Nachklausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung AI 2
|
|
- Reinhardt Frank
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1 Nachklausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung AI 2 SS 2015, Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 21 Aufgaben. Es sind maximal 131 Punkte ( ) zu erreichen. Teilnehmer des Studienganges Medizinische Informatik bearbeiten ausschlieÿlich den Analysisteil (Aufgaben 1-14) Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt. Sie werden zeitlich nicht alle Aufgaben bearbeiten können. Konzentrieren Sie sich deshalb auf diejenigen Aufgaben, die Ihnen liegen. Markieren Sie bitte die Aufgaben, die Sie bearbeitet haben. Aufgabe Punkte Aufgabe Punkte
2 2 1. Teil Analysis Basics Aufgabe 1: (5 Punkte) Frage (oen zu beantworten): auf dem Rechner lassen sich nur rationale Zahlen darstellen (und auch nur sehr wenige), warum ist es trotzdem für den Informatiker wichtig, sich mit den irrationalen Zahlen und ihren Eigenschaften auseinanderzusetzen? Aufgabe 2: (4 Punkte) Seien a, b positive reelle Zahlen. Das arithmetische Mittel dieser Zahlen ist deniert durch (a + b)/2, das geometrische durch a b. Zeigen Sie, dass das geometrische Mittel stets kleiner gleich dem arithmentischen Mittel ist. Wann ist das geometrische Mittel genau gleich dem arithmetischen Mittel? Unendliche Folgen Aufgabe 3: (4 Punkte) Richtig oder falsch: Eine monotone Folge ist entweder unbeschränkt oder sie konvergiert und eine andere Alternative gibt es nicht. Gewertet werden nur Antworten mit einer korrekten Begründung. Aufgabe 4: (13 Punkte) Wie lautet die Bernoullische Ungleichung? Beweisen Sie mit Hilfe der Bernoullische Ungleichung, dass die Folge (a n ) mit a n = x n mit x > 1 nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass (a n ) monoton wachsend ist (für x > 1). Zeigen Sie damit, dass (1/a n ) monoton fallend ist. Begründen Sie, dass (1/a n ) beschränkt ist. Was können Sie nun folgern? Warum muss (1/a n ) notwendig eine Nullfolge sein? Können Sie auch ohne Umweg direkt zeigen, dass (a n ) mit a n = x n mit 0 < x < 1 gegen 0 konvergiert?
3 3 Aufgabe 5: (3 Punkte) Wie Sie bereits wissen (hopefully, aber jetzt kriegen Sie es ja wieder gesagt) konvergiert (1 + 1/n) n für wachsendes n gegen e. Frage: Gegen welche Zahl konvergiert die Folge (1 + x/n) n für beliebiges x? Aufgabe 6: (8 Punkte) Konvergieren die folgenden Folgen? Und wenn ja, gegen welche Grenzwerte? a) a n = n/(n + 1) b) a n = (n 2 1)/(n 3 + 3n). ( ) n n + 1 c) a n = n + 2 ( (Hinweis zu c): n+1 n+2 = Muster zu erkennen.) n+2 n+1 ) 1 = ( n+1) 1 und versuchen Sie ein bekanntes Aufgabe 7: (3 Punkte) Betrachten Sie eine Folge (a n ) endlicher Dezimalbrüche, bei der jeweils am Ende eine Dezimalzier angefügt wird. Also a 1 = a, d 1 a 2 = a, d 1 d 2 a 3 = a, d 1 d 2 d 3 Warum konvergiert jede solche Folge? Unendliche Reihen Aufgabe 8: (8 Punkte) Die sog. PartitionsFunktion eines linearen Oszillators in der Physik ergibt sich zu Q = e ħω(n+1/2)/kt. n=0 Wir brauchen hier nur zu wissen, dass ħ, ω, k, T für uns positive konstante reelle Zahlen sind. Aufgabe: Berechnen Sie den Grenzwert der unendlichen Reihe, d.h. berechnen Sie Q. Hinweis: Erkennen Sie in Q das Muster einer bekannten konvergenten Reihe, die Sie aus Q nach Ausklammern des gemeinsamen Faktors e ħω/2kt aus den einzelnen Summanden extrahieren können. (Wenden Sie also die Regeln der Bruchrechnung und Potenzrechnung an.)
4 4 Aufgabe 9: (7 Punkte) Analysieren Sie die Konvergenz oder Divergenz der folgenden Reihen: a) n=0 n2 2 n b) n=0 c) n=0 1 (a > 0) 1 + a n e n n! Aufgabe 10: (6 Punkte) Berechnen Sie die Taylorentwicklung der Funktion x(1 + e x ) um den Nullpunkt bis zur 3. Näherung. Grenzwerte Aufgabe 11: (5 Punkte) Existiert der Limes 1 cos x lim? x 0 x Begründen Sie Ihre Antwort. (Es gibt mehrere unterschiedliche gute Begründungen.)
5 5 Dierential- und Integralrechnung Aufgabe 12: (6 Punkte) Zeigen Sie mit dem Mittelwertsatz der Dierenzialrechnung, dass die Exponentialfunktion exp(x) eine streng monoton wachsende Funktion ist. Aufgabe 13: (11 Punkte) Bilden Sie die Ableitung folgender Funktionen: a) f(x) = x 8 + 5x 3 6 b) f(x) = x x + 1 c) f(x) = x 7 d) f(x) = sin(x) cos 2 (x) e) f(x) = sin(x) cos 2 (x) Aufgabe 14: (8 Punkte) Bilden Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen: a) cos(x)dx b) x 3 + 2x 2 x + 8dx x c) x 2 a dx cos x d) sin x dx e) x log(x)dx (Nicht nur das Ergebnis aus der Formelsammlung ist hier gefragt, sondern die Herleitung ;-), notfalls also die Ableitung des Ergebnisses.)
6 6 2. Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Ereignisse Aufgabe 15: (3 Punkte) Wie wahrscheinlich wäre ein 6-er im Lotto, wenn auch die Reihenfolge der gezogenen Zahlen berücksichtigt würde? Aufgabe 16: (7 Punkte) Es seien 20 Personen in einem Raum. Wie wahrscheinlich ist es, dass (mindestens) 2 unter ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben? Können Sie eine allgemeine Formel für den Fall angeben, dass wir es mit n Personen zu tun haben? Was passiert für n? Aufgabe 17: (4 Punkte) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Würfeln mit 3 Würfeln mehr als 12 Augen erhält? Aufgabe 18 (7 Punkte) Um mediale Begabungen herauszunden, stellt eine okultistische Gesellschaft einer Versammlung von 500 Menschen die Aufgabe, das Ergebnis eines Versuches zu erraten. Hinter einem Wandschirm wird eine Münze 10mal geworfen. Das Versuchsergebnis (die Reigenfolge von Kopf oder Zahl) soll von den Zuschauern geraten werden. Als medial begabt gilt, wer höchstens eines Fehler in der Vorhersage macht. Was ist von diesem parapsychologischen Versuch zu halten? Hinweis: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zuschauer weniger als 9 Richtige hat und dann berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle weniger als 9 Richtige haben. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass mindestens einer mindestens 9 Richtige hat also höchstens einen Fehler in der Vorhersage gemacht hat?
7 7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 19: (3 Punkte) Herr X habe drei Kinder. Es ist bekannt, dass eins ein Junge ist. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kinder Jungen sind? Aufgabe 20: (8 Punkte) Gegeben seien 3 Urnen: Die erste Urne enthält 5 rote und 6 weiÿe Kugeln. Die zweite Urne enthält 3 rote und 1 weiÿe Kugel. Die dritte Urne enthält 2 rote und 4 weiÿe Kugeln. Aus einer zufällig ausgewählten Urne wird eine Kugel zufällig gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel aus der ersten Urne gezogen wurde, wenn sie rot ist? Hinweis: Benutzen Sie die Bayessche Formel. Statistische Analysen Aufgabe 21: (8 Punkte) Es ist nicht ungewöhnlich, dass beim Werfen mit 10 Münzen 3mal Kopf und 7mal Zahl fällt. Herr X schlieÿt daraus, dass es also auch nicht ungewöhnlich sein dürfe, wenn beim Werfen mit Münzen 3000mal Kopf und 7000mal Zahl falle. Schlieÿlich verhalte sich 3:10 wie 3000: Was sagen Sie dazu? Hinweis: Argumentieren Sie in beiden Fällen mit der jeweiligen Streuung vom Mittelwert (berechnen Sie diese).
Klausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung AI 2
1 Klausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung AI 2 WS 2014/15, 21.01.2015 Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 23 Aufgaben. Es sind maximal 200 Punkte
MehrKlausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Klausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung WS 016/17, 5.01.017 Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 3 Aufgaben. Es sind maximal 00 Punkte 11 +
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 015): Differential und Integralrechnung 1 1.1 (Frühjahr 00, Thema 3, Aufgabe ) Formulieren Sie das Prinzip der vollständigen Induktion und beweisen
MehrVorname Nachname Matrikelnummer Tutor Uhrzeit
. Arbeitsblatt Analysis SS.. 3. Vorname Nachname Matrikelnummer Tutor Uhrzeit Aufgabe 3 4 5 6 7 8 9 Code Punkte Adµ Universität Stuttgart Fakultät Mathematik und Physik Institut für Analysis, Dynamik und
MehrWiederholungsklausur zur Analysis I
Wiederholungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 5. Oktober 2011 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
Mehr1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen
1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09
MehrKlausur Analysis für Informatiker Musterlösung
Prof. Dr. Torsten Wedhorn WS 9/ Dr. Ralf Kasprowitz Elena Fink Klausur Analysis für Informatiker Musterlösung 9.2.2 Name, Vorname Studienfach Matrikelnummer Semester Übungsgruppe Zugelassene Hilfsmittel:
MehrAnalysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur
Prof. Dr. Peter Otte Wintersemester 213/14 Tom Bachmann, Sebastian Gottwald 14.3.214 Analysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur Lösungsvorschlag Name:.......................................................
MehrAufgabe 1. Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an.
Analysis I, WiSe 2013/14, 04.02.2014 (Iske), Version A 1 Aufgabe 1. Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an. a) Welche der folgenden Aussagen über Folgen sind sinnvoll und
MehrZulassungsprüfung in Mathematik
der Deutschen Aktuarvereinigung e V Hinweise: Als Hilfsmittel sind ein Taschenrechner, eine mathematische Formelsammlung sowie entsprechende Literatur zugelassen Die Gesamtpunktzahl beträgt 9 Punkte Die
MehrÜbungen Analysis I WS 03/04
Blatt Abgabe: Mittwoch, 29.0.03 Aufgabe : Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n ( ) n (x + y) n = x i y n i, i (b) n ν 2 = ν= i=0 n(n + )(2n + ), 6 (c) 2 3n ist durch 7 teilbar. Aufgabe
MehrTeil I Auswahlfragen
UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Grundlagen der Analysis Sommersemester 010 Klausur vom 07.09.010 Teil I Auswahlfragen Name: Hinweise: Bei den folgenden Auswahlfragen
MehrMathematisches Institut der Universität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorsten Heidersdorf. Probeklausur
Mathematisches Institut der Universität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorsten Heidersdorf Probeklausur Diese Probeklausur soll a) als Test für euch selber dienen, b) die Vorbereitung auf die Klausur
MehrLösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)
Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur
MehrFerienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrAufgabensammlung zur Analysis 1
Analysis 1 18.12.2017 Prof. Dr. H. Koch Dr. F. Gmeineder Abgabe: Keine Abgabe. Aufgabensammlung zur Analysis 1 Anmerkungen: Das vorliegende Blatt enthält eine Auswahl von Aufgaben, die auf Klausuren zur
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 1
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie. Frage Welche der Aussagen sind richtig? Eine divergente Folge ist nicht beschränkt. Falsch. Z.B. ist {( ) n } n N beschränkt und divergent.
MehrÜbungsklausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning WS /3 6..3 Übungsklausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Aufgabe ((3++5) Punkte)
MehrHöhere Mathematik II. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 01 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter Vorder- und Rückseite
MehrMisterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C)
Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 14..009 (Version C Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen aus der Vorlesung
MehrKlausur zur Analysis I WS 01/02
Klausur zur Analysis I WS 0/0 Prof. Dr. E. Kuwert. Februar 00 Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie unter a) und b) jeweils die Ableitung von f für x (0, ): a) f(x) = e sin x b) f(x) = x α log x a) f (x) =
Mehr3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung
Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut
MehrLösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1.
Lösungen Klausur Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass n k k (n + ) n k für alle n N. IA: Für n ist k kk 2 2. IV: Es gilt n k kk (n + ) n für ein n N. IS: Wir haben n+ k k k n k k + (n + ) n+ k IV (n + )
Mehr4. Folgen und Grenzwerte 4.2 Grenzwertsätze für Folgen
4. Folgen und Grenzwerte 4.2 Grenzwertsätze für Folgen Rechenregeln für konvergente Folgen Satz 4.11 Die Folgen (a n ) und (b n ) seien konvergent mit dem Grenzwert a bzw. b. Dann gilt: 1 lim (a n + b
MehrHöhere Mathematik II. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof Dr E Triesch Höhere Mathematik II SoSe 5 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite
MehrKlausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning WS /3 4.3.3 Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Aufgabe ((4+3+3 Punkte a Welche
MehrLS Informatik 4 & Folgen und Reihen. Buchholz / Rudolph: MafI 2 38
3. Folgen und Reihen Buchholz / Rudolph: MafI 2 38 Kapitelgliederung 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung
MehrHöhere Mathematik für Physiker II
Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei
MehrKapitel 3: Folgen und Reihen
Kapitel 3: und Reihen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 1 / 29 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen und elementare
MehrKlausur zur Vorlesung Analysis I für Lehramtskandidaten. (Sommersemester 2008) Dr. C. Lange, J. Schütz
Klausur zur Vorlesung Analysis I für Lehramtskandidaten (Sommersemester 008) Dr. C. Lange, J. Schütz Beginn: 17. Juli 008, 10:00 Uhr Ende: 17. Juli 008, 11:30 Uhr Name: Matrikelnummer: Ich studiere: Bachelor
MehrSelbsteinschätzungstest
D-MATH ETHZ-Semesterbeginn HS 0 Selbsteinschätzungstest Dieser Test bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre mathematischen Schulkenntnisse abzurufen und zu überprüfen. Die Teilnahme ist freiwillig. Bei jeder
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 22 3. Funktionen. Grenzwerte.
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.
Mehrx k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert
4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010
Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am 5. Mai 2 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen
MehrÜbungen zu Einführung in die Analysis
Übungen zu Einführung in die Analysis (Nach einer Zusammengestellung von Günther Hörmann) Sommersemester 2011 Vor den folgenden Aufgaben werden in den ersten Wochen der Übungen noch jene zur Einführung
Mehr1 Folgen und Stetigkeit
1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
MehrMathematik IT 3 (Analysis) Probeklausur
Mathematik IT (Analysis) Probeklausur Datum: 08..0, Zeit: :5 5:5 Name: Matrikelnummer: Vorname: Geburtsdatum: Studiengang: Aufgabe Nr. 5 Σ Punkte Soll 5 9 7 Punkte Ist Lösungen ohne begründeten Lösungsweg
MehrLösungen 4.Übungsblatt
Karlsruher Institut für Technology (KIT) WS 2011/2012 Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel Lösungen 4.Übungsblatt Aufgabe 13 (K) Bestimmen Sie sämtliche Häufungswerte
MehrSelbsteinschätzungstest
D-MATH ETHZ-Semesterbeginn HS 05 Selbsteinschätzungstest Dieser Test bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre mathematischen Schulkenntnisse abzurufen und zu überprüfen. Die Teilnahme ist freiwillig. Bei jeder
Mehr11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)
MehrHöhere Mathematik II. Variante C
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 01 Variante C Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter Vorder- und Rückseite
MehrNachklausur zur Analysis 1, WiSe 2016/17
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 04.04.7 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof. N. V. Shcherbina Dr. T. P. Pawlaschyk www.kana.uni-wuppertal.de Nachklausur zur Analysis, WiSe 06/7 Aufgabe
MehrRechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.
Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )
MehrMan schreibt dann lim. = bzw. lim
Die Funktion f : R R geht für x nach (bzw. ), fallses für allem R + ein t(ε) R + gibt, so dass gilt ist x > t(ε), dann folgt f(x) > M bzw. ist x > t(ε), dann folgt f(x) < M. Man schreibt dann lim x = bzw.
MehrWiederholungsklausur zur Analysis I
Wiederholungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 5. Oktober 2011 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
MehrKlausur zu Mathematische Grundlagen BachelorStudiengänge der Informatik
Klausur zu Mathematische Grundlagen BachelorStudiengänge der Informatik SS 2016, 16.07.2016 Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 23 Aufgaben. Es sind maximal
MehrUniversität Stuttgart Fakultät Mathematik und Physik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung. Lösungen zur Probeklausur 2.
Adµ Universität Stuttgart Fakultät Mathematik und Physik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung Blatt Probeklausur 2 Lösungen zur Probeklausur 2 Aufgabe 1 1. Formulieren Sie den Satz von Taylor
MehrBrückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
Mehrist streng monoton fallend.
Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.
MehrAnalysis I. 6. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 6. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Eine Relation zwischen den Mengen X und Y.
MehrDem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff
47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,
MehrKlausur zur Vorlesung Stochastik II
Institut für Mathematische Stochastik WS 24/25 Universität Karlsruhe 7. März 25 Priv-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur zur Vorlesung Stochastik II Dauer: 9 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer: Diese Klausur
Mehr1. Probeklausur Analysis 1 WS 2004 / 2005
1. Probeklausur Analysis 1 WS 2004 / 2005 Es gibt 13 Aufgaben auf 2 Blättern. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand. Die Maximalpunktzahl ist 50. Die Bearbeitungszeit beträgt 40 Minuten. Bei Wahr
MehrNachklausur Analysis I
SS 008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Nachklausur Analysis I 07.0.008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
MehrFolgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
Mehre x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1
Aufgabe a Hier kann man die Regel von de l Hospital zweimal anwenden (jeweils und die Ableitung des Nenners ist für hinreichend große x ungleich. Dies führt auf e x e x e x + e x e x + e x e x e x e x
MehrJede beschränkte und monotone Folge (a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass lim
Beispiel 3.10 ( 1) n n a n a+nd aq n 1 (a > 0) n monoton steigend d 0 q 1 nein nein streng monoton steigend d > 0 q > 1 nein nein monoton fallend d 0 0 q 1 streng monoton fallend d < 0 0 < q < 1 ja nein
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der
Mehr= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.
2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien
MehrModulprüfung Hm 1 & Hm 2
Seite von 9 Modulprüfung Hm & Hm Hinweise: - Es gibt 9 Aufgaben. Die jeweilige Punktzahl ist angegeben. - Die Maximalpunktzahl ist 56. Zum Bestehen der Klausur sind 4 Punkte hinreichend. - Die Bearbeitungszeit
MehrKapitel 3. Reihen und ihre Konvergenz
Kapitel 3 Reihen und ihre Konvergenz Abschnitt 3.1 Der Reihenbegri und erste Beispiele Denitionen zu Reihen, 1 Denition. Sei (a n ) n N0 eine Folge reeller Zahlen. Für n N 0 heiÿt dann die Zahl s n :=
MehrKlausur zur Analysis I
Klausur zur Analysis I Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 8. August 2011 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten haben.
MehrReihen, Exponentialfunktion Vorlesung
Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Marcus Jung 5.03.20 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Reihen 3. Denition.................................... 3.2 Konvergenzkriterien für Reihen........................
MehrKAPITEL 2. Folgen und Reihen
KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).
MehrPrüfungsfragen zur Theorie
Prüfungsfragen zur Theorie Formulieren Sie die Monotoniegesetze (Rechenregeln für Ungleichungen)! Satz: Für alle a,b,c,d gilt: a b und c.d a+c b+d Satz: Für alle a,b,c,d + o gilt: a b und c d ac bd 1 Satz:
MehrMathematik I HM I A. SoSe Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Mathematik I SoSe 08 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten
MehrAnalysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik
MehrVorlesung Analysis I WS 07/08
Vorlesung Analysis I WS 07/08 Erich Ossa Vorläufige Version 07/12/04 Ausdruck 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Elementare Logik.................................. 1 1.1.A Aussagenlogik................................
MehrKonvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,
MehrDas Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
MehrLösungen zu Aufgabenblatt 10P
Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 05 9. Juni 05 Lösungen zu Aufgabenblatt 0P Aufgabe (Funktionsgrenzwerte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: cos(x) x cos( x )
MehrTechnische Universität Berlin. Klausur Analysis I
SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
MehrD-MAVT, D-MATL Analysis I HS 14. Serie 2
D-MAVT, D-MATL Analysis I HS 4 Prof Dr Paul Biran Nicolas Herzog Serie Abgabetermin der schriftlichen Aufgaben: Freitag, 4 in der Übungsstunde Ein Gast trinkt jeden Tag zwei Drittel einer -Liter-Weinflasche
MehrAnalysis I. 3. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 3. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine Abbildung F von einer Menge L in eine
MehrLösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden
Mehra 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.
7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der
MehrMathematik 1 für Bauingenieurwesen
Mathematik 1 für Bauingenieurwesen Name (bitte ausfüllen): Prüfung am 5.5.2017 Reinhard Winkler Matrikelnummer (bitte ausfüllen): Wichtige Hinweise bevor Sie beginnen: Die Prüfung besteht aus vier Aufgaben
MehrNachklausur Analysis 1 WS 2007 /
Nachklausur Analysis 1 WS 27 / 28 18.4.28 Es gibt 11 Aufgaben. Die jeweilige Punktzahl steht am linken Rand. Die Gesamtpunktzahl ist 4 Punkte. Zum Bestehen der Klausur sind 16 Punkte erforderlich. Bei
MehrReihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543 Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung:
MehrFolgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium
Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen
MehrProf. Dr. Stefan Luckhaus WS 2013/14. Übungsserie 1. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Prof. Dr. Stefan Luckhaus WS 203/4 Übungsserie Aufgabe. Seien f : R R, g : R R Funktionen, die wie folgt definiert sind: fx) =, gx) = x +. + x2 Stellen Sie die Funktionen als Quotienten von Polynomen dar.
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 20/2 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 / 20 2. Reihen R. Steuding (HS-RM) NumAna
MehrAnalysis 1 Erste Modulprüfung Ws 2017/8 4. April 2018
Analysis Erste Modulrüfung Ws 207/8 4. Aril 208 Es gibt 8 Aufgaben. Die jeweilige Punktzahl steht am linken Rand. Die Maximalunktzahl ist 36, zum Bestehen sind 4 Punkte hinreichend. Die Bearbeitungszeit
MehrFolgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014
Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen
Mehr3.2 Konvergenzkriterien für reelle Folgen
3.2 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Definition: Eine reelle Folge a n ) n N heißt monoton wachsend : n < m : a n a m streng monoton wachsend : n < m : a n < a m nach oben beschränkt : C R : n : a
MehrLösungsvorschlag Klausur MA9801
Lehrstuhl für Numerische Mathematik Garching, den 03.08.2012 Prof. Dr. Herbert Egger Dr. Matthias Schlottbom Lösungsvorschlag Klausur MA9801 Aufgabe 1 [4 Punkte] Seien M, N Mengen und f : M N eine Abbildung.
MehrKlausur. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Klausur Mathematik für Informatiker und Softwaretechniker
Apl. Prof. Dr. W.-P. Düll Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Klausur für Studierende der Fachrichtungen inf, swt Bitte unbedingt beachten: Bitte beschriften Sie jeden Ihrer Zettel mit Namen und
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 2013 Doz.: Gündel-vom Hofe, Hömberg, Ortgiese Ass.
Technische Uniersität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 Doz.: Gündel-om Hofe, Hömberg, Ortgiese 5.7.3 Ass.: Böttle, Meiner Juli Klausur Analysis I für Ingenieure Name:... Vorname:... Matr.
MehrKlausur Mathematik I
Klausur Mathematik I (E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). September 7 (Hans-Georg Rück) Aufgabe (6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft Re(z) = und (z
Mehrkonvergent falls eine allgemeine ("gutmütige") Funktion. Frage: kann man sie in der darstellen mittels einer Potenzreihe in
C5 Funktionen: Taylorreihen & Fourieranalysis C5.1 Taylorreihen Brook Taylor (1685-1731) (Analysis-Vorlesung: Konvergenz von Reihen und Folgen) Grundlegende Frage: Wann / unter welchen Voraussetzungen
MehrVorkurs Mathematik. Übungen Teil IV
Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form
MehrPolynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen
Polynomiale Approximation und Taylor-Reihen Heute gehts um die Approximation von glatten (d.h. beliebig oft differenzierbaren) Funktionen f nicht nur durch Gerade (sprich Polynome vom Grade 1) und Polynome
MehrD-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu. MC-Fragen Serie 1. Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr
D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu MC-Fragen Serie 1 Einsendeschluss: Freitag, der 26.09.2014 12:00 Uhr 1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Eine divergente Folge ist nicht beschränkt.
MehrApril (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten
Mehr