Motivation Phasenbestimmung

Transkript

1 Motivation Phasenbestimmung Problem Spezialfall der Phasenbestimmung Gegeben: Zustand z = 1 n y {0,1} n( 1)x y y Gesucht: x F n Für n = 1 ist der Zustand z = 1 ( 0 + ( 1) x 1 ) = H x. Es gilt H z = x, d.h. H dekodiert die Phaseninformation x. Für allgemeines n gilt z = H n x und damit H n z = x. D.h. H n dekodiert Phasen der speziellen Form ( 1) x y = (e πi ) x y. Gibt es ein Analog für Phasen der Form e πiω für ein ω [0, 1)? QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 9 / 8

2 Problem der Phasenbestimmung Problem Phasenbestimmung Gegeben: Zustand z = 1 n eπiωy y für ω [0, 1) Gesucht: ω (bzw. eine gute Approximation von ω) Notation: Wir bezeichnen mit y F n einen n-dimensionalen Vektor. Mit y Z n bezeichnen wir eine Zahl zwischen 0 und n 1. Z.B. schreiben wir für n = 4 den Zustand y = 3 = 0011 = y. Für ω = k x k k schreiben wir ω = 0.x 1 x x 3... Für ω = 0.x 1 folgt z = 1 e πi(0.x1)y y = 1 e πix1y y = 1 ( 1) x1y y = H x 1 D.h. H z = x 1 liefert x 1 und damit ω. QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 10 / 8

3 Produktformel von Griffith-Nui (1996) Satz Produktformel von Griffith-Nui Für ω = 0.x 1 x... x n gilt z = 1 n eπiωy y = 0 +eπi0.x n eπi0.x 1 x...x n 1. Beweis: z = 1 n = 1 n = 1 n = 1 n... y 0 =0... y 0 =0 n 1 l=0 y n 1 =0 y n 1 =0 l=0 y l =0 e πiω P n 1 l=0 y l l y n 1... y 0 n 1 e πiωy l l y l e πiωy l l y l = 1 n 1 (( ) 0 + e πi0.x 1x...x n 1 n... l=0 ( ) 0 + e πiωl 1 ( )) 0 + e πix 1x...x n 1.x n 1 QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 11 / 8

4 Bestimmen von zwei Nachkommastellen Problem Phasenbestimmung mit n = Bits Gegeben: Zustand z = 1 1 eπiωy y für ω = 0.x 1 x Gesucht: ω = 0.x 1 x Schreibe z = ( 0 +e πi0.x 1 ) ( 0 +e πi0.x 1 x 1 ). Bestimme x durch Anwendung von Hadamard auf das 1. Qubit. Falls x = 0, bestimme x 1 durch Hadamard auf das. Qubit. Falls x = 1, dann eliminieren wir zunächst x durch eine Rotation. ( ) 1 0 Wir betrachten die Rotation R = F π(0.01) = 0 e πi(0.01). ( ) ( ) ( ) D.h. R 1 0 +e πi0.x = 0 +e πi(0.x ) 1 = 0 +e πi0.x 1 1. Verwenden ein vom 1.Qubit kontrolliertes R 1 -Gatter auf Qubit. Anschließend bestimmen wir x 1 mittels eines Hadamard-Gatters. QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 1 / 8

5 Bestimmen von 3 Nachkommastellen Problem Phasenbestimmung mit n = 3 Bits Gegeben: Zustand z = eπiωy y für ω = 0.x 1 x x 3 Gesucht: ω = 0.x 1 x x 3 z = ( ) ( ) ( ) 0 +e πi0.x e πi0.x x e πi0.x 1 x x 3 1 Bestimme x 3 und x wie zuvor. Definiere Rotation R k zum Entfernen der k-ten Nachkommastelle ( ) 1 0 R k = F π k = 0 e πi. k Entferne x 3 in Qubit 3 durch R 1 3 kontrolliert durch Qubit 1. Entferne x in Qubit durch R 1 kontrolliert durch Qubit. Bestimme anschließend x 1 durch ein Hadamard-Gatter. QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 13 / 8

6 Die Quanten Fourier Transformation Verallgemeinerung auf beliebiges n führt zu einem Schaltkreis C n mit O(n ) Gatter. D.h. wir realisieren für ω = 0.x 1... x n = x n die Abbildung 1 n eπi x n y y x. Definition Quanten Fourier Transformation (QFT) Wir bezeichnen die Abbildung QFT n : x 1 n als Quanten Fourier Transformation (QFT). eπi x n y y QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 14 / 8

7 Schaltkreis für QFT n Satz Schaltkreis für QFT n Es gibt einen Quantenschaltkreis für QFT n mit O(n ) Gattern. Beweis: Verwenden Schaltkreis C n zur Phasenbestimmung. Der Schaltkreis C n implementiert QFT 1 n. D.h. wir können C n in umgekehrter Reihenfolge anwenden. QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 15 / 8

8 Vergleich zur Diskreten Fourier Transformation (DFT) Definition Diskrete Fourier Transformation Sei α(x) C[x] vom Grad n 1. Sei β y = α(e πi y n ) für y Z n. Dann bezeichnen wir β = (β 0,..., β ) als Diskrete Fourier Transformierte von α(x). Zusammenhang mit QFT: DFT liefert β y = l=0 α le πi y n l. Betrachten allgemeinen Quantenzustand z = l=0 α l l. QFT n( z ) = l=0 = 1 n α l QFT n( l ) = l=0 l=0 α l 1 n α l e πi y n l y = 1 n D.h. die Amplituden β y sind die DFTs der Amplituden α l. e πi l n y y β y y QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 16 / 8

9 Vergleich zum klassischen Ansatz Speedup: Berechnung der DFT entspricht Auswerten eines Polynoms vom Grad kleiner als n an n verschiedenen Stellen. Komplexität mit Horner-Schema: n O( n ) = O( n ). Schnelle Fourier Transformation (DiMaI): O(n n ). Berechnung der QFT benötigt dagegen nur O(n ) Gatter. D.h. wir erhalten einen exponentiellen Speedup. Aber: QFT liefert die Amplituden nicht explizit. Aus QFT n( z ) kann daher die DFT nicht einfach bestimmt werden. QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 17 / 8

10 Approximieren von ω Szenario: Bisher war ω stets von der Form ω = x n. Frage: Was geschieht für allgemeines ω? Fakt Approximation von ω Sei z = 1 n eπiωy y für ω [0, 1). Dann liefert QFT 1 ( z ) mit Wahrscheinlichkeit mindestens 4 π ein x mit x n ω 1 n+1. D.h. wir erhalten mit Ws 4 dasjenige ganzzahlige Vielfache von π 1, das am nächsten zu ω ist. n Definition Periodischer Zustand Sei z r,b ein Quantenzustand der Form z r,b = 1 k=0 kr + b mit b Z r. Dann heißt z r,b periodischer Zustand mit Periode r, Vielfachheit der Periode m und Shift b. m m 1 QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 18 / 8

11 Finden der Periode mit Vielfachheit Problem Finden der Periode mit Vielfachheit Gegeben: mr, periodischer Zustand z r,b mit b R Z r Gesucht: r Lösung: Messen von z r,b liefert jeden Zustand x, x Z mr mit Ws 1 mr. D.h. Messung von z r,b liefert keine Information über r. Berechnen stattdessen QFT mr z r,b = 1 r r 1 l=0 eπi b r l ml. (Lemma auf nächster Folie) Messung liefert nur Basiszustände ml, die Vielfache von m sind. Wir berechnen ml mr = l r. Falls gcd(l, r) = 1 liefert dies r. 1 Es gilt gcd(l, r) = 1 mit Wahrscheinlichkeit Ω( log log r ). QA - Vorlesung Phasenbestimmung, Quanten Fourier Transformation, periodischer Zustand 19 / 8