Lehrbuch der Algebra

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1 Gerd Fischer Lehrbuch der Algebra Mit lebendigen Beispielen, ausfuhrlichen Erlauterungen und zahlreichen Bildern Unter Mitarbeit von Florian Quiring und Reinhard Sacher vieweg

2 Inhaltsverzeichnis Gruppen 1 1 Halbgruppen, Gruppen und Untergruppen Innere Verkniipfungen und Halbgruppen Beispiele Definition einer Gruppe Abschwachung der Gruppenaxiome Translationen und Kiirzungsregeln Definition einer Untergruppe Erzeugung von Untergruppen Untergruppen von Z, Kongruenzen und Restklassen Beispiele 11 2 Homomorphismen und Normalteiler Definition eines Homomorphismus Beispiele Nebenklassen Ordnung und Index Beispiele Definition eines Normalteilers Homomorphismen und Normalteiler Faktorgruppen Beispiele 35 3 Isomorphiesatze und Produkte von Gruppen Isomorphiesatze Aufeeres direktes Produkt Inneres direktes Produkt Aufeeres semidirektes Produkt* Inneres semidirektes Produkt* Beispiele* Zyklische Gruppen Teilbarkeit ganzer Zahlen Produkte zyklischer Gruppen Untergruppen zyklischer Gruppen Die Eulersche ^-Funktion Primrestklassengruppen 62

3 INHALTSVERZEICHNIS IX 3.13 Der euklidische Algorithmus Beispiele 65 4 Operationen von Gruppen auf Mengen Definition einer Operation Beispiele und Satz von CAYLEY Bahnenraum und Standgruppe Die Klassengleichung Zyklenzerlegung einer Permutation Beispiele 77 5 Symmetriegruppen* Regelmafiige n-ecke und die Diedergruppe Endliche Untergruppen von 0(2) Symmetrien des Tetraeders Symmetrien von Wiirfel und Oktaeder Symmetrien von Ikosaeder und Dodekaeder Die Klassengleichung der Ikosaedergruppe Endliche Untergruppen von SO (3) Symmetrien von Fuftballen 97 6 Struktursatze* Summen zyklischer Gruppen Zahlung von zyklischen Summanden Primarzerlegung Zerlegung von endlichen abelschen p-gruppen Elementarteiler Beispiele Torsionsuntergruppen Ill 6.8 Freie abelsche Gruppen Endlich erzeugte abelsche Gruppen Beispiele Satz von CAUCHY und p-gruppen Die Siitze von SYLOW Beispiele Einfache und auflosbare Gruppen* Einfache Gruppen Kommutatorgruppen Beispiele Auflosbare Gruppen Auflosbarkeit von p-gruppen Beispiele 140 II Ringe Grundbegriffe Definition eines Rings Einheiten, Korper, Unterringe Ringhomomorphismen Beispiele 145

4 INHALTSVERZEICHNIS 1.5 Polynomringe Grad eines Polynoms Division mit Rest Nullstellen und Werte von Polynomen Einheitswurzeln in C Polynome in mehreren Veranderlichen * Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Korpers Einbettung einer Halbgruppe in eine Gruppe Quotientenkorper Beispiele Ideale und Restklassenringe Definition von Idealen Ideale und Einheiten Restklassenringe Isomorphiesatze Beispiele Hauptidealringe und noethersche Ringe Euklidische Ringe Beispiele Der Hilbertsche Basissatz* Operationen mit Idealen* Der Chinesische Restesatz* Beispiele* Primideale und maximale Ideale Beispiele Existenz maximaler Ideale und das Lemma von ZORN* Teilbarkeit in Integritatsringen Teiler und assoziierte Elemente Irreduzible Elemente und Primelemente Teilerketten Primzahlen Faktorielle Ringe Gemeinsame Teiler und Vielfache Polynomringe iiber faktoriellen Ringen Irreduzibilitatskriterien fur Polynome Beispiele Ringe holomorpher Funktionen* Quadratische Zahlkorper* Quadratische Zahlringe* Einheiten in quadratischen Zahlringen* Euklidische quadratische Zahlringe* Faktorzerlegung in quadratischen Zahlringen* Ideale als ideale Zahlen* 238

5 INHALTSVERZEICHNIS XI III Korpererweiterungen Grundbegriffe Charakteristik und Primkorper Grad einer Korpererweiterung Adjunktion von Elementen Algebraische und transzendente Elemente Das Minimalpolynom Beispiele Algebraische Korpererweiterungen Algebraisch abgeschlossene Korper Konstruktion von Korpererweiterungen Symbolische Adjunktion von Nullstellen Fortsetzung von Korperisomorphismen Zerfallungskorper eines Polynoms Beispiele Der algebraische Abschluss* Einfache und mehrfache Nullstellen Vielfachheit von Nullstellen und formale Ableitung Separabilitat Der Frobenius-Homomorphismus Endliche Korper Beispiele Algebraischer Abschluss eines endlichen Korpers Der Satz vom primitiven Element Beispiele Resultanten* Diskriminanten* Beispiele* Galois-Erweiterungen Symmetrische Polynome Relative Automorphismen und Fixkorper Gruppenordnung und Korpergrad Galois-Erweiterungen Der Hauptsatz der Galois-Theorie Beispiele Der Fundamentalsatz der Algebra* Diskriminante und Galois-Gruppe* Galois-Theorie endlicher Korper* Losung von Polynomgleichungen * Quadratische Gleichungen Kubische Gleichungen Beispiele Gleichungen vierten Grades Beispiele Kreisteilung in Charakteristik Null Kreisteilung in Charakteristik p>0 346

6 XII INHALTSVERZEICHNIS 5.8 Reine Polynome Zyklische Erweiterungen Losbarkeit von Polynomgleichungen Die allgemeine Polynomgleichung Gleichungen fiinften Grades und das Ikosaeder Darstellung von Einheitswurzeln Beispiele Das Umkehrproblem der Galois-Theorie Geometrische Konstruktionen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Der Korper der konstruierbaren Punkte Struktur des Korpers der konstruierbaren Punkte Unlosbarkeit klassischer Konstruktionsaufgaben Konstruktion von regelma igen n-ecken* Andere Regeln fur Konstruktionsverfahren 386 Anhang Platonische Korper 387 Literaturverzeichnis 393 Index 396 Symbolverzeichnis 403