Kapitel 19 Partialbruchzerlegung

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1 Kapitel 19 Partialbruchzerlegung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 15

2 Zur Erinnerung wiederholen wir Definition 4.5 [part] Es sei n N 0 und a 0, a 1,..., a n R mit a n 0. Dann heißt die Funktion p : R R mit p(x) = n a k x k = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 k=0 ein Polynom. Die Zahl grad(p) := n heißt der Grad, die a j heißen die Koeffizienten und speziell a n der Leitkoeffizient von p. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 15

3 Ebenso rufen wir noch einmal den Fundamentalsatz der Algebra in Erinnerung. Satz 4.8 Jedes Polynom n-ten Grades hat eine Faktorisierung der Form p(x) = a n (x x 1 ) k1 (x x r ) kr (x 2 + α 1 x + β 1 ) m1 (x 2 + α s x + β s ) ms mit r s k j + 2 m i = n. j=1 i=1 Beachte: Die quadratischen Polynome haben keine Nullstellen, dh. die Diskriminanten D j = α 2 j 4β j sind negativ! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 15

4 Definition 19.1 (Polynomdivision) Ist f(x) = p(x) q(x) eine rationale Funktion (dh. p und q sind Polynome), dann hat f eine Darstellung f(x) = p 1 (x) + r(x) q(x) mit Polynomen p 1, r derart, dass grad(r) < grad(q) und grad(p 1 ) = grad(p) grad(q). Beispiele: x 3 1 x = x x + 1 x x x 2 x + 1 = x2 + x + 1 x x 2 x + 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 15

5 Satz 19.2 (Partialbruchzerlegung) Sei f(x) = p(x) eine rationale Funktion mit grad(p) < grad(q). Dann q(x) gibt es eine Darstellung f(x) = A 11 x x 1 + A 12 (x x 1 ) A 1k 1 (x x 1 ) k 1 + A 21 x x 2 + A 22 (x x 2 ) A 2k 2 (x x 2 ) k B 11x + C 11 x 2 + α 1 x + β B 1m 1 x + C 1m1 (x 2 + α 1 x + β 1 ) m 1 + B 21x + C 21 x B 2m 2 x + C 2m2 + α 2 x + β 2 (x 2 + α 2 x + β 2 ) m Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / 15

6 In Satz 19.2 sind die (x x i ) und die (x 2 + α j x + β j ) die Faktoren aus der Zerlegung von q gemäß Satz 4.8 und k i und m j sind ihre jeweiligen Vielfachheiten (für 1 i r und 1 j s). Der Aufbau der Summe auf der rechten Seite ist wie folgt: 1 Eine einfache Nullstelle a liefert einen Summanden mit Nenner (x a). 2 Eine k-fache Nullstelle a liefert k Summanden mit den Nennern (x a),..., (x a) k. 3 Ein einfacher quadratischer Term (x 2 + αx + β) liefert einen Summanden mit dem Nenner (x 2 + αx + β) und dem Zähler Ax + B. 4 Ein m-facher quadratischer Term (x 2 + αx + β) liefert m Summanden mit den Nennern (x 2 + αx + β),..., (x 2 + αx + β) m und Zählern wie in 3. Kontrolle: Hat q den Grad n, so müssen auf der rechten Seite genau n Parameter stehen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 15

7 Verfahren zur Berechnung der Parameter: 1. Der Ansatz wird mit dem Hauptnenner multipliziert (also mit q). 2. Die Koeffizienten ermittelt man nun (z.b.) durch Koeffizientenvergleich (mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems - Kapitel 18). Zu Punkt 2.: Indem man nacheinander die Nullstellen von q einsetzt, lassen sich einige Parameter direkt bestimmen, nämlich die A iki für i = 1,... r. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 15

8 Nun können wir alle rationalen Funktionen f = p q integrieren. Wir dividieren zuerst gemäß 19.1 und erhalten f = p 1 + r q. Den zweiten Summanden zerlegen wir dann weiter mit Integrieren wir nun alle Summanden einzeln, dann sind wir fertig. Dabei macht p 1 als Polynom kein Problem und den Rest erledigt der folgende Satz. Satz 19.3 (Integrale der Partialbrüche) 1. = ln x a + c x a 2. (x a) n+1 = 1 + c für n > 0. n(x a) n Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 15

9 Satz 19.3 [cont.] x 2 + αx + β = 2 arctan D (x 2 + αx + β) n+1 = 2x + α ( 2x + α D ) + c nd(x 2 + αx + β) n 2(2n 1) nd wobei 3. und 4. für D = α 2 4β < 0 gelten. (x 2 + αx + β) n. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 15

10 Bemerkung zu Satz 19.3: Außer 3. und 4. brauchen wir keine weiteren Integrale, denn es ist Bx + C (x 2 + αx + β) n = B 2 2x + α 2C Bα (x αx + β) n 2 1 (x 2 + αx + β) n. Der zweite Summand ist nun vom Typ aus Satz 19.3 und der erste Summand lässt sich direkt integrieren: Ist n = 1, dann ist das Integral des ersten Summanden B 2 ln(x2 + αx + β), und ist n > 1, dann B 2(n 1) 1 (x 2 + αx + β) n 1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 10 / 15

11 Beispiel: Wir integrieren f(x) = x 3 2x 2 + 4x 2 x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 1. Setzen wir x 0 = 1 in das Nennerpolynom ein, so sehen wir, dass es sich um eine Nullstelle handelt. Polynomdivision ergibt (x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 1) : (x 1) = x 3 x 2 + x 1. Das Restpolynom hat ebenfalls die Nullstelle x 0 = 1 und eine weitere Polynomdivision liefert (x 3 x 2 + x 1) : (x 1) = x Hier hat der quadratische Rest keine weitere Nullstelle. Ingesamt liefert das für den Nenner die Zerlegung x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 1 = (x 1) 2 (x 2 + 1). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 11 / 15

12 Die Partialbruchzerlegung von f(x) = x3 2x 2 + 4x 2 (x 1) 2 (x 2 erfolgt also mit + 1) folgendem Ansatz x 3 2x 2 + 4x 2 (x 1) 2 (x 2 + 1) = A x 1 + B (x 1) 2 + Cx + D x Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner liefert das x 3 2x 2 + 4x 2 = A(x 1)(x 2 + 1) + B(x 2 + 1) + (Cx + D)(x 1) 2. Da kann man nun die (einzige) Nullstelle einsetzen und erhält 1 = 2B oder B = 1 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 12 / 15

13 Das setzten wir ein und erhalten x 3 2x 2 + 4x 1 2 (x2 + 1) = A(x 3 x 2 + x 1) + (Cx + D)(x 2 2x + 1). Ein wenig Umsortieren liefert x x2 + 4x 5 2 = x3 (A + C) + x 2 (D A 2C) + x(a + C 2D) + (D A). Der Koeffizientenvergleich liefert nun das folgende lineare Gleichungssystem für A, C und D. A +C = 1 A 2C +D = 5 2 A +C 2D = 4 A +D = 5 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 15

14 In der kompakten Form ist das A C D Umformung mit Hilfe des Gauß-Algorithmus oder nach A C D Daraus lesen wir nun die zusätzlichen Koeffizienten ab: A = 1, C = 0 und D = 3 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 14 / 15

15 Wir haben nun schließlich f(x) = 1 x (x 1) x Die Integration erfolgt nun summandenweise und liefert f(x) = x (x 1) x = ln x 1 1 2(x 1) 3 2 arctan x + c Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 15 / 15