Übungen zur Physik der Materie 1 Blatt 10 - Atomphysik

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1 Übungen zur Physik der Materie 1 Blatt 10 - Atomphysik Sommersemester 018 Vorlesung: Boris Bergues ausgegeben am Übung: Nils Haag (Nils.Haag@lmu.de) besprochen am Hinweis: Dieses Übungsblatt wird während der zweiten Hälfte der Vorlesung am Mittwoch, den 0. Juni besprochen. Aufgabe 5: Der Spin a) Welche Werte kann die z-komponente des Spins des Elektrons annehmen? b) Welchen Betrag hat der Wert des Eigendrehimpulses des Elektrons? c) Wie heißt der Faktor, der die unterschiedliche Kopplung von Bahndrehimpuls und Spin an ein Magnetfeld beschreibt. Welchen Wert hat er und welche Art von Drehimpuls koppelt stärker? d) Die Kopplung welcher beiden Größen führt zur Feinstrukturaufspaltung? Erklären Sie die Entstehung dieser Aufspaltung und geben Sie an, in wieviele Niveaus hierdurch jedes Orbital aufspaltet. e) Mit welchem Experiment wurde erstmals der Spin des Elektrons nachgewiesen? Erklären sie kurz die Hauptmerkmale und -ergebnisse des Experiments. Sie müssen den Detektionsprozess der Teilchen hierbei nicht erklären. f) Durch welche Klassifikation teilt man Teilchen in Fermionen und Bosonen ein. Nennen Sie für jede Sorte ein Beispiel. g) Was besagt das Pauli-Prinzip? Für welche der beiden in f) genannten Teilchensorten gilt dieses Prinzip? h) Beschreiben Sie, welche Auswirkungen das Pauli-Prinzip auf die Besetzung der Schalen bei einem Atom mit mehr als Elektronen hat. Was würde sich ändern, wenn das Pauli-Prinzip nicht gelten würde? Lösung Aufgabe 5: a) Die magnetische Quantenzahl kann die Werte m s = ± 1 der z-komponente des Spins S z = ± 1 b) S = 3 s(s + 1) = 4 annehmen. Damit is der Wert

2 c) Der Landé-Faktor oder g-faktor ist g =. Der Spin (innerer Drehimpuls) koppelt somit doppelt so stark an ein Magnetfeld wie ein Bahndrehimpuls (äußerer Drehimpuls). d) Es koppeln der Bahndrehimpuls und der Spin zum Gesamtdrehimpuls L + S = J. Das magnetische Moment des Spins (mit zwei Einstellmöglichkeiten) koppelt an das Magnetfeld, das durch die Bewegung des Elektrons um den Kern entsteht (Kreisstrom). Die Aufspaltung ist nur von n und j abhängig. Jedes Orbital spaltet also in zwei Niveaus auf, das j = l ± 1. e) Das Stern-Gerlach-Experiment. Hier wird ein Strahl aus neutralen Teilchen mit Spin S = 1 (z.b. Kaliumatome) durch ein inhomogenes Magnetfeld in zwei Teilstrahlen aufgespaltet, da die Atome mit m s = + 1 und m s = 1 unterschiedliche Kräfte erfahren. f) Fermionen sind Teilchen mit halbzahligem Spin ( 1, 3,...), wie z.b. Elektronen, die Spin 1 haben. Bosonen sind Teilchen mit ganzzahligem Spin (0,1,,3,..), wie z.b. Photonen, die Spin 1 haben. g) Zwei Fermionen dürfen nicht im selben Quantenzustand sein, sondern müssen sich mindestens in einer Quantenzahl unterscheiden. h) Die Schalen im Atom werden vom energetisch niedrigsten Niveau beginnend aufgefüllt. Dabei unterscheiden sich alle Zustände mindestens in einer Quantenzahl. Ohne Pauliprinzip würden alle Teilchen im energetisch niedrigsten Zustand sein (was die chemischen Eigenschaften der Elemente stark verändern würde). Aufgabe 6: Atomphysik Welches Termsymbol S+1 L J haben die folgenden Elemente? Geben Sie jeweils die vollständige Elektronenkonfiguration an und zeichnen Sie die Elektronen in ein Energietermschema ein: Beryllium, Sauerstoff, Natrium, Phosphor, Argon, Calcium, Eisen, Gallium, Krypton und Gadolinium. Betrachten Sie jeweils den Grundzustand. Lösung Aufgabe 6: Es ist zu beachten, dass in den folgenden Zeichnungen der Elektronenbelegung der Orbitale die Spinrichtung (Pfeile) keine Rolle spielt, solange die Orbitale erst mit einer Richtung aufgefüllt werden und dann erst die andere Richtung hinzukommt - siehe Hundsche Regeln. Es ist also z.b. egal, ob ich ein einzelnes Elektron in einer Schale mit Spin oben oder unten kennzeichne. Be : Beryllium hat 4 Elektronen und folgende Elektronenbelegung: Elektronenkonfiguration: 1s 1 s S = 0; L = 0 und J = 0 Termsymbol 1 S 0

3 O : Sauerstoff hat 8 Elektronen und folgende Elektronenbelegung: Elektronenkonfiguration: 1s 1 s p 4 = [He]s p 4 S = 1; L = 1 und J = Termsymbol 3 P Na : Natrium hat 11 Elektronen und folgende Elektronenbelegung: Elektronenkonfiguration: [Ne]3s 1 S = 1 ; L = 0 und J = 1 Termsymbol S 1 P : Phosphor hat 15 Elektronen und folgende Elektronenbelegung: Elektronenkonfiguration: [Ne]3s 3p 3 S = 3 ; L = 0 und J = 3 Termsymbol 4 S 3 Ar : Argon hat 18 Elektronen und folgende Elektronenbelegung: Elektronenkonfiguration: [Ne]3s 3p 6 S = 0; L = 0 und J = 0 Termsymbol 1 S 0

4 Ca : Calcium hat 0 Elektronen und folgende Elektronenbelegung: Elektronenkonfiguration: [Ar]4s S = 0; L = 0 und J = 0 Termsymbol 1 S 0 Fe : Eisen hat 6 Elektronen und folgende Elektronenbelegung in den obersten Schalen: Elektronenkonfiguration: [Ar]3d 6 4s S = ; L = und J = 4 Termsymbol 5 D 4 Ga : Gallium hat 31 Elektronen und folgende Elektronenbelegung in den obersten Schalen: Elektronenkonfiguration: [Ar]3d 10 4s 4p 1 S = 1 ; L = 1 und J = 1 Termsymbol P 1 Kr : Krypton hat 36 Elektronen und folgende Elektronenbelegung in den obersten Schalen: Elektronenkonfiguration: [Ar]3d 10 4s 4p 6 S = 0; L = 0 und J = 0 Termsymbol 1 S 0

5 Gd : Gadolinium hat 64 Elektronen und folgende Elektronenbelegung in den obersten Schalen: Elektronenkonfiguration: [Xe]4f 7 5d 1 6s S = 4; L = 3 und J = Termsymbol 9 D Gadolinium war etwas gemein, weil man erwarten würde, dass zuerst das 4f Orbital gefüllt wird, befor Elektronen in das 5d Orbital rutschen. Allerdings liegen in den Lanthaniden und Actiniden die Niveaus schon so nah beieinander, dass das nicht mehr so einfach ist. Entschuldigung, ihr hattet keine Chancce, das zu wissen und es ist mir auch erst beim Erstellen dieser Lösung aufgefallen. Solltet ihr als Termsymbol 7 F 6 herausbekommen haben, wäre das die korrekte intuitive Lösung. Sollten Termsymbole in der Klausur drankommen, verspreche ich, dass diese so regelkonform zu lösen sind, wie alle anderen Elemente vorher.

6 Aufgabe 7: Stern-Gerlach-Experiment a) Skizzieren Sie den Versuchsaufbau für das Stern-Gerlach-Experiment und benennen Sie die wichtigsten Komponenten. b) Wenn man beim Stern-Gerlach-Experiment atomaren Wasserstoffim Grundzustand verwendet, beobachtet man zwei räumlich getrennte Signale. Begründen Sie dieses Ergebnis. c) Historisch wurde das Stem-Gerlach-Experiment mit Silberatomen durchgeführt. Silber hat die Ordnungszahl Z = 47. Schreiben Sie die Einzelelektronenkonfiguration für das Silberatom auf und begründen Sie damit die Beobachtung von zwei räumlich getrennten Signalen, wie beim Wasserstoffatom. Das Titanatom (Z= ) hat im Grundzustand die Einzelelektronenkonfiguration (1s) (s) (p) 6 (3s) (3p) 6 (4s) (3d). d) Begründen Sie anhand der Hundschen Regeln, warum in L-S-Kopplung (Russel-Saunders- Kopplung) der Grundzustand des Titanatoms ein 3 F J Zustand ist, wobei J die kleinstmögliche Gesamtdrehimpulsquantenzahl ist. Wie viele räumlich getrennte Signale würde man in einem Stern-Gerlach-Experiment mit Titanatomen im Grundzustand erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort. e) In einem möglichen angeregten Zustand ist ein Valenzelekhon aus einem 3d-Orbital in ein 4p-Orbital angeregt, d.h. die Elekhonenkonfiguration der Valenzelekhonen lautet nun (3d) 1 (4p) 1. Bestimmen Sie für L-S-Kopplung alle möglichen Terme M L J. Nehmen Sie an, der Drehimpuls des Elektrons im Wasserstoffatom sei durch die Babndrehimpulsquantenzahl l= charakterisiert. f) Berechnen Sie den Betrag und die z-komponente des Bahndrehimpulses L und geben Sie den daraus folgenden minimalen Winkel im semiklassischen Bild an. Bestimmen Sie hiermit den Mindestwert und den Maximalwert für L x + L y g) Berechnen Sie L x + L y für l = und m l = 1. Kann man daraus L x und L y bestimmen? Begründen Sie Ihre Antwort.

7 Lösung Aufgabe 7: a) Wichtigste Komponenten: Ofen, Blende, inhomogenes Magnetfeld, Schirm. b) Der Grundzustand von Wasserstoff ist der 1s-Zustand: l = 0, m l = 0, s = 1, m s = m j = ± 1. Es gibt zwei unterschiedliche magnetische Momente für m s = m j = ± 1, was zu einer räumlichen Aufspaltung im inhomogenen Magnetfeld führt. c) Silber: Z=47, Elektronenkonfiguration: (1s) (s) (p) 6 (3s) (3p) 6 (3d) 10 (4s) (4p) 6 (4d) 10 (5s) 1 Äquivalent (nur die Elektronen ab dem letzten Edelgas werden ausgeschrieben): [Kr](4d) 10 (5s) 1 Bis auf die 5s-Schale sind alle Schalen vollständig besetzt, d.h. ihr Gesamtdrehimpuls und Gesamtspin ist gleich null (siehe Hund sche Regeln). Das Valenzelektron in der 5s-Schale hat die gleichen Drehimpulsquantenzahlen wie das Elektron im Wasserstoffatom. Aufspaltung in zwei räumlich getrennte Signale. Bemerkung: Wie bei Gadolinium ist die Elektronenkonfiguration des Grundzustands anders als man von der Position des Elements im Periodensystem erwarten würde.

8 d) Elektronenkonfiguration von Titan: Die 4s Schale ist voll gefüllt. Für die nächste Schale (3d) bleiben noch zwei Elektronen übrig. Diese verteilen sich nach den Hund schen Regeln so, dass: 1. Ihr Gesamtspin maximal wird (beide Elektronenspins zeigen nach oben) und. der Bahndrehimpuls L maximiert wird (m l = und m l = 1 sind besetzt. Auch möglich: m l = und m l = 1). Aus dieser Elektronenkonfiguration ergibt sich ein Gesamtspin von S = = 1 und ein Bahndrehimpuls L = + 1 = 3. Weil die 3d Schale weniger als halb besetzt ist, gilt nach Hund außerdem J = L S =. Demnach ist der Grundzustand von Titan durch 3 F gegeben. Für J = ergeben sich 5 mögliche Werte für m J (, 1, 0, 1, ). Es würden sich also fünf räumlich getrennte Signale bei einem Stern-Gerlach-Experiment mit Titanatomen ergeben. e) (3d) 1 (4p) 1 : l 1 = 1, l = L = l 1 l,..., l 1 + l = 1,, 3 Zwei Elektronen: s 1 = s = 1 S = s 1 s,..., s 1 + s = 0, 1 Gesamtdrehimpuls J = L S,..., L + S L = 1, S = 0: J = 1 1 P 1 L =, S = 0: J = 1 D L = 3, S = 0: J = 3 1 F 3 L = 1, S = 1: J = 0 3 P 0, J = 1 3 P 1 oder J = 3 P L =, S = 1: J = 1 3 D 1, J = 3 D oder J = 3 D 3 L = 3, S = 1: J = 3 F, J = 3 3 F 3 oder J = 4 3 F 4 Insgesamt sind also 1 Zustände mit (3d) 1 (4p) 1 möglich. f) L = 6, L z =, cos(α) = L z / L = / 6 α 35 Maximalwert: l(l + 1) (m min ) = 6 (0 ) = 6 Minimalwert: l(l + 1) (m max ) = 6 ( ) = g) L x + L y = l(l + 1) (m l ) = 6 (1 ) = 5 Die individuellen Werte von L x und L y können nicht simultan bestimmt werden, weil ˆL x und ˆL y nicht kommutieren.