Ferienkurs Experimentalphysik III

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1 Ferienkurs Experimentalphysik III Vorlesung Dienstag - Spiegel, Linsen und optische Geräte Monika Beil, Michael Schreier 28. Juli 2009 Inhaltsverzeichnis Grundbegrie 2 2 Spiegel 2 3 Linsen 3 3. Brechung an Sphärischen Oberächen Dünne Linsen Vorzeichenkonvention Dicke Linsen Linsensyteme und Hauptebenen Optische Instrumente 7 4. Vergröÿerung Bildhelligkeit Schärfentiefe Die Lupe Brillen Mikroskop Teleskop Auösungsvermögen optischer Geräte

2 Grundbegrie Bevor wir uns weiter mit dem Thema befassen ist es sinnvoll einige Begriichkeiten einzuführen Die optische Abbildung Die optische Abbildung bezeichnet die Erzeugung eines Bildes durch Spiegel, Linsen und andere optische Geräte. Man spricht von einem reellen Bild wenn an dessen Ort tatsachlich Lichstrahlen auftreen. Als ein virtuelles Bild bezeichnet man hingegen den gedachten (interpolierten) Ort an dem das Objekt zu stehen scheint. Brennweite Als Brennweite f bezeichnet man diejenige Gröÿe eines abbildenden Systems die angibt an welchem Ort parallel eintreende Strahlen fokussiert werden. 2 Spiegel Für einen reektierten Strahl gilt bekanntermaÿen Ausfallswinkel=Einfallswinkel. Die Behandlung ebener Spiegel hat sich mit dieser einen Gesetzmäÿigkeit eigentlich erledigt, komplizierter wird es aber für gekrümmte Flächen. Hier hängt der absolute Reexionswinkel zusätzlich vom Ort der Reexion ab. Einen häugen Spezialfall stellen dabei die sphärischen Spiegel dar. 2

3 Für parallel einfallendes Licht gilt wegen der Gleichschenkligkeit des Dreieck M F S Für achsennahe Strahlen (h R) ist also MF = R 2 cos α OF = R MF ( = R ) 2 cos α es gilt cos α = sin 2 α, sin α = h ( R ) R OF = f = R 2 R 2 h 2 f = R 2 Für den Fall eines auf der Achse liegenden, nahen Objekts gilt nun tan γ = h g, tan β = h b, sin δ = h R, γ + β = 2δ Mit der Näherung für kleine Winkel tan α sin α α folgt g + ( 2 ) b R f Wie sich zeigen wird gilt dieser Zusammenhang auch für Linsen, die wir im Anschluss behandeln werden. 3 Linsen 3. Brechung an Sphärischen Oberächen Wie wir schon beim sphärischen Spiegel gesehen haben haben gekrümmte Flächen die Eigenschaft Licht zu fokussieren. Um diesen Eekt näher zu untersuchen betrachten wir zunächst die Brechung von Licht an einer Sphärischen Grenzschicht. 3

4 Für parall einfallendes Licht entnehmen wir der Zeichnung den Zusammenhang h =R sin α = f sin γ sin α sin(α β) R = f γ=α β = n sin α = n 2 sin β, cos ( ) n2 f R n 2 n sin α sin α cos β cos α sin β R Liegt das Objekt auf der optischen Achse und nah an der Grenzäche, so gilt α = δ + ɛ, β = δ γ tan ɛ ɛ h g sin δ δ h R 3.2 Dünne Linsen tan γ γ h f n sin α = n 2 sin β n α = n 2 β n (δ + ɛ) = n 2 (δ γ) n g + n 2 b = n 2 n R = n 2 f Die Behandlung von Linsen gestaltet sich nach dieser Vorarbeit relativ einfach, jedoch müssen wir zwischen zwei Typen von Linsen unterscheiden. Für dünne Linsen gilt dass deren Dicke d vernachlässigbar gegenüber deren Krümmungsradien R, R 2 ist. Nehmen wir die vorherigen Ergebnisse zu Hilfe so gilt n g + n 2 = n 2 n b R g 2 = b n 2 b + n 3 b = n 3 n 2 R 2 n g + n 3 b = n 2 n R + n 3 n 2 R 2 4

5 Meist bendet sich die Linse in Luft, so dass gilt n = n 3 =, n 2 = n, womit folgt g + ( = (n ) ) = b R R 2 f Für die Brennweite einer dünnen Linse gilt also f = ( ) R R 2 n R 2 R 3.2. Vorzeichenkonvention Bie allen Rechungen in der Optik ist jedoch zu beachten dass viele Gröÿen Richtungsabhängig sind. So gilt für den Radius einer Linse, dass dieser positiv für konvexe und negativ für konkave (aus Sicht der Durchlaufrichtung) ist. Für einen von links nach rechts durch ein System laufenden Strahl gilt überdies Gröÿe +/ Ort des Objekts relativ zur Linse/Spiegel Gegenstandsweite g + links gegenstandsseitige Brennweite f g + links Bildweite b + rechts bildseitige Brennweite f g + rechts Da Spiegel den Lichtstrahl reektieren gelten für sie umgekehrte Vorzeichen bei den Radien und alle Abstände (b und g) vor der Linse werden positiv gerechnet. 3.3 Dicke Linsen Bei dicken Linsen muss man den Wegunterschied den das Licht zwischen der ersten und der zweiten Grenzäche zurücklegt mitberücksichtigen. Die Rechnung ändert sich dadurch aber nur quantitativ n g + n 2 = n 2 n b R g 2 = (b d) n 2 b d + n 3 b = n 3 n 2 n g + n 3 b = R 2 ( n2 n R + n 3 n 2 R 2 ) + n 2 d b (b d) 5

6 Für eine dicke Linse in Luft ergibt sich so nach etwas Rechnerei g + ( = (n ) ) (n )d + = b R R 2 nr R 2 f 3.3. Linsensyteme und Hauptebenen Werden mehrere Linsen hintereinander durchleuchtet, so ist es im allgemeinen deutlich schwerer den Lichtweg zu konstruieren und zu berechnen. Als Hilfe können dabei die Hauptebenen dienen. Hat man die Hauptebenen bestimmt so kann man rechnerisch und für Konstruktionen davon ausgehen dass das Licht nur an ihnen gebrochen wird. Der einfachste Weg die Lage der Hauptebenen in einem System zu bestimmen besteht darin das Licht parallel einfallen zu lassen. Wegen der Identikation von H mit g und H 2 mit b kan man für parallel einfallendes Licht von links (rechts) g (b ) mit f = b + g g b = f b b g = f g die Lage der Hauptebenen bestimmen. Für eine dicke Linse folgt also(vgl. Zeichnung) (n )fd h = nr 2 (n )fd h 2 = nr Mit diesen beiden Orten als Bezugspunkte (anstatt der Linsenmitte) wird auch für dicke Linsen die Linsengleichung zu f = b + g. Für die Kombination zweier Linsen gilt bei parallel einfallendem Licht b = f g 2 = D f b 2 = (D f )f 2 D f f 2. Die Gesamtbrennweite des Systems ergibt sich also zu f = f f 2 D f + f 2 D 6

7 was sich umformen lässt in f = f + f 2 D f f 2 Für D f,2 gilt dass sich die reziproken Brennweiten D i = f i der Linsen addieren. 4 Optische Instrumente Für die Behandlung von optischen Instrumenten essenziel ist die deutliche/konventionelle Sehweite s 0 deren Wert man aus einer Betrachtung des menschlichen Auges erhält. 4. Vergröÿerung s 0 = 25cm Da in aller Regel das von einem optischen System erzeugte Bild nicht die selbe Gröÿe wie das Original besitzt betrachten wir nun die vergröÿerneden bzw. verkleinernden Eigenschaften von Linsen. Man unterscheidet hierbei zwischen transversaler Vergröÿerung V T und longitudinaler Vergröÿerung V L. B und G bezeichnen im Folgenden die Gröÿe der Objekte. V T = B G = b g V L = f 2 (g f) 2 Die transversale Vergröÿerung gibt also die naiv interpretierte Vergröÿerung an, während V L die Verbreiterung des Objekts Beschreibt. Zusätzlich dazu gelten die Zusammenhänge V L = db dg = V T 2 b g = f f g. Analog zu diesen beiden Gröÿen gibt es noch die Winkelvergröÿerung V ɛ = Es gilt V ɛ b g = V T. Sehwinkel ɛ mit Instrument Sehwinkel ɛ. 0 ohne Instrument 7

8 4.2 Bildhelligkeit Der Durchmesser einer Linse oder auch vorgeschaltete Blenden haben entscheidenden Einuss auf die Lichtstärke optischer Instrumente. Für die Helligkeit H gilt folgender Zusammenhang gilt nun g f B 2 = f 2 g 2 tan β β = D g H β2 B 2 folgt für die Helligkeit H D2 f 2 Besonders in der Fotographie wird hier häug von der Blende oder F-Zahl gesprochen F = D f H F 2 annimmt. Mit jeder höheren Blende halbiert sich also die Bildhel- wobei F die Werte 2 n 2 ligkeit. 4.3 Schärfentiefe Da eine Linse für nur an einem Ort ein scharfes Bild darstellt, gilt auch umgekehrt der Zusammenhang, dass für einen festen Abstand Schirm-Linse nur Objekte bestimmten Abstands von der Linse scharf dargestellt werden. Die Schärfentiefe bezeichnet dabei das Verhältnis des scharf dargestellten Bereichs zu dessen mittleren Abstand von der Linse. 8

9 Zur leichteren Rechnung führen wir noch die Gröÿen b = b v b und g = g g v ein. Aus dem Strahlensatz folgt nun der Zusammenhang u/2 b = D/2 b + b D/2 b u = D b b Mit der longitudinalen Vergröÿerung und der Nähernug g f ergibt sich somit g V L = b, V L ( ) f 2 g g = g2 g2 ub b = f 2 f 2 wegen g f b f folgt D g g = ug Df = ugf f 2 Oft ist u vorgegeben durch z.b. die Körnigkeit B 0 des verwendeten Films. 4.4 Die Lupe Das wohl einfachste optische Instrument stellt die Lupe dar. Mit einer einzelnen Linse werden hier Objekte vergröÿert. 9

10 Für die Vergröÿerung einer Lupe gilt V = tan ɛ = B/b = s 0 tan ɛ 0 G/s 0 g Liegt das zu betrachtende Objekt zudem in der Brennebene gilt V = s 0 f Aus Abbildungsgründen spricht man hier auch von einer Betrachtung mit entspanntem Auge 4.5 Brillen Brillen stellen ebenfalls eines der einfacheren optischen Instrumente dar. Für die hier oft verwendete Gröÿe Dioptrin gilt D := f. Generell unterscheidet man zwischen Kurzsichtigkeit: Die Brille entwirft von einem Gegenstand im Unendlichen ein virtuelles Bild in der Entfernung s max, in der ein Kurzsichtiger gerade noch scharf sehen kann g s max = f D < 0 Weitsichtigkeit: Die Brille muss einen nahen Gegenstand g auf eine Mindestentfernung s min abbilden g + = s min f D > Mikroskop Bei einem Mikroskop wird eine Linse mit kurzer Brennweite (Objektiv) mit einer Linse mit hoher Brennweite (Okular) kombiniert. Für ein scharfes Bild muss der Gegenstand vom Objektiv in die Brenebene des Okulars abgebildet werden. 0

11 Für die Vergröÿernug des Objektivs gilt V Ob = b ( g = b ) f Ob b = b f Ob f Ob (Streng genommem gilt V Ob = b g, dies wird aber meist nicht berücksichtigt) Hier wird nun häug der Begri der Tubuslänge t verwendet, der den Abstand der beiden Brennweiten voneinander angibt. Hier also t = b f Ob. Damit wird unsere Formel zu V Ob = t f Ob Für das Okular gilt wegen der Abbildung in das Auge V Ok = s 0 f Ok Die Gesamtvergröÿerung des Systems ergibt sich durch Multipliaktion der Einzelvergröÿerungen zu V M = V Ob V Ok = ts 0 f Ob f Ok Da f Ob meist sehr klein ist t b ndet man dies auch in der äquivalenten Form V M = (d f Ok)s 0 f Ob f Ok, d = b + f Ok. 4.7 Teleskop Bei einem Fernrohr tauschen Objektiv und Okular im Vergelich zum Mikroskop ihre Rollen

12 Als Vergröÿerung erhalten wir nach 4. V F = ɛ ɛ 0 Wegen sin ɛ ɛ = B f 2 und sin ɛ 0 ɛ 0 = B f ergibt sich V F = f f 2 = f Ob f Ok Als Okular kann auch eine Zerstreulinse dienen, dann geht f Ok in f Ok über. Fernrohre erhöhen dabei auch die Lichtintensität der abzubildenden Objekte. Es gilt dann für die Intensität pro Fläche I I ( D D 2 ) 2 = ( Dein D aus ) 2 = 4.8 Auösungsvermögen optischer Geräte ( ) 2 fob = VF 2 f Ok Unter dem Auösungsvermögen versteht man den minmalen Winkel α unter dem man zwei Punkte gerade noch trennen kann. Wichtig hierfür sind neben der Geometrie der Anordnung, die betrachtete Wellenlänge λ und die Gröÿe des Lichteinlasses (Durchmesser der Pupille, Linse,... ). Man unterschiedet hier zwischen zwei Kriterien Dawes-Kriterium α = arcsin λ D λ D Reyleigh-Kriterium α = arcsin.22 λ D.22 λ D Das häuger verwendete Reyleigh-Kriterium wird auch bei Spaltversuchen verwendet, D bezeichnet dann die Spaltbreite. Bilder entnommen aus Wolfgang Demtröder - Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik 2