Robertson-Walker Metrik

Transkript

1 3. Eine Metrik für das Universum: Robertson-Walker Metrik Kosmologisches Prinzip: Die Welt ist homogen und isotrop, d.h. das Universum sieht (zu einem bestimmten Zeitpunkt) von allen Orten aus gleich aus! Dies gilt nicht nur für die Massendichte, sondern auch in Bezug auf die chemische Zusammensetzung der Sterne, auf Häufigkeit der Sterntypen etc. Welche Zeit? Wessen Zeit?

2 Spezielle Relativitätstheorie: Konzept der Zeit ist klar, wenn man das Inertialsystem festlegt (es gibt globale Inertialsysteme). Allgemeine Relativitätstheorie: Es gibt kein globales Inertialsystem. (Es sei denn, die Raumzeit ist flach!). Man kann einem Ereignis keine eindeutige Zeit zuordnen! Konzept der dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen!

3 Kosmologische Flüssigkeit : Betrachte die Menge aller Galaxien (besser: die Massenmittelpunkte von Galaxien-Clustern) als homogene Flüssigkeit. Bewegung dieser Flüssigkeit = kosmologischer Fluss

4 Weyl Postulat: Die 4-dim. Raumzeit, in der unser Weltall existiert, ist zerlegbar in dreidimensionale Hyperflächen konstanter Zeit (Foliation). Die Teilchen der kosmologischen Flüssigkeit (Galaxien-Cluster) bewegen sich auf Geodäten, die auf den einzelnen Blättern der Foliation (das sind 3-dim. räumliche Mannigfaltigkeiten) senkrecht stehen.

5 Homogenität des Raumes: Durch jedes Ereignis im Universum geht eine homogene raumartige Hyperfläche Die physikalischen Gegebenheiten (Dichte und Druck) sind in allen Ereignissen der Hyperfläche gleich. Isotropie des Raumes: Ein Beobachter, welcher sich mit der kosmologischen Flüssigkeit bewegt, kann durch keine physikalische Messung zwischen verschiedenen Raumrichtungen unterscheiden. Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit schneiden die homogenen raumartigen Hyperflächen senkrecht!

6 mit Metrik R 2 (t) γ ij (x k )dx i dx j mit Metrik γ ij (x k )dx i dx j (1.) Wähle eine homogene raumartige Hyperlfäche S I aus und versehe diese mit einem räumlichen Koordinatennetz (x 1, x 2, x 3 ). (2.) Ordne allen Ereignissen auf dieser Hyperfläche die Koordinatenzeit t i zu. (3.) Verschiebe die Hyperfläche S I entlang der Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit und ordne allen Ereignissen auf einer Weltlinie diejenige räumlichen Koordinaten (x 1, x 2, x 3 ) zu, bei welchen diese die Hyperfläche S I schneidet! Parametrisiere die Weltlinie mit reellem Paramter t (x 1, x 2, x 3 ) = const. S I x 0 = t = t i + const.

7 Metrik (Geometrie) auf S I : γ ij (x k )dx i dx j Metrik der Raumzeit in comoving coordinates : ds 2 = c 2 dt 2 - a 2 (t) γ ij (x k ) dx i dx j universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor mit a(t 0 ) = 1

8 Der Weg zur Robertson-Walker Metrik 1.) Isotropie: Denn: gäbe es Terme, dann würden räumliche Verschiebungen dx k und dx k mit unterschiedlichem Vorzeichen zu ds 2 über ein kleines Zeitintervall dt beitragen wird durch Isotropie verboten! Stromlinien / Weltlinien der kosmischen Flüssigkeit stehen senkrecht auf den homogen raumartigen Hyperflächen.

9 2.) Die Weltlinien der kosmischen Materie sind zeitartige Geodäten. d.h. Galaxien-Cluster sind frei fallende Teilchen, bewegen sich also frei im Gravitationsfeld der übrigen Materie. g 00 hängt nur von x 0 ab. neue Zeitkoordinate

10 3.) Damit die räumliche Isotropie erhalten bleibt, muss die Zeitabhängigkeit für alle Komponenten von dieselbe sein: In einem Blatt fester Zeit t 0 sei die räumliche Metrik universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor mit a(t 0 ) = 1

11 Beschreibt die Form aller homogenen raumartigen Hyperflächen (nicht nur der anfänglichen zum Zeitpunkt t 0 )

12 Hubble Law Expected if universe is undergoing homogeneous and isotropic expansion scale factor a(t) 1 r 12 r 23 r 31 3 (from

13 4.) Bestimmung der möglichen räumlichen 3- Geometrien für homogene, isotrope räumliche Hyperflächen. muss um jeden Punkt, und damit speziell um den Koordinatenursprung isotrop sein d.h. es besteht Kugelsymmetrie um den Ursprung; Ansatz (anlog zur Herleitung der Schwarzschildlösung): ρ = radiale Koordinate die so gewählt wurde, dass der Umfang eines Kreises um den Ursprung mit Radius ρ gerade 2πρ wird.

14 Forderung nach Homogenität = Isotropie um jeden Punkt Krümmungsskalar von muss an allen Raumpunkten eines zu einem beliebigen Zeitpunkt t gehörenden Blattes den selben Wert haben. Wenn ein Raum existiert, der homogen und um jeden Punkt isotrop ist, dann muss die räumliche Metrik folgende Form haben:

15 R = radius of the sphere ρ r

16 RW-Metrik: ds 2 = c 2 dt 2 dl 2 ( ) dρ dl 2 = a 2 2 (t) 1 K 0 ρ + 2 ρ2 dω 2 dimensionsloser Skalenfaktor mit a(t 0 ) = 1 ρ hat Dimension der Länge K 0 (Dim. Länge) 2 3 Fälle: K 0 < 0, K 0 = 0, K 0 > 0 Einführung einer dimensionslosen Variablen: 1 K 0 ρ 2 =: kρ 2 mit k = 0 1 K 0 =: k R 2 0 ρ = ρ R 0, ρ = R 0 ρ ( ) R dl 2 = a 2 2 (t) 0 dρ 2 1 kρ + 2 R2 0 ρ 2 dω 2 ( ) dρ dl 2 = a 2 (t)r kρ + 2 ρ 2 dω 2 R(t) = a(t)r 0 mit a(t 0 ) = 1 R(t 0 ) = R 0 K(t) = k R 2 (t) Krümmung zum Zeitpunkt t Wir betrachen nacheinander die 3 Fälle k = 1, 0, 1: 1

17 (i) Universum mit k = 1: Einführung einer neuen Koordinate r: ( ) r ρ = sin r = R 0 arcsin(ρ ) R 0 dρ = 1 ( ) r cos dr = 1 ( ) 1 sin 2 r dr R 0 R 0 R 0 R 0 = 1 R 0 1 ρ 2 dr dr 2 = R2 0 dρ 2 1 ρ 2 Damit erhält man: ( ) ] dl 2 = a 2 (t) [dr 2 + R 20 rr0 sin2 dω 2 ( ) χ := r R 0 ist eine Winkelvariable siehe Kugel Beh: (*) ist die Metrik der sogenannten Dreisphäre S 3 mit Radius R = ar 0 im 4 dim euklidischen Raum, d.h. die 3-dim. Oberfläche der 4-dim. Kugel mit Radius R = ar 0 Begründung: Betrachte: Einbettung der 3-Geometrie im 4-dim. euklid. Raum. Gleichung der Dreisphäre mit Radius R im R 4 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = R 2 Ansatz, der diese Bedingung erfüllt: w = R cos χ z = R sin χ cos θ y = R sin χ sin θ sin φ x = R sin χ sin θ cos φ dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 + dw 2 2

18 Wir halten die radiale Koordinate bei R = ar 0 fest: dw = R sin χdχ dz = R(cos χ cos θdχ sin χ sin θdθ) dy = R(cos χ sin θ sin φdχ + sin χ cos θ sin φdθ + sin χ sin θ cos φdφ) dx = R(cos χ sin θ cos φdχ + sin χ cos θ cos φdθ sin χ sin θ sin φdφ) dl 2 = g χχ dχ 2 + g θθ dθ 2 + g φφ dφ 2 g χχ = R 2 g θθ = R 2 sin 2 χ g θθ = R 2 sin 2 χ sin 2 θ dl 2 = R 2( ) dχ 2 + sin 2 χ (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) }{{} =dω 2 = R 2 (dχ 2 + sin 2 χdω 2 ) R = ar 0 ; r = R 0 χ dl 2 = a 2 (R 2 0 dχ2 + R 2 0 sin2 χdω 2 ) = a 2 [ dr 2 + R 2 0 sin 2 ( r R 0 ) dω 2 ] Wähle speziell φ = 0 und φ = π siehe Bild 3

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20 y Koordinate verschwindet w = R cos χ z = R sin χ cos θ x = R sin χ sin θ 2 dim. Kugeloberfläche mit Radius R im R3 χ übernimmt die Rolle des Polarwinkels ( geogr. Breite ) θ geogr. Länge (a) 2 dim Fläche mit konstantem χ = 2 dim Kugeloberfläche mit Fläche 4πR 2 sin 2 χ (θ, φ) = Standard-Kugelkoordinaten auf dieser Kugel (b) 0 χ π Wenn man χ von 0 nach π anwachsen lässt, bewegt man sich vom Nordpol der Hyperfläche durch aufeinanderfolgende 2-dim. Kugelflächen ( Shells ) mit Fläche 4πR 2 sin 2 χ (sehen im Bild wie Kreise aus). Die Fläche der Kugeln nimmt zunächst schnell zu, dann jedoch langsamer, bis man den Äquator der Hyperfläche bei χ = π erreicht. 2 Vergrößert man χ weiter über π hinaus, dann verkleinert sich 2 die Fläche wieder, zunächst langsam, dann schneller bis man den Südpol erreicht (χ = π, Fläche = 0) Die gesamte Hyperfläche wird überdeckt durch 0 χ π χ = r R 0 = ar R 0 θ π 0 φ 2π R = ar 0 φ ist zyklisch: φ = 0 wird mit φ = 2π identifiziert. 3dim Volumen: V = Rdχ(R sin χdθ)(r sin χ sin θdφ) = π 0 = 2π 2 R 3 4πR 3 sin 2 χdχ Ein Weltall mit k = 1 bezeichnet man als geschlossen bzw. sphärisch. Es ist offensichtlich homogen und isotrop. 4

21 (ii) Universum mit k = 0 ( räumlich flaches Universum ) dl 2 = a 2 (t)[r 2 0 dρ 2 + R 2 0 ρ 2 dω 2 ] neue Koordinate r: r = R 0 ρ dl 2 = a 2 (t)(dr 2 + r 2 dω 2 ) mit dω 2 = dθ 2 + sin 2 θdφ 2 3-dim. euklidischer Raum, beschrieben durch sphärische Koordinaten ist klarerweise isotrop und homogen! Die gesamte Hyperfläche ergibt sich aus und hat unendliches Volumen. 0 r < 0 θ π 0 φ 2π Ein Weltall mit k = 0 bezeichnet man als flach. 5

22 (iii) Universum mit negativer räumlicher Krümmung k = 1: neue Koordinate r : [ ] R dl 2 = a 2 2 (t) 0 dρ ρ + 2 R2 0 ρ 2 dω 2 ρ = sinh( r R 0 ), r = R 0 arsinh(ρ ) dρ = 1 R 0 cosh( r R 0 )dr = 1 R sinh 2 ( r R 0 ) dr = 1 R ρ 2 dr dρ 2 = 1 (1 + ρ 2 )dr 2 R0 2 dr 2 = R2 0 dρ ρ 2 dl 2 = a 2 (t)[dr 2 + R 2 0 sinh2 ( r R 0 )dω 2 ] Diese 3-Geometrie lässt sich nicht in einen 4dim Euklidischen Raum einbetten. Sie lässt sich jedoch in einen flachen Minkowski-Raum einbetten: mit dl 2 = dw 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 w = R cosh χ χ = r R 0 z = R sinh χ cos θ x = R sinh χ sin θ cos φ y = R sinh χ sin θ sin φ w 2 x 2 y 2 z 2 = R 2 6

23 Diese Besziehungen beschreiben die Fläche eines 3-dim. Hyperboloids in einem 4-dim Minkowski-Raum. Die Homogenität und Isotropie dieses Raumes folgt aus der Tatsache, dass man durch Lorentz-Transformationen in dem 4-dim Einbettungsraum jeden Punkt des 3-dim Hyperboloids und jede Richtung durch diesen Punkt in jeden anderen Punkt und jede andere Richtung überführen kann, ohne dass sich das Linienelement dl 2 verändert. (a) 2-dim. Fäche mit konstantem χ = 2-dim Kugelfläche mit der Fläche 4πR 2 sinh 2 χ, (θ, φ) = Standard Kugelkoordinaten auf dieser Kugelfläche. (b) Lässt man χ von 0 bis anwachsen, so durchläuft man nacheinander 2-dim. Kugelschalen mit stets wachsender Fläche 4πR 2 sinh 2 χ. Diese wächst für große χ schneller als im flachen Fall. Die gesamte Hyperfläche wird aufgespannt durch und hat unendliches Volumen. 0 χ < 0 θ π 0 φ 2π 7

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25 Zusammenfassung: Robertson Walker Metrik

26 2 R 0 = Krümmungsradius (heute); hat Dimension der Länge

27 Parameter der RW-Metrik: (dimensionsloser) Skalenfaktor a(t) Krümmung (heute): K 0 = k / R 0 2 Mitbewegte Koordinaten: (r, θ, φ ) (comoving coordinates) Label, die fest mit den Galaxien-Clustern verbunden sind und sich daher zeitlich nicht ändern! θ, φ gewöhnliche Polarkoordinaten, z.b. RA, dec r l(t) = a(t) r Mitbewegte radiale Koordinate (Entferung), unabh. von t, = physikalische Entfernung heute radiale Entfernung zur Epoche t (proper radial distance)

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29 4. Kinematik der RW Metrik Ergebnisse, die unabhängig von der genauen From von a(t) sind; 4.1 Rotverschiebung Def.: z = λ 0 λ e λ e λ e = emittierte Wellenlänge λ 0 = beobachtete Wellenlänge Erinnerung: Spezielle Relativitätstheorie 1 + z = 1 + v c 1 v c 1 + v c für v c 1 z v c für v c 1 Kosmologische Rotverschiebung: Betrachte ein Wellenpaket mit der Frequenz ν 1, das im Zeitintervall [t e, t e + t e ] emittiert wird. Das Wellenpaket werden vom Beobachter auf der Erde im Zeitintervall [t 0, t 0 + t 0 ] empfangen. Das Wellenpaket bewegt sich auf einer Null-Geodäten: ds 2 = 0. Weiterhin können wir annehmen, dass θ = const. und φ = const. (da wir von einem homogenen Universum ausgehen). ds 2 = 0 dθ = dφ = 0 r = r(t) dt = 1 a(t) dr c Minuszeichen: da Beobachter im Koordinatenursprung sitzt ; 8

30 Erde Wellenpaket Galaxie ( r(t), e, e ) (0,0,0) (r e, e, e ) Das Signal läuft auf einer Null-Geodäten ( null cone ) ds 2 = 0 Betrachte die Vorderflanke und die Hinterflanke des Wellenpaketes: t0 t e c a(t) dt = 0 r dr = t0 + t 0 t e+ t e c a(t) dt t0 t e c a(t) dt = t0 t e c a(t) dt te+ t e t e c a(t) dt + t0 + t 0 t 0 c a(t) dt te+ t e t e dt a(t) = t0 + t 0 t 0 dt a(t) ( ) Beachte: 9

31 Zeitskala der Expansion = Hubble Zeit: 1 H 0 14 Gyr s Zeit zwischen Vorderflanke und Hinterflanke des Wellenpakets (für sichtbares Licht): λ c s H 0 a(t) ist praktisch konstant in ( ) t e a(t e ) = t 0 a(t 0 ) t 0 = a(t 0) t e a(t e ) Ist a 0 := a(t 0 ) > a(t e ) t 0 > t e (kosmologische Zeitdilatation). Mit t e = 1 ν e Periode der emittierten Welle t 0 = 1 ν 0 Periode der empfangenen Welle erhält man ν 0 = ν e a(t e ) a 0 λ 0 = λ e a 0 a(t e ) 1 + z = a 0 a(t e ) = 1 a(t e ) 10

32 Kosmologische Rotverschiebung: Maß für den Skalenfaktor des Universums zum Zeitpunkt der Emission des Wellenpaketes. Beispiel: Galaxie bei Rotverschiebung z = 2: Wir sehen die Galaxie so, wie diese aussah, als der Skalenfaktor des Universums den Wert a(t e ) = z = 1 3 hatte. Die Rotverschiebung z einer weit entfernten Galaxie hängt nicht davon ab, wie der Übergang zwischen a(t e) und a(t 0 ) stattfindet (langsam und stetig oder plötzlich). Wichtig ist nur der Wert des Skalenfaktors zum Zeitpunkt der Emission t e und zum Zeitpunkt der Beobachtung t 0. 11