3 Folgen, Reihen und stetige Funktionen

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1 Höhere Mathematik Folgen, Reihen und stetige Funktionen 3.1 Folgen und Reihen: Definitionen und Beispiele Eine reelle oder komplexe Zahlenfolge ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle oder komplexe Zahl a n zuordnet (Schreibweise: {a n } n N ). a n heißt n-tes Glied der Folge {a n } n N. Ist {a n } n N eine Folge, so nennt man die Folge {s n } n N := n j=1 a j n N eine Reihe (Schreibweise: j=1 a j). s n ist die n-te Partialsumme der Reihe j=1 a j. Die Folge {a n } n N heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl C > 0 gibt mit a n C für alle n N. 3 Folgen, Reihen und stetige Funktionen Technische Universität Bergakademie Freiberg

2 Höhere Mathematik 102 Die reelle Folge {a n } n N heißt monoton wachsend, wenn a n a n+1 für alle n N gilt, und monoton fallend, wenn a n a n+1 für alle n N gilt. Eine monotone Folge ist monoton wachsend oder monoton fallend. Satz 3.1 (Arithmetische Folgen) Ist {a n } n N eine arithmetische Folge, d.h. ist a n+1 a n = d für alle n N, dann gelten a n = a 1 + (n 1)d und für alle n N. s n = a a n = n a 1 + a n 2 = n ( a 1 + ) (n 1)d Folgen und Reihen: Definitionen und Beispiele Technische Universität Bergakademie Freiberg

3 Höhere Mathematik 103 Satz 3.2 (Geometrische Folgen) Ist {a n } n N eine geometrische Folge, d.h. ist a n+1 /a n = q für alle n N, dann gelten a n = a 1 q n 1 und s n = a a n = a 1 q n 1 q 1 (falls q 1) bzw. s n = na 1 (falls q = 1) für alle n N. Sehr oft verwendet man N 0 (statt N) als die Indexmenge einer Folge: {a n } n N0 = {a 0, a 1, a 2,..., a n, a n+1,...}. Die zugehörige Reihe j=0 a j besitzt die Partialsummen s n = n j=0 a j, n N Folgen und Reihen: Definitionen und Beispiele Technische Universität Bergakademie Freiberg

4 Höhere Mathematik Grenzwerte von Folgen und Reihen Definition 3.1 Die Zahlenfolge {a n } n N konvergiert gegen die Zahl a, wenn es zu jedem (noch so kleinen) ε > 0 einen Index n 0 = n 0 (ε) gibt, so dass der Abstand aller Folgenglieder a n0, a n0 +1, a n0 +2,... zu a kleiner als ε ist. Kürzer: Für alle ε > 0 gibt es ein n 0 = n 0 (ε) N mit a n a < ε für alle n n 0. Schreibweise: lim a n = a. Die Zahl a heißt dann Grenzwert der Folge n {a n } n N. Man nennt die Folge {a n } n N konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt, und divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt. Eine Reihe j=1 a j heißt konvergent (bzw. divergent), wenn die Folge {s n } n N ihrer Partialsummen konvergiert (bzw. divergiert). Gilt lim n s n = a, so schreibt man j=1 a j = a. 3.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

5 Höhere Mathematik 105 Beispiel. Sowohl {1/n} n N (links) als auch {( 1) n /n} n N (rechts) konvergieren gegen 0, d.h. beide Folgen sind Nullfolgen. Für ε = 0.1 gilt z.b. in beiden Fällen a n 0 = a n < ε für alle n Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

6 Höhere Mathematik 106 Sei {a n } n N eine reelle Zahlenfolge. Gibt es zu jedem C R ein n 0 = n 0 (C) N mit a n C für alle n n 0, so schreibt man oft lim n a n =. (Beispiel: Für a n = n gilt lim n a n =.) Entsprechend bedeutet lim n a n =, dass zu jedem C R ein n 0 N exisitiert mit a n C für alle n n 0. (Beispiel: Für a n = n 2 + n gilt lim n a n =.) Vorsicht: Folgen {a n } n N mit lim n a n = oder lim n a n = sind divergent. Sie werden manchmal bestimmt divergent genannt. Satz 3.3 (Konvergenz bei beschränkten und monotonen Folgen) Es sei {a n } n N eine reelle Zahlenfolge. Dann gelten: Ist {a n } n N konvergent, dann ist {a n } n N beschränkt. Ist {a n } n N beschränkt und monoton, dann ist {a n } n N konvergent. 3.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

7 Höhere Mathematik 107 Satz 3.4 (Rechenregeln für Grenzwerte) Es seien {a n } n N und {b n } n N konvergente Zahlenfolgen mit lim n a n = a sowie lim n b n = b. Dann gelten: Die Folge {c n } n N := {a n + b n } n N konvergiert mit lim n c n = a + b. Die Folge {c n } n N := {a n b n } n N konvergiert mit lim n c n = a b. Die Folge {c n } n N := {a n b n } n N konvergiert mit lim n c n = ab. Ist b 0, dann gibt es einen Index n 0 mit b n 0 für alle n n 0. Die Folge {c n } n n0 := {a n /b n } n n0 konvergiert mit lim n c n = a/b. Einige dieser Regel gelten auch, wenn {a n } n N und/oder {b n } n N reell und bestimmt divergent sind. Man definiert dazu: d + = + = und d = = (d R), d = = ( ) ( ) = (falls d > 0) und d = ( ) = ( ) = (falls d < 0). Ausdrücke wie 0 (± ), (± )/0,, +, /(± ) und (± )/ sind unbestimmt und können nicht definiert werden. 3.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

8 Höhere Mathematik 108 Satz 3.5 (Konvergenz-und Divergenzkriterien für Reihen) Es sei n=1 a n eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern a n. Dann gelten: Majorantenkriterium: Ist a n b n für alle n n 0 und konvergiert n=1 b n, dann konvergiert auch n=1 a n. Minorantenkriterium: Ist a n b n für alle n n 0 und divergiert n=1 b n, dann divergiert auch n=1 a n. Quotientenkriterien: Ist a n+1 /a n q < 1 für alle n n 0, dann konvergiert n=1 a n. Ist a n+1 /a n q > 1 für alle n n 0, dann divergiert n=1 a n. Wurzelkriterien: Ist n a n q < 1 für alle n n 0, dann konvergiert n=1 a n. Ist n a n q > 1 für alle n n 0, dann divergiert n=1 a n. 3.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

9 Höhere Mathematik 109 Satz 3.5 (Forsetzung) Es sei n=1 a n eine Reihe mit alternierenden Gliedern a n. Dann gilt: Leibniz Kriterium: Ist {a n } n N eine monotone Nullfolge, dann konvergiert n=1 ( 1)n a n. Es sei n=1 a n eine Reihe mit beliebigen Gliedern a n. Dann gelten: Ist n=1 a n konvergent, dann ist {a n } n N eine Nullfolge. Äquivalent: Ist {a n } n N keine Nullfolge, so divergiert n=1 a n. (Umkehrung ist falsch!) Ist n=1 a n konvergent, dann auch n=1 a n. (Umkehrung ist falsch!) Reihen n=1 a n, für die n=1 a n konvergiert, nennt man absolut konvergent. Also: absolut konvergent konvergent. 3.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

10 Höhere Mathematik 110 Beispiele und Illustrationen: a n = n: lim n a n = (bestimmt divergent). a n = n r mit r > 0 : lim n a n = (bestimmt divergent). a n = n r mit r < 0 : lim n a n = 0. a n = q n mit q < 1: lim n a n = 0. a n = q n mit q = 1: lim n a n = 1. a n = q n mit q > 1: lim n a n = (bestimmt divergent). a n = q n mit q 1: {a n } n N ist divergent (nicht bestimmt divergent). a n = n k q n mit q < 1 und k N: lim n a n = 0. a n = (1 + 1/n) n : lim n a n = e = a n = n c mit c > 0: lim n a n = 1. a n = n n: lim n a n = Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

11 Höhere Mathematik 111 Für a n = ( k j=0 α jn j )/( l j=0 β jn j ) mit α k, β l 0 gelten: für k < l: lim n a n = 0, für k = l: lim n a n = α k /β l, für k > l und α k /β l > 0: lim n a n = (bestimmt divergent), für k > l und α k /β l < 0: lim n a n = (bestimmt divergent). Wichtige Reihen: a n = 1/n (harmonische Reihe): n=1 a n = (bestimmt divergent), a n = ( 1) n 1 /n: n=1 a n = ln(2) = , a n = 1/n 2 : n=1 a n = π 2 /6, a n = q n mit q < 1 (geometrische Reihe): n=0 a n = 1/(1 q) und n=1 a n = q/(1 q), a n = q n mit q 1 (geometrische Reihe): n=0 a n divergiert, a n = 1/n! (Exponentialreihe): n=0 a n = e. 3.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

12 Höhere Mathematik monoton 6 4 d= d=0 2 beschränkt monoton und beschränkt 6 d= Links: a n = 3 ln(n) (monoton wachsend und divergent), a n = ( 1) n (beschränkt und divergent), a n = (monoton fallend und beschränkt, also konvergent). n Rechts: Arithmetische Folgen mit a 1 = 2 sowie d = 1, d = 0 und d = Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

13 Höhere Mathematik q= q=1.5 0 q= 2 q=2 2 2 q= q= Links: Geometrische Folgen mit a 1 = 6, q = 0.5 (konvergent), a 1 = 0.5, q = 1.5 (divergent), a 1 = 0.5, q = 2 (divergent) und a 1 = 4, q = 0.5 (konvergent). Rechts: Geometrische Folgen mit a 1 = 0.5, q = 2 (divergent) und a 1 = 4, q = 0.5 (konvergent). 3.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen Technische Universität Bergakademie Freiberg

14 Höhere Mathematik Funktionen und ihre Darstellung Eine Vorschrift, durch die jedem Element x einer Menge D f genau ein Element y = f(x) einer Menge W zugeordnet wird, nennen wir eine Funktion f von D f nach W. D f heißt der Definitionsbereich der Funktion f. Eine Funktion ist durch die Angabe von D f und der Zuordnungsvorschrift x f(x) oder y = f(x) definiert. f(x) heißt Funktionswert von f an der Stelle x. Sind D f, W R, so heißt f eine reelle Funktion. In diesem Kapitel werden nur reelle Funktionen behandelt, wobei wir D f meistens so groß wie möglich wählen. 3.3 Funktionen und ihre Darstellung Technische Universität Bergakademie Freiberg

15 Höhere Mathematik 115 Eine Funktion f : D f W heißt injektiv (eineindeutig) in D f, wenn für alle x 1, x 2 D f mit x 1 x 2 immer f(x 1 ) f(x 2 ) gilt. Die Funktion f heißt surjektiv auf W, wenn es zu jedem y W ein x D f gibt mit f(x) = y. (Ersetzt man W durch die Bildmenge W f = f(d f ) := {y W : x D f mit f(x) = y}, dann ist f : D f W f surjektiv.) Die Funktion f : D f W heißt bijektiv, wenn sie injektiv in D f und surjektiv auf W ist. Ist f : D f W f bijektiv, dann wird durch g : W f D f, g(y) := x f(x) = y die Umkehrfunktion von f definiert (Schreibweise: g = f 1 ). Beispiel: Die Umkehrfunktion von f : [0, ) [0, ), x x 2, ist g : [0, ) [0, ), x x (links in der nächsten Abbildung); die Umkehrfunktion von h : (0, ) (0, ), x 1/x, ist h selbst (rechts). 3.3 Funktionen und ihre Darstellung Technische Universität Bergakademie Freiberg

16 Höhere Mathematik f(x)=x h(x)=1/x g(x)=x 1/ Funktionen und ihre Darstellung Technische Universität Bergakademie Freiberg

17 Höhere Mathematik 117 Funktionen kann man auf verschiedene Weise beschreiben : Analytisch (d.h. durch Angabe der Zuordnungsvorschrift). Tabellarisch (d.h. durch eine Wertetabelle). Graphisch. Die Menge Graph(f) := {(x, f(x)) : x D f } R 2 heißt der Graph von f. Ist f bijektiv, dann ergibt sich Graph(f 1 ) aus Graph(f) durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden y = x. Seien f : D f R eine Funktion und I D f ein Intervall, so heißt f [streng] monoton wachsend auf I, wenn für alle x, y I mit x < y immer f(x) f(y) [f(x) < f(y)] gilt. Die Funktion f heißt [streng] monoton fallend auf I, wenn für alle x, y I mit x < y immer f(x) f(y) [f(x) > f(y)] gilt. Ist f : I R streng monoton, so ist f : I f(i) bijektiv. Die Umkehrfunktion g = f 1 ist streng monoton wachsend [fallend], wenn f streng monoton wachsend [fallend] ist. 3.3 Funktionen und ihre Darstellung Technische Universität Bergakademie Freiberg

18 Höhere Mathematik Operationen mit Funktionen Es seien f, g : D R reelle Funktionen und α R. Wir definieren neue Funktionen αf : D R, (αf)(x) := αf(x), f ± g : D R, (f ± g)(x) := f(x) ± g(x), fg : D R, (fg)(x) := f(x)g(x), f/g : D 1 R, (f/g)(x) := f(x)/g(x) mit D 1 = {x D : g(x) 0}. Vorsicht: 1/f f 1. Sind f : D f R und g : D g R mit f(d f ) D g, dann definieren wir die Komposition von f mit g durch g f : D f R, (g f)(x) := g(f(x)) ( g nach f ). Vorsicht: g f f g. 3.4 Operationen mit Funktionen Technische Universität Bergakademie Freiberg

19 Höhere Mathematik 119 Beispiel: Der Übergang von x f(x) nach x f(x) + c bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen von f um c. Der Übergang von x f(x) nach x f(x c) bewirkt eine horizontale Verschiebung des Graphen um c y=f(x)+c y=f(x) y=f(x c) y=f(x) Operationen mit Funktionen Technische Universität Bergakademie Freiberg

20 Höhere Mathematik Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Sei f : D f R eine reelle Funktion. f konvergiert für x gegen x 0 gegen den Wert a, wenn für alle Folgen {x n } n N D f mit x n x 0 (für alle n) und lim n x n = x 0 die Beziehung lim n f(x n ) = a gilt (Schreibweise: lim x x0 f(x) = a). Ist für alle Folgen {x n } n N D f mit x n > x 0 [x n < x 0 ] (für alle n) und lim n x n = x 0 die Beziehung lim n f(x n ) = a erfüllt, dann besitzt f in x 0 den rechtsseitigen Grenzwert a = lim x x0 + f(x) [den linksseitigen Grenzwert a = lim x x0 f(x)]. In diesen Definitionen sind sowohl a = ± als auch x 0 = ± erlaubt (bestimmte Divergenz!). Beispiele: lim x 0 sin(x) = 0, lim x 0 cos(x) = 1, lim x 0 sin(x)/x = 1, lim x 0 (cos(x) 1)/x = 0, lim x 0 1/x existiert nicht, aber lim x 0+ 1/x = und lim x 0 1/x =. 3.5 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Technische Universität Bergakademie Freiberg

21 Höhere Mathematik 121 Satz 3.6 Der Grenzwert lim x x0 f(x) existiert genau dann, wenn die beiden Grenzwerte lim x x0 + f(x) und lim x x0 f(x) existieren und übereinstimmen. Satz 3.7 (Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen) Für die Funktionen f : D f R, g : D g R gelte lim x x0 f(x) = a und lim x x0 g(x) = b (mit a, b R!). Dann folgt lim (cf)(x) = c lim f(x) = ca für alle c R, x x 0 x x 0 lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x) = a ± b, x x 0 x x 0 x x 0 lim (fg)(x) = ( lim f(x))( lim g(x)) = ab, x x 0 x x 0 x x 0 lim (f/g)(x) = ( lim f(x))/( lim g(x)) = a/b, falls b 0. x x 0 x x 0 x x 0 Hier ist x 0 = ± erlaubt. 3.5 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Technische Universität Bergakademie Freiberg

22 Höhere Mathematik 122 Existieren die beiden Grenzwerte lim x x0 + f(x) und lim x x0 f(x) und sind sie endlich, aber verschieden, so nennt man x 0 eine Sprungstelle von f. Satz 3.8 Seien I = (a, b) ein Intervall, f : I R monoton auf I und x 0 I. Dann existieren lim x x0 f(x) und lim x x0 + f(x) und es gelten < lim f(x) f(x 0) x x 0 wenn f monoton wachsend ist, und > wenn f monoton fallend ist. lim f(x) f(x 0) x x 0 lim f(x) <, x x 0 + lim f(x) >, x x Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Technische Universität Bergakademie Freiberg

23 Höhere Mathematik 123 Eine reelle Funktion f : D f R heißt stetig an der Stelle x 0 D f, wenn lim x x0 f(x) existiert und lim x x0 f(x) = f(x 0 ) gilt. f heißt stetig in M D f, wenn f an jeder Stelle x 0 M stetig ist. Äquivalente Definition: f ist genau dann stetig an der Stelle x 0 D f, wenn es für jedes ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt mit der Eigenschaft: Aus x D f und x x 0 δ folgt stets f(x) f(x 0 ) ε. Die Funktion f(x) = sign(x), x R, ist stetig für alle x 0, aber unstetig an der Stelle x 0 = 0. Satz 3.9 Sind f, g stetig in x 0, so auch f + g, f g, fg und f/g (falls (g(x 0 ) 0). Ist f stetig in x 0 und ist g stetig in f(x 0 ), so ist g f stetig in x Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Technische Universität Bergakademie Freiberg

24 Höhere Mathematik 124 Satz 3.10 Es sei I R ein Intervall. Die Funktion f : I R besitze eine Umkehrfunktion f 1 : f(i) I. Ist f stetig in I, so ist f(i) ein Intervall und f 1 stetig in f(i). Satz 3.11 (Zwischenwertsatz) Ist f : [a, b] R stetig, dann gibt es zu jedem w, das zwischen f(a) und f(b) liegt, ein z [a, b] mit f(z) = w. Satz 3.12 (Extremalwerte stetiger Funktionen) Ist f : [a, b] R stetig, dann gibt es ein x max [a, b] mit f(x max ) f(x) für alle x [a, b] und ein x min [a, b] mit f(x min ) f(x) für alle x [a, b]. Vorsicht: Die Aussage wird falsch, wenn der Definitionsbereich von f nicht abgeschlossen oder unbeschränkt ist. 3.5 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Technische Universität Bergakademie Freiberg