seiten sein damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird? 8 Für die Kurve f(x) = (2x + x 2 + ) 2 ist im Punkt P = ( 2) die Gleichung der Tangente und die der Normale zu bestimmen 9 An welcher Stelle x 0 und unter welchem Winkel schneidet der Graph der Funktion y = x( x ) die x-achse? Wie lautet die Gleichung der Tangente in diesem Schnittpunkt?

4 0 Ermitteln Sie die Gleichung eines Polynoms dritten Grades dessen Graph bei x = eine Nullstelle und bei x = 2 einen Wendepunkt hat Die Gleichung der Tangente im Wendepunkt lautet y T (x) = x Zwei Flugzeuge iegen in gleicher Höhe mit den Geschwindigkeiten v = 850 km/h in Richtung Nordost (Flugzeug A) und v 2 = 500 km/h in Richtung Ost (Flugzeug B) Zur Zeit t 0 bende sich Flugzeug A im Punkt (0 0) und B in (0 200) Zu welchem Zeitpunkt t wird die kürzeste Entfernung zwischen den beiden Flugzeugen erreicht und wie groÿ ist sie? Man runde die Koordinaten von v auf volle Hunderter 2 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'hospital: ln cos 2x ln(2 + e ax ) + e a b) lim x 0 ln cos x 5 + 7x d) lim (a x) ln(x a) e) lim x a+ x 0 c) ln(ax) + lim x ) ( sin x e x Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktionen: a) z(x y) = cos(ax by) b) f(x y) = sin xy cos xy Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen 2 Ordnung für die folgenden Funktionen: a) f(x y) = e xy + cos y b) f(x y) = e x2 +y 2 Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen Ordnung für die Funktion f(x y) = x ln y 5 Für die Funktion z = f(x y) = x 2 + xy 2y 2 ist im Punkt (x 0 y 0 ) = (2 ) die Tangentialebene an die Bildäche in parameterfreier Darstellung anzugeben Bestimmen Sie einen Normalenvektor dieser Tangentialebene 6 Bestimmen Sie das totale Dierential der Funktion f(x y) = x 2 + y Untersuchen Sie ob der Ausdruck x sin ydx + x 2 cos ydy vollständiges Dierential einer Funktion f(x y) ist Wenn ja dann bestimmen Sie diese Funktion 8 Ermitteln Sie die lokalen Extremwerte der folgenden Funktionen: a) f(x y) = y x y 2 x + 6y mit x > 0 b) f(x y) = e x2 (y 2 + ) 9 Berechnen Sie für folgende Funktionen an den gegebenen Stellen (x 0 y 0 ) den Wert der Richtungsableitung in Richtung r : a) f(x y) = ln x ( ) (x 0 y 0 ) = ( ) r = y ( ) b) f(x y) = e x 2y (x 0 y 0 ) = (ln ln 2) r =

5 Schriftliche Aufgaben: Abgabe in den Übungen der 5 Semesterwoche: 5 Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen {a n }: (a) a n = 2n + ( )n n (b) a n = ( ) n ( n 2 + ) (c) a n = (d) a n = ( ) n 2n + 2n + n2 n n2 n + 52 Aufgabe zur Wiederholung (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung lg(x 2) lg( x) = (b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x 2 x Aufgabe zur Wiederholung (a) Gegeben sei die komplexe Zahl z = 5i a + i mit dem reellen Parameter a Für welches a R gilt Re(z) = 0? Berechnen Sie Im(z) für dieses a (b) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen für 6 Stellen Sie die Ergebnisse in der Gauÿschen Zahlenebene grasch dar Alte Klausuraufgaben zu Funktionen: Gegeben sei die Funktion f(x) = e x 2 x2 (a) Geben Sie den Denitionsbereich D(f) für diese Funktion an (b) Geben Sie einen allgemeinen Ausdruck für die n-te Ableitung f (n) (x) an n (c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f(x) (d) Ermitteln Sie den Grenzwert lim f(x) 2 Gegeben sei die Funktion f(x) = lg( x) (a) Bestimmen Sie Denitions- und Wertebereich für diese Funktion (b) Ermitteln Sie alle Nullstellen der Funktion (c) Geben Sie die erste Ableitung f (x) an Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung für folgende Funktionen: sin x+2 (a) f(x) = x und (b) g(x) = e x 5