Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

Transkript

1 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 26. Oktober 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

2 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander paarweise zugeordnet sind, spricht man von verbundenen Stichproben. Diese entstehen z.b. dann, wenn man jeweils zwei Merkmale an einund demselben statistischen Objekt beobachtet. Beispiele: Messwerte für die Wirkungen jeweils zweier Medikamente für ein- und dieselben Patienten; Wert der Bestellungen einer Kundengruppe vor (1. Stichprobe) und nach (2. Stichprobe) einer Werbeaktion. Die mathematische Modellierung erfolgt über zwei endliche Folgen X 1, X 2,..., X n und Y 1, Y 2,..., Y n von jeweils n Zufallsgrößen. Dabei sind die Zufallsgrößen innerhalb einer Folge stochastisch unabhängig, aber für jedes i = 1,..., n können die Zufallsgrößen X i und Y i abhängig sein. Eine verbundene (mathematische) Stichprobe wird also durch unabhängige Zufallsvektoren (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) modelliert. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

3 Mittelwertvergleich verbundene normalverteilte Stichproben Geg.: zwei abh. Merkmale X N(µ X, σ 2 X ), Y N(µ Y, σ 2 Y ) ; entsprechend verbundene Stichprobe vom Umfang n, d.h. (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ). Grundlage: Ist der Zufallsvektor (X, Y ) normalverteilt, dann ist die Differenz D = X Y normalverteilt mit dem Erwartungswert Ein Test zum Beispiel mit kann dann als Test µ D = ED = EX EY = µ X µ Y. H 0 : µ X = µ Y, H A : µ X µ Y, H 0 : µ D = 0, H A : µ D 0, für die normalverteilte Stichprobe D 1,..., D n (t Test). durchgeführt werden Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

4 Test für die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses I Sei p die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A. { 1, falls ω A ; Die Zufallsgröße X mit X (ω) = 0, sonst, ist Bernoulli-verteilt mit Parameter p. Eine Stichprobe X 1,..., X n vom Umfang n besteht aus den Ergebnissen von n unabhängigen Wiederholungen dieses Versuches, d.h. tritt beim i-ten Versuch A ein, setzt man X i = 1, ansonsten X i = 0. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

5 Test für die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses II Hypothesen: H 0 : p = p 0, H A : p p 0 (zweiseitiger Test). Testgröße: T = nx np 0 np0 (1 p 0 ) (die Verteilung von T konvergiert unter H 0 nx = n i=1 X i gegen N(0, 1) für n ). ist die absolute Häufigkeit des Eintretens von A bei den n Versuchswiederholungen; X ist die relative Häufigkeit. (Hinweis: Bezeichnung in Formelsammlung: X = n i=1 X i = nx.) Kritischer Bereich: K α = {t R : t > z 1 α/2 }. Dies ist ein asymptotischer Test, d.h. er funktioniert nur für große n (Faustregel: np 0 (1 p 0 ) 9). Analog können einseitige Tests durchgeführt werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

6 Beispiel: Ausschussprozentsatz Buchsen In der Gütekontrolle einer Automatendreherei wird ein Posten Buchsen ausgeliefert. Es soll zum Signifikanzniveau α = 0.01 festgestellt werden, ob der zulässige Ausschussprozentsatz von 5% nicht überschritten wird. Ein Kontrolleur entnimmt dem Posten eine Stichprobe vom Umfang n = 500 und untersucht an den einzelnen Teilen als wichtigstes Merkmal den Buchsenansatz. Bei 30 Buchsen liegt der Messwert für den Buchsenansatz nicht innerhalb der vorgeschriebenen Toleranzen, sie sind Ausschuss. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

7 Fortsetzung Beispiel: Ausschussprozentsatz Buchsen X i ist Bernoulli-verteilt mit Parameter p, n = 500, nx = 30, d.h. ˆp = x = H 0 : p 0.05, H A : p > 0.05 ; α = T = nx np 0 np0 (1 p 0 ) ; t = = K = {t R : t > z 1 α } = (z 0.99, ) = (2.326, ). t K H 0 wird nicht abgelehnt, die Abweichungen sind nicht signifikant. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

8 Vergleich von Wahrscheinlichkeiten, unabh. Stichproben I X 1i Bernoulli-verteilt mit Parameter p 1, i = 1,..., n 1 und unabhängig davon X 2i Bernoulli-verteilt mit Parameter p 2, i = 1,..., n 2. Hypothesen: H 0 : p 1 = p 2, H A : p 1 p 2 (zweiseitiger Test). X 1 X 2 Testgröße: T = ( ) mit X (1 X ) n1 n2 X 1 = 1 n 1 X 1i, X 2 = 1 n 2 X 2i, n 1 n 2 X = n 1 i=1 i=1 X 1i + n 2 X 2i i=1 i=1 = n 1X 1 + n 2 X 2. n 1 + n 2 n 1 + n 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

9 Vergleich von Wahrscheinlichkeiten, unabh. Stichproben II Kritischer Bereich: K = {t R : t > z 1 α/2 }. Test ist asymptotisch, d.h. er gilt nur für große n 1 und n 2 ; Faustregel: n 1 50, n 2 50, (n 1 + n 2 )x > 5, (n 1 + n 2 )(1 x) > 5. Analog können einseitige Tests durchgeführt werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

10 4.2 Verteilungsfreie, nichtparametrische oder parameterfreie Tests Parameterfreie Tests benötigen oft nur geringe Voraussetzungen. Parameterfreie Tests werden z.b. angewendet, wenn nicht ein Parameter eines bestimmten Verteilungstyps (wie z.b. der Erwartungswert einer Normalverteilung) überprüft werden soll, oder man gar nicht von einem bestimmten Verteilungstyp (z.b. Normalverteilung) der Zufallsgröße ausgehen kann, oder wenn der Stichprobenumfang n klein ist, oder wenn nur ordinale Daten vorliegen. Gibt es allerdings zum Verteilungstyp der Grundgesamtheit einen entsprechenden parametrischen Test, dann besitzt dieser häufig eine bessere Güte, d.h. er lehnt die Nullhypothese öfter ab, wenn sie falsch ist. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

11 Vorzeichentest (auch Zeichentest) Der Vorzeichentest (auch Zeichentest) kann für Einstichprobenoder Zweistichprobenprobleme verwendet werden. Im Einstichprobenfall dient er z.b. als Test für den Median der Verteilung. Im Zweistichprobenfall dient er unter anderem zum Lagevergleich verbundener Stichproben und kann den t Test für zwei verbundene Stichproben bei nichtnormalverteilten Grundgesamtheiten ersetzen. Grundlage: Für den Median X 0.5 einer stetigen Zufallsgröße gelten P(X < X 0.5 ) = 0.5 und P(X > X 0.5 ) = 0.5. Voraussetzung: Stichprobe X 1,..., X n mit stetiger Verteilungsfunktion F X für die Zufallsgrößen X i ; M sei ein hypothetischer Wert für den Median der Verteilung. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

12 Vorzeichentest für Median Hypothesen: H 0 : X 0.5 = M, H A : X 0.5 M (zweiseit. Test). { Y + 1, falls Xi > M, i := 0, falls X i < M. Test für kleine n : n Testgröße: T = i=1 Y + i H 0 Bin(n, 0.5). Kritischer Bereich: K = {0, 1,..., c} {n c,..., n}, c ( n so dass )2 n α2 c+1 i, ( ) n 2 n > α (Binomialtest). i 2 i=0 Test für große n (n 20) : Testgröße: T = 1 n (2 n i=1 Y + i i=0 n Kritischer Bereich: K = {t R : t > z1 α/2 }. ). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

13 Beispiel Vorzeichentest für Median: Mietspiegel Es soll überprüft werden, ob der Median der Quadratmetermiete für Wohnungen unter 50 m 2, die nach 1983 gebaut wurden, größer ist als der aus einer anderen Stadt bekannte Wert von 8 e/m 2! Daten: (Quelle: Fahrmeier, Künstler, Pigeot, Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse, 2007, S.444), n = 11 : Hypothesen: H 0 : X 0.5 = 8, H A : X 0.5 > 8 ; α = Wert der Testgröße T : t = 9. Kritischer ( Bereich: K = {9, 10, 11}, da (11 ) ( ) ( ) ) = , aber ( (11 ) ( ) ( ) ( ) ) = H 0 wird abgelehnt, der Median ist signifikant größer. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

14 Vorzeichentest für verbundene Stichprobe Voraussetzung: Verbundene Stichprobe (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ), so dass die Differenzzufallsgrößen D i = X i Y i eine stetige Verteilungsfunktion F D besitzen. Man bildet Differenzen: D i = X i Y i, i = 1,..., n. Hypothesen: H 0 : D 0.5 = 0, H A : D (zweiseitiger Test). Man verwendet den Vorzeichentest von oben zur Stichprobe der Differenzen D 1,..., D n mit M = 0. Treten Stichprobenwerte auf, die mit M übereinstimmen, können diese (z.b.) weggelassen werden. Dann bleibt der Test konservativ, d.h. die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art wird nicht vergrößert. Vorzeichentests können auch für nichtstetige Zufallsgrößen durchgeführt werden. Dann testet man z.b. die Hypothese H 0 : P(D > 0) = P(D < 0). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

15 Beispiel: Returns von 2 Fonds Returns in % von 2 Fonds (Fond A, Fond B) in 15 Monaten. Daten: (Quelle: Aczel, Sounderpandian: Complete Business Statistics, 2006, S.645) A: B: Aufgabe: Durchführung des Vorzeichentest zur Untersuchung, ob beide Fonds gleich sind. 4 Monate A > B ; 1 Monat A = B ; 10 Monate A < B. Hypothesen: H 0 : D 0.5 = 0, H A : D mit D = A B. Kritischer Bereich für n = 14 = 15 1, α = 0.05 : K = {0, 1, 2} {12, 13, 14}. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

16 Vorzeichen-Rangtest nach Wilcoxon Mit dem Vorzeichen-Rangtest (Symmetrie-Test) nach Wilcoxon (oder Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest) kann man die Verteilung einer Zufallsgröße auf Symmetrie untersuchen. Die Verteilung von X ist symmetrisch zum Punkt M falls für beliebige x R gilt: P(X < M x) = P(X > M + x). In diesem Fall ist M auch der Median der Zufallsgröße. Ist für zwei verbundene Stichproben die Differenzzufallsgröße symmetrisch zum Median verteilt, kann der Test für stetige Differenzzufallsgrößen wie der einfache Vorzeichentest für verbundene Stichproben durchgeführt werden, d.h. z.b. H 0 : D 0.5 = 0, H A : D Die Güte dieses Tests ist besser als die Güte eines entsprechenden einfachen Vorzeichentests, da hier die Größe der Differenzen mit berücksichtigt wird. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

17 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest: Rangzahlen Vorgehen: Man ordnet die Beträge der Differenzen und vergibt Rangzahlen R + i. Dabei erhält der kleinste Wert die Rangzahl 1 und der größte Wert die Rangzahl n. Tritt ein Wert mehrfach auf, erhalten (z.b.) alle diese Werte den arithmetischen Mittelwert der zugehörigen Ordnungsnummern als Rangzahl. Außerdem verwendet man die Indikatorgrößen { 1, falls Di > 0, Z i := 0, falls D i < 0. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

18 Beispiel: Bestellungen vor und nach einer Werbeaktion Wert von Bestellungen vor und nach einer Werbeaktion: vor (X i ) nach (Y i ) Differenz (D i = X i Y i ) Beträge Differenz Ordnungsnummern Rangzahlen (R + i ) Indikatorgrößen Z i Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

19 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest: Testgröße, krit. Bereich Testgröße: T = W + n := Es gilt n R + i = i=1 n i = i=1 n R + i Z i. i=1 n(n + 1) 2 Kritischer Bereich: K = {t : t w + n;α/2 } {t : t w + n,1 α/2 }. Die Quantile w + n;α/2 und w + n,1 α/2 kann man aus Tabellen ablesen (z.b. im Anhang der Formelsammlung). Es gilt w + n(n + 1) n,1 α/2 = w + 2 n;α/2. Für große n (n 20) gilt: T = W n + n(n+1) 4 n(n+1)(2n+1) 24 ist näherungsweise standardnormalverteilt Quantile der Standardnormalverteilung können genutzt werden.. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober

20 Beispiel: Bestellungen vor und nach einer Werbeaktion Wert von Bestellungen vor und nach einer Werbeaktion: vor (X i ) nach (Y i ) Differenz (D i = X i Y i ) Beträge Differenz Rangzahlen (R + i ) Indikatorgrößen Z i H 0 : D 0.5 = 0, H A : D ; α = 0.1. Aus der Tabelle: w 5;0.95 = w 5;0.05 = 15 0 = 15 K = {0} {15}. W + 5 = = 12 K H 0 wird nicht abgelehnt, die Unterschiede sind nicht signifikant. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 25. Oktober