Polynominterpolation. Allgemeines Problem: Beispiel 1 (Teil 1):
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- Tobias Ursler
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1 . Großübung Polynominterpolation Allgemeines Problem: Aufgrund gegebener Messwerte (Paare aus Werten i und Funktionswerten f( i )) soll ein Funktionsverlauf rekonstruiert bzw. zumeist angenähert werden. Aufgabe: Lege Polynom durch gegebene Messwerte. (Lagrange-)Interpolationsaufgabe: Finde ein Polynom, sodass die Funktionswerte eakt angenommen werden. gegeben: Daten,,,.., n und f( ), f( ),.., f( n ). gesucht: Polynom p Π n ( Raum aller Polynome bis zum Grad n ), sodass p( j ) = f( j ), j =,.., n. Der Raum aller Polynome bis zum Grad n ist z.b. wie folgt definiert: Π n := {v : v() = a + a a n n, a i R beliebig} D.h. ein Polynom aus Π n hat n+ Parameter (Freiheitsgrade). In der Monomdarstellung (p() = a +a +..+a n n ) sind die Paramter gerade a, a,.., a n. Beispiel (Teil ): Es sind folgende Messpunkte gegeben. i f( i )
2 f() Abbildung : Messpunkte zu Beispiel. Ansatz (Lagrange-Fundamentalpolynome) I: Zerlege Problem in Teilprobleme, bei denen jeweils alle Funktionswerte Null sind außer einem. Beispiel (Teil ): Teilprobleme: i f ( i ) f ( i ) f ( i ) f ( i ) Ansatz (Lagrange-Fundamentalpolynome) II: Das (weiter vereinfachte) Problem i... j j j+... n q( i )......
3 kann mit dem Lagrange-Fundamentalpolynom gelöst werden. Dieses ist q() = n k=,k j k j k =: l jn () und ist eins bei j und an allen anderen Stützstellen Null, l jn ( k ) = δ jk. Der Grad von l jn ist n. Demnach löst f( j ) q() = f( j ) l jn () das Problem mit den folgenden Messwerten: i... j j j+... n q( i )... f( j )... Durch Addition solcher Polynome bekommt man eine Lösung des Gesamtproblems. f() l() f() l() f() l() f() l() Abbildung : Skalierte Lagrange-Funktionen zu Punkt,, und.
4 f() Abbildung : Das Interpolationspolynom zu Beispiel. Beispiel (Teil ): Die Lagrange-Fundamentalpolynome zu diesem Beispiel sind: ( ) ( ) ( ) l () = = ( ) ( ) ( ) ( ) l () = ( ) ( ) ( ( ) ) = + + ( ) l () = ( ) ( ) ( ( ) ) = ( ) l () = ( ) ( ) ( ( ) ) = In Abbildung sind die skalierten Fundamentalpolynome f( ) l i, i =,.. abgebildet. Beachte das diese gerade die Interpolationspolynome für die Teilproblemfunktionen f i () sind. Summiert man diese Terme auf, so erhält man das gesamte Interpolationspolynom: p() = f( i ) l i () = i=
5 Aufwand Interpolation mit Lagrange-Fundamentalpolynomen: Der Aufwand zum Auswerten eines Lagrange-Fundamentalpolynoms beträgt: ( }{{} n + n }{{ } ) Divisionen Multiplikationen Das Auswerten des Interpolationspolynoms an einer Stelle in der Form p() = n f( i ) l in () i= demnach ( }{{} n + n }{{ } + }{{} ) (n + ) = n(n + ) = O(n ). }{{} Divisionen Multiplikationen f( j ) Stützstellen Man beachte, dass der Aufwand dabei stark von der Darstellung von Polynomen abhängt. Der hier dargestellte Aufwand bezieht sich auf die Darstellung des Polynoms in der LagrangeBasis. Unterschiedliche Basen von Polynomen werden im nächsten Abschnitt behandelt. Basen von Polynomen Es eistieren verschiedene Darstellungsformen für Polynome: monomiale Basis: Lagrangesche Basis:,,,..., j,..., n p() = l jn = p() = n n a j j j= k=,k j k j k n b j l jn () j= Newtonsche Basis: j, ( ), ( ) ( ),.., ( k ),.. 5 k=
6 z.b.: p() = n c j j j= k= ( k ) p() = + ( ) + ( )( ) + ( )( )( ) Das (Lagrange-)Interpolationsproblem ist eindeutig lösbar. Der Hinweis in Klammern (Lagrange-) bedeutet, dass nur die Funktionswerte verwendet werden und nicht andere Informationen zur Interpolation herangezogen werden. Alternativen sind z.b. die Hermit-Interpolation bei der auch Ableitungsinformationen bei der Interpolation verwendet werden (in dieser Veranstaltung nicht betrachtet). Alle Polynomdarstellungen können ineinander umgeformt werden. Es gibt also verschiedene Darstellungen für das gleiche Polynom. Das Horner-Schema: Das Horner-Scheme erlaubt eine schnelle Auswertung von Polynomen in monomialer Darstellung oder in der Darstellung der Newton-Basis. Dabei wird geschickt geklammert: monomiale Basis: p() = n a j j = a + (a + (a (a n + a n )...)) j= Newtonsche Basis: p() = n j= ( k ) c j j k= = c + ( )(c + ( )(c ( n )(c n + ( n )c n )...)) Der Aufwand zur Auswertung beträgt nur n Multiplikationen. In Potenzform (naive Auswertung) und bei der Lagrangeschen Basis ist der Aufwand O(n ). Neville-Aitken Idee Man betrachtet zwei Interpolationspolynome. f () sei das Interpolationspolynom zu der Funktion f an den Punkten,.. n, wir schreiben auch f () = P (f,.., n ) und f () sei das Interpolationspolynom zu der Funktion f an den Punkten,.. n, also auch f () = P (f,.., n ). f und 6
7 f stimmen somit an allen inneren Punkten (,.. n ) überein. Für die Interpolation an allen Punkten gibt bei die Funktion f den richtigen Wert, am Punkt n die Funktion f. Deswegen kann man das Interpolationspolynom für alle Punkte p() = P (f,.., n )() wie folgt konstruieren: Man (konve-)kombiniert die beiden Funktionen f und f zu p() = α() f () + ( α()) f (). An allen inneren Punkten sind f und f gleich und damit hat p() dort auch den gleichen Wert. Nun wählen wir α() so, dass f am Punkt voll gewichtet wird und f gar nicht. Im Punkt n umgekehrt. Da p() ein Polynom vom Grad n sein soll, darf α() nur vom Grad eins sein. α Π, α( ) =, α( n ) = Damit ergibt sich dann die Aitken-Formel: P (f,.., n ) = n n P (f,.., n ) + n P (f,.., n ) Beispiel (Teil ): Die entsprechenden Terme der Aitken-Komposition sind in Abbildung abgebildet. Neville-Aitken Schema Mit der Idee Interpolationspolynome als Konvekombination von anderen (einfacheren) Interpolationspolynomen aufzuschreiben, ergibt sich eine Vorschrift Interpolationspolynome rekursiv zu bestimmen. Wenn man nur Auswertungen an konkreten Stellen benötigt (und nicht das komplette Polynom), so kann das Neville-Aitken Schema angewandt werden. Siehe hierzu auch Folie 8.6, Folie 8.7 : Beispiel (Teil 5), Neville-Aitken: Wir wollen nun das Neville-Aitken-Schema anwenden, um das Interpolationspolynom an der Stelle = =.5 auszuwerten. P (f,,.., )(.5) =?. Das Neville-Aitken-Tableau hat die folgende Form, dabei kann man direkt die Werte aus der Tabelle übertragen, da die Funktionswerte gleichzeitig die Interpolationspolynome nullter Ordnung an den entsprechenden Stellen sind. 7
8 P (f,,, ) P (f,,, ) P (f,,, ) P (f,,, ) f () = P (f,,, ) f () = P (f,,, ) f () + f () Abbildung : Zu Beispiel : (gewichtete) Interpolationspolynome mit drei Punkten und deren Addition. i P i, P i, P i, P i, - P, P, P, P, P, P, Hierbei ist P k,j = P (f k j,.., k )( = ). Zunächst berechnen wir P,. Dies können wir machen indem wir die Konvekombination aufschreiben: P, = P, + P, 8
9 Formen wir dies weiter um, so erhalten wir die geläufigere Form P, = P, + ( ) P, P, = + ( ) ( ) = Analog fahren wir fort: P, = P, + ( ) P, P, = + ( ) = P, = P, + ( ) P, P, = + ( ) = Jetzt bildet man die Konvekombination bzgl. der äußeren Punkte, da alle ïnneren Punkte für die entsprechenden Terme gleich sind. Hierbei ist es nicht wichtig, dass die i sortiert sind. P, = P, + ( ) P, P, = + ( ) ( ) = 5 8 P, = P, + ( ) P, P, = + ( ) = 8 P, = P, + ( ) P, P, = 8 + ( ) ( ) = 8 Das Ergebnis ist also P (f,.., )( ) = 8. i P i, P i, P i, P i, - / 5/8 - /8 /8 Eigenschaften Neville-Aitken-Schema: Effiziente Auswertung an (nur!) einer Stelle, Aufwand n. weitere Stützstellen können leicht hinzugefügt werden. Stützstellen müssen nicht sortiert sein. 9
10 Newton Schema Mit der Notation δ n = f(n) P n ( n) ( ) ( n n ) =: [,.., n ]f (s. Folie 8. ) gilt die Horner-artige Darstellung: P (f,.., n )() = [ ]f + ( )[, ]f und die Beziehung +( )( )[,, ]f ( ) ( n )[,..., n ]f. [,.., n ]f = [,.., n ]f [,.., n ]f n (siehe auch Folie 8., Folie 8. ). Mit Hilfe dieser Beziehung kann man nun ähnlich dem Neville-Aitken-Schema die Koeffizienten in einer Tabelle berechnen, wo [ i ]f = f( i ) gegeben ist: [ i ]f [ i, i+ ]f [ i, i+, i+ ]f [ i, i+, i+, i+ ]f [ ]f > [, ]f [ ]f > [,, ]f > [, ]f > [,,, ]f [ ]f... > [,, ]f.. Aus den Koeffizienten der obersten Zeile angeben. lässt sich das Polynom eplizit Beispiel (Teil 6), Newton Schema / Dividierte Differenzen: [ i ]f [ i, i+ ]f [ i, i+, i+ ]f [ i, i+, i+, i+ ]f > [, ]f > [,, ]f > [, ]f > [,,, ]f > [,, ]f > [, ]f
11 Die Berechnung mit dividierten Differenzen liefert jetzt: [, ]f = [ ]f [ ]f = ( ) = [, ]f = [ ]f [ ]f = = [, ]f = [ ]f [ ]f = = [,, ]f = [, ]f [, ]f = ( ) = [,, ]f = [, ]f [, ]f = ( ) = [,,, ]f = [,, ]f [,, ]f = ( ) ( ) = [ i ]f [ i, i+ ]f [ i, i+, i+ ]f [ i, i+, i+, i+ ]f > > > > > > Hier lässt sich das Interpolationspolynom ablesen: P (f,,, ) = + ( + ) ( + ) + ( + )( ) Zur effizienteren Auswertung sollte man das Polynom direkt horner-artig Aufschreiben: ( ( P (f,,, ) = + ( + ) + + ( ) )) Zur Kontrolle rechnen wir die Potenzform aus und erhalten P (f,,, ) = Eigenschaften Newton-Schema: Aufwand allgemein: n um die Koeffizienten [,... j ]f zu berechnen. Zusätzlich n Multiplikationen für jede Auswertung.
12 weitere Stützstellen können leicht hinzugefügt werden. Stützstellen müssen nicht sortiert sein. Fehlerabschätzung: Wir möchten den Fehler f( ) P (f,.., n )( ) (a priori) abschätzen für beliebige R. Herleitung Fehler in : Hierzu betrachten wir das Interpolationspolynom p () = P (f,.., n, )(). Dann kann man den Fehler auch wie folgt charakterisieren: f( ) P (f,.., n )( ) = p ( ) P (f }{{},.., n )( ) =f( ) Jetzt setzen wir die Newton-Darstellung ein und erhalten: f( ) P (f,.., n )( ) = ( )( ) ( n ) [ }{{},.., n, ]f }{{} =A =B Die beiden Terme A und B können getrennt voneinander betrachtet werden. A hängt nicht von der Funktion, sondern lediglich von der Wahl der Stützstellen ab. B kann weiter charakterisiert werden (s. Folie 8.6 ): wobei ξ [min{ i, }, ma{ i, }] Abschätzungen B = [,..., n, ]f = f (n+) (ξ) (n + )! Bei Auswertung im Interval [c, d] Typischerweise ist man an dem maimalen Fehler innerhalb eines Intervals [c, d] interessiert. Das Interval [a, b] ist dabei durch die Stützstellen mit a = min{ i } und b = ma{ i } definiert. Dann gilt (mit [c, d] [a, b] oder [a, b] [c, d]): ma f() P (f n,.., n )() ma ( j ) [c,d] [c,d] j= ma ξ [a,b] [c,d] f (n+) (ξ) (n + )!
13 [a, b] : Hier wird interpoliert [c, d] : Hier wird ausgewertet / Polynom betrachtet Die Unterscheidung zwischen den Intervallen ist nicht notwendig, kann aber schärfere (d.h. weniger pessimistische) Abschätzungen liefern, als wenn man bloß das größere Interval für beide Terme (A und B) betrachtet. Gröbere (und einfachere) Abschätzung erhält man für den A-Term, wenn man einzeln abschätzt: n n ma ( j ) [c,d] ma j [c,d] j= Bei Auswertung im Punkt Im Falle einer Punktauswertung fällt das Intervall [c, d] zu dem Punkt zusammen und man erhält: n f() P (f,.., n )( ) ( j ) ma f (n+) (ξ) ξ [ā, b] (n + )! wobei das Interval [a, b] ggf. soweit vergrößert wird, dass es beinhaltet: ā = min{a, } und b = ma{b, } Zusätzliches Beispiel: Aufgabe aus Klausur Herbst. Verwendete VF: VF- Herbst. j= j=
1 2 x x x x x x2 + 83
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