Die Oberfläche der Verpackung besteht aus sechs Teilen: 2 Trapeze (vorne und hinten), und 4 Rechtecke.
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- Richard Meinhardt
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1 Aufgabe 1a) Schritt 1: Oberflächenformel aufstellen Gesucht ist die Oberfläche des Prismas. Das heißt, 2, mit G als Grundfläche und M als Mantel. Die Oberfläche der Verpackung besteht aus sechs Teilen: 2 Trapeze (vorne und hinten), und 4 Rechtecke Schritt 2: Grundfläche und Seitenfläche berechnen Berechnung der Grundfläche (Trapez) Die Grundfläche wird von einem Trapez gebildet. Die Formel für den Flächeninhalt von Trapezen lautet: (wobei a und c die beiden parallelen Seiten sind) Berechnung der Seitenflächen Das Rechteck R hat die Seitenlänge 30 cm, die Breite muss noch berechnet werden. Die Breite des Rechtecks ist zugleich die Länge l der schrägen Seitenkante des Trapezes. Das kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen. 2 cm 1 cm 2 cm 1 cm 5 cm 30 cm 5 cm 30 5 cm Schritt 3: Teilflächen zusammenzählen cm 30 cm 2 cm 30 cm 2 6 cm cm 4 cm 30 cm 2 cm 30 cm, 1
2 Lösung Man benötigt etwa 326,2 Karton zur Herstellung der Verpackung. Aufgabe 1b) Schritt 1: Volumen berechnen Die Berechnung des Volumens ist nicht weiter kompliziert. Du berechnest das Volumen des Zylinders mit dem äußeren Radius und subtrahierst das Loch, den Zylinder mit dem inneren Radius ,5 160, Schritt 2: Oberfläche berechnen Die Oberfläche besteht aus Grund und Deckfläche, das sind zwei kongruente Kreisringe, der äußeren Seitenfläche ( und der inneren Seitenfläche (. Grund und Deckfläche berechnen: Ähnlich wie bei dem Volumen ziehst du den inneren Kreis vom äußeren ab: ,06 Äußere Seitenfläche berechnen Die äußere Seitenfläche wird von einem Rechteck mit dem Umfang des äußeren Kreises als Grundseite und der Höhe des Körpers als Höhe gebildet , Innere Seitenfläche berechnen Analog verfährst du mit der inneren Seitenfläche: 2 262, ,25 Gesamtoberfläche berechnen Für die Oberfläche gilt also: 2 2
3 , Aufgabe 2 Schritt 1: in alle möglichen Faktoren zerlegen Vorüberlegung Bei der Berechnung mithilfe des Satz von Vieta nutzt du die folgenden Beziehungen: Zerlegung In unserem Fall 120 ist p = 1 und q = Schritt 2: Das Faktorenpaar suchen, das addiert ergibt 3 41 Schritt 3: Lösung angeben Aufgabe 3 Schritt 1: Lösungsstrategie überlegen Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: Nimm an, die Seite a sei die kürzeste Seite. Dann gilt für die Seite b: 5 und c: 510. Schritt 2: Gleichung aufstellen und lösen ausmultiplizieren und zusammenfassen Satz von Vieta 3
4 Schritt 3: Flächeninhalt berechnen Du weißt jetzt, dass die kürzeste Seite 15 cm lang ist. (Die negative Lösung kommt ja nicht für die Seitenlänge eines Dreiecks in Frage.) Damit ist die Seite 20 und die Seite 25 lang und für den Flächeninhalt gilt: Lösung: Aufgabe 4 Schritt 1: Seitenlänge eines Dreiecks berechnen Ansatz Eine Raute ist aus vier kongruenten, rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt. Die Diagonale der Raute ist doppelt so lang wie die Seitenlängen und des roten Dreiecks in der Skizze. Berechnung der Ankathete Die untere Seite des roten Dreiecks ist die Ankathete des angegebenen Winkels. Um die Seitenlänge zu berechnen brauchst du die trigonometrische Formel cos, wobei die Hypotenuse mit 5 cm gegeben ist. cos25 5 cos25 5 4,53 Berechnung der Gegenkathete Die Seite y ist die Gegenkathete zum angegebenen Winkel. Du berechnest sie mit der Formel: 4
5 sin Gegenkathete Hypotenuse sin25 5 sin25 5 2,11 Schritt2: Diagonalen bestimmen Um die Diagonalen zu berechnen, musst du die eben ausgerechneten Seitenlängen verdoppeln. Waagrechte Diagonale 2, Senkrechte Diagonale 2, Aufgabe 5 1. Schritt: Bezeichnungen festlegen Höhe des Hochhauses: Höhe der zwei rechtwinkligen Dreiecke: 2 m Skizze: 2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen Im größeren der beiden rechtwinkligen Dreiecke hat der Öffnungswinkel 35 als Gegenkathete und als Ankathete 50 m. Du berechnest mithilfe der trigonometrischen Formeln: I: tan35 50 m. Im kleineren Dreieck hat der Öffnungswinkel 50 als Gegenkathete ebenfalls aber als Ankathete. Also gilt II: tan
6 3. Schritt: Gleichungssystem lösen Aus II folgt tan50. Einsetzen in I liefert tan50 tan35 50 m tan50 50 m tan50 tan35 tan50 50 m tan50 tan35 tan50 50 m tan35 tan50. Zusammenfassen und ausklammern: tan50 tan35 tan35 tan50 50 m. tan35 tan50 50 m tan50 tan35 84,88 m. Lösung Gesamthöhe des Hochhauses: 2 m,. Fazit: Schulaufgabe mit dem Themenschwerpunkt Trigonometrie. Bis auf die letzte Aufgabe, deren Anforderungsniveau recht hoch ist, sind aber alle Aufgaben relativ gut und einfach zu lösen. 6
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Die folgenden Aufgaben stellen als Überblick die Grundlagen für einen erfolgreichen Start im EA-Kurs dar. Es gelten der Stoff aus www.mathbu.ch 8+ resp. 9+. A00 Arithmetisches Rechnen / allgemeines Rechnen
Kreise und Kreisteile. 1. Aufgabe: Berechne bei den folgenden Kreisen die fehlenden Werte: a) b) c) d) 2,45 m 8,6 cm 26,3 cm² 149 cm
Kreise und Kreisteile 1. Aufgabe: Berechne bei den folgenden Kreisen die fehlenden Werte: a) b) c) d) r 2,45 m d 8,6 cm A 26,3 cm² U 149 cm 2. Aufgabe: Berechne bei den folgenden Kreisbögen die fehlenden
Trigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß).
Trigonometrie. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0 und 60 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem Bogenmaß,
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1) Welche idealisierten Grundformen entsprechen den Bildern? Ordne die Bezeichnungen den Bildern zu. vierseitiges Prisma regelmäßige dreiseitige Pyramide regelmäßiges sechsseitiges Prisma regelmäßige vierseitige
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Lösung Aufgabe P1: 1. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck Seiten tauschen 2. Berechnung des Winkels : Kosinusfunktion im hellblauen rechtwinkligen Teildreieck 3.
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Die Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher Umlaufsinn!
Berechnungen in Dreiecken Allgemeines zu Dreiecken Innenwinkelsatz α + β + γ = 180 Besondere Dreiecke Gleichschenkliges Dreieck Die Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher
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Ausführliche Lösungen 11.1 Die Aussage gilt für a) Rechteck, Quadrat b) Raute, Quadrat, Drachen c) Parallelogramm, Raute, Rechteck, Quadrat d) Rechteck, Quadrat e) Parallelogramm 11.2 Bei einem Parallelogramm