Graphalgorithmen II. Werner Sembach Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

Transkript

1 Graphalgorithmen II Werner Sembach Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

2 Übersicht Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

3 Übersicht Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap Kürzester Wege Bellman-Ford Floyd-Warshall Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

4 Übersicht Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap Kürzester Wege Bellman-Ford Floyd-Warshall Spezielle Pfade Eulerpfad/-kreis Hamilton-Kreis Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

5 Union/Find Zweck Datenstruktur zur Verwaltung disjunkter (überschneidungsfreier) Mengen mithilfe jeweils eines Repräsentanten. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

6 Union/Find Zweck Datenstruktur zur Verwaltung disjunkter (überschneidungsfreier) Mengen mithilfe jeweils eines Repräsentanten. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

7 Union/Find Operatoren Union(r, s) Vereinigt 2 Mengen und bestimmt neuen Repräsentanten Find(x) Gibt den Repräsentanten des Menge aus die x enthält Make-Set(x) Fügt ein neues Element als eigene Menge ein Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

8 Union/Find Operatoren Union(r, s) Vereinigt 2 Mengen und bestimmt neuen Repräsentanten Find(x) Gibt den Repräsentanten des Menge aus die x enthält Make-Set(x) Fügt ein neues Element als eigene Menge ein siehe Tafelanschrift Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

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10 Union/Find Operatoren Union(r, s) Vereinigt 2 Mengen und bestimmt neuen Repräsentanten Find(x) Gibt den Repräsentanten des Menge aus die x enthält Make-Set(x) Fügt ein neues Element als eigene Menge ein siehe Tafelanschrift oder zum herumspielen rlpm/499/unionfind.jar Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

11 Union/Find Naive Implementierung Array speichert für jeden Wert direkt den Repräsentanten Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

12 Union/Find Naive Implementierung Array speichert für jeden Wert direkt den Repräsentanten Besser und gängige Implementierung Baum: wegen Optimierungsmöglichkeiten Heuristik Pfadkompression Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

13 Union/Find Heuristik Union hängt immer den flacheren Graph unter den tieferen. verhindert Entartung des Baums zur Liste Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

14 Union/Find Heuristik Union hängt immer den flacheren Graph unter den tieferen. verhindert Entartung des Baums zur Liste Pfadkompression Beim Aufruf von Find werden alle durchlaufenen Knoten direkt unter die Wurzel gehängt. reduziert häufigkeit des worst-case Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

15 Union/Find Laufzeiten im Worst-Case: Implementierung als Array: Find O(1), Union O(n) Implementierung als Baum: Find O(n), Union O(n 2 ) (bei bekannten Repräsentanten O(1)) mit Heuristik: Find O(log n), Union O(log 2 n) mit Pfadkompression: Find O(log n), Union O(log 2 n) Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

16 Union/Find Laufzeiten im Worst-Case: Implementierung als Array: Find O(1), Union O(n) Implementierung als Baum: Find O(n), Union O(n 2 ) (bei bekannten Repräsentanten O(1)) mit Heuristik: Find O(log n), Union O(log 2 n) mit Pfadkompression: Find O(log n), Union O(log 2 n) Anwendung Verwaltung von Zusammenhangskomponenten z.b. für Kruskal (minimaler Spannbaum) Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

17 Fibonacci-Heap Datenstrucktur, die schnellen Zugriff und Entnehmen eines minimalen (maximalen) Elements zulässt Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

18 Fibonacci-Heap Datenstrucktur, die schnellen Zugriff und Entnehmen eines minimalen (maximalen) Elements zulässt Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

19 Fibonacci-Heap Datenstrucktur, die schnellen Zugriff und Entnehmen eines minimalen (maximalen) Elements zulässt Anwendung: Dijkstra, Prim Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

20 Bellman-Ford-Algorithmus Algorithmus zum Finden des kürzesten Pfad von einem Startpunkt zu einem/allen anderen Punkt(en) eines Graphen Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

21 Bellman-Ford-Algorithmus Algorithmus zum Finden des kürzesten Pfad von einem Startpunkt zu einem/allen anderen Punkt(en) eines Graphen Vergleich zu Dijkstra Vorteile Funktioniert auch bei negativem Kantengewicht Findet die kürzesten Pfade zu allen anderen Knoten Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

22 Bellman-Ford-Algorithmus Algorithmus zum Finden des kürzesten Pfad von einem Startpunkt zu einem/allen anderen Punkt(en) eines Graphen Vergleich zu Dijkstra Vorteile Funktioniert auch bei negativem Kantengewicht Findet die kürzesten Pfade zu allen anderen Knoten Nachteil Langsamer als Dijkstra Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

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24 Bellman-Ford-Algorithmus Pseudocode Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

25 Bellman-Ford-Algorithmus Erkennen negativer Zyklen Zeil 10-12: Zyklenfreie Pfade maximal der länge n-1 wird im n-ten Durchlauf ein kürzerer Pfad gefunden, bedeutet dies, es gibt einen Zyklus negativen Gewichts Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

26 Bellman-Ford-Algorithmus Erkennen negativer Zyklen Zeil 10-12: Zyklenfreie Pfade maximal der länge n-1 wird im n-ten Durchlauf ein kürzerer Pfad gefunden, bedeutet dies, es gibt einen Zyklus negativen Gewichts Laufzeit n := Knoten m := Kanten O(n * m) Dijkstra mit Fibonacci-Heap: O(n * log n + m) Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

27 Floyd-Warshall-Algorithmus Zweck: Finden aller kürzester Pfade in einem Graphen Idee Wenn ein kürzester Pfad von u nach v über w läuft, sind die Teilpfade (u,w) und (w,v) ebenfalls kürzerste Pfade. Wenn durch Hinzunehmen eines Knoten k ein kürzerer Pfad entsteht, läuft dieser über k, benutzt aber ansonsten breits bekannte kürzeste Pfade. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

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29 Floyd-Warshall-Algorithmus Pseudocode Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

30 Floyd-Warshall-Algorithmus Pseudocode Laufzeit: O(n 3 ) Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

31 Eulerpfad/-kreis Definition Eulerpfad: Pfad in einem Graphen, der jede Kante genau einmal durchläuft. Eulerkreis: Eulerpfad, bei dem Start und Endknoten übereinstimmen. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

32 Eulerpfad/-kreis Definition Eulerpfad: Pfad in einem Graphen, der jede Kante genau einmal durchläuft. Eulerkreis: Eulerpfad, bei dem Start und Endknoten übereinstimmen. Existenz Eulerpfad: Graph ist zusammenhängend und genau 2 Knoten haben ungeraden Grad. Eulerkreis: Graph ist zusammenhängend und alle Knoten haben geraden Grad. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

33 Eulerpfad/-kreis Algorithmus von Fleury wähle beliebigen Startknoten gehe über unmarkierte Kante zu nächsten Knoten nicht Brückenkanten nach Möglichkeit immer vorzuziehen solange weiterwandern, bis alle Kanten eingeschlossen sind Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

34 Eulerpfad/-kreis Algorithmus von Fleury wähle beliebigen Startknoten gehe über unmarkierte Kante zu nächsten Knoten nicht Brückenkanten nach Möglichkeit immer vorzuziehen solange weiterwandern, bis alle Kanten eingeschlossen sind Laufzeit: O(n 2 ) Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

35 Eulerpfad/-kreis Algorithmus von Hierholzer wähle beliebigen Startknoten konstruiere beliebigen Kreis, der keine doppelte Kante besitzt konstruiere an ersten Eckpunkt des Kreises, der noch freie Kanten hat, einen neuen Kreis und füge ihn in den Alten ein dieser Kreis darf keine bisherige Kante besitzen und ebenfalls keine Kante 2 mal durchlaufen wiederhole, bis es keine freien Kanten mehr gibt Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

36 Eulerpfad/-kreis Algorithmus von Hierholzer wähle beliebigen Startknoten konstruiere beliebigen Kreis, der keine doppelte Kante besitzt konstruiere an ersten Eckpunkt des Kreises, der noch freie Kanten hat, einen neuen Kreis und füge ihn in den Alten ein dieser Kreis darf keine bisherige Kante besitzen und ebenfalls keine Kante 2 mal durchlaufen wiederhole, bis es keine freien Kanten mehr gibt Laufzeit: O(n) Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

37 Eulerpfad/-kreis Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

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39 Eulerpfad/-kreis Trivia: Für das Haus vom Nikolaus gibt es ohne Spiegelungen 44 Lösungen. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

40 Hamiltonkreis Definition Geschlossener Pfad, der alle Knoten eines Graphen genau einmal enthält. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

41 Hamiltonkreis Definition Geschlossener Pfad, der alle Knoten eines Graphen genau einmal enthält. Existenz und Form NP-Vollständig d.h. eines von 21 komplexesten und vermutlich nicht effizent zu lösenden Probleme der Informatik. Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

42 Hamiltonkreis Zugehörige Sätze aus Wikipedia Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

43 Hamiltonkreis Sonstige Hinreichende Eigenschaften vollständig und n >= 3 Kantengraph eines Euler- oder Hamiltongraphen besitzt Teilgraphen, bei dem nur Kanten entfernt wurden, der Kantengraph eines Euler- oder Hamiltongraphen ist panzyklischer Graph Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

44 Hamiltonkreis Notwendige Eigenschaften kein Schnittknoten vorhanden keine Brücke vorhanden der Blockgraph ist ein isolierter Knoten besitzt 2-Faktor ist 2-zusammenhängend Minimalgrad >= 2 Durchmesser <= n/2 ist 1-tough und path-tough Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

45 Problem des Handelsreisenden Spezialfall des Hamilton Kreises: Finden eines Minimalen Hamilton-Kreises doku.php/templates:dynamische_programmierung# traveling_salesman_problemaufwand_o_n_n_2_n Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22

46 Fragen Fragen? Werner Sembach Graphalgorithmen II / 22