Die Binomialverteilung

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Christel Kruse
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1 Anhand verschiedener Fragen möchten wir heute klären, was man unter der Binomialverteilung versteht: z.b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel bei 0-maligen Werfen genau -mal eine zu werfen Der Bernoulliversuch Frage: Was versteht man unter einem Bernoulliversuch Definition: Ein Bernoulliversuch ist ein Zufallsversuch mit möglichen Versuchsausgängen. Der Versuchsausgang "Erfolg" tritt mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der Versuchsausgang "Misserfolg" geschieht mit der Wahrscheinlichkeit q = - p. Beispiel: Ziehen aus einer Urne mit 3 roten und blauen Kugeln p = 0, und q =0, Ergebnisse rot blau Wahrscheinlichkeit 0, 0, Bemerkung: Ein Zufallsversuch heißt Bernolliversuch, wenn die Ergebnismenge zweielementig gewählt werden kann. S = {e, e} Es kann also jeder Zufallsversuch als Bernoulliversuch interpretiert werden. Beispiel: Ziehen aus einer Urne mit 3 roten, blauen und grünen Kugeln S = {rot, nicht rot} mit p = 0,3 und q = 0,7 Ergebnisse Wahrscheinlichkeit rot 0,3 nicht rot 0,7 Beispiele: Fußballspiel: Sieg oder kein Sieg Würfel: gerade oder ungerade Definition: Eine Zufallsgröße heißt Bernoulligröße, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung den Wert mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und den Wert 0 mit der Misserfolgswahrscheinlichkeit -p annimmt. X = x i P(X = x i ) 0, 0 0, Definition: Die n-fache Realisierung eines Bernoulliexperimentes mit konstanter Wahrscheinlichkeit p heißt Bernolli-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. (n-maliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen) Bemerkung: Ein mehrstufiger Zufallsversuch ist nur dann eine Bernoullikette, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bleibt und die Anzahl der Stufen konstant ist. Beispiele: Zufallsversuch: 0-maliges Würfeln eines Tetraeders Zufallsgröße: X beschreibt die Anzahl der geworfenen Einsen Zufallsversuch: Aus einer Kiste mit sehr vielen Transistoren werden 0 Stück entnommen und geprüft, ob sie defekt sind Zufallsgröße: X beschreibt die Anzahl der defekten Transistoren (Seite )

2 Beispiel: Ein Sportler führt Freiwürfe durch. Er trifft jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0%. X beschreibt die Anzahl der Treffer Die Zufallsgröße nimmt folgende Werte an. X = x i P(X = x i ) 0 3 Die Wahrscheinlichkeiten werden wir jetzt analysieren. Bemerkung: Für einer Bernoullikette nimmt die Zufallsgröße X die Werte 0; ;...; n an. Ein Baumdiagramm könnte so aussehen: Bemerkung: Für einen Pfad würde beispielsweise gelten: P(A) = ( ) ( ) (Seite )

3 Das wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Würfe Treffer sind und die beiden letzten Würfe keinen Treffer erbringen. Die Frage stellt sich, wie viele Pfade es gibt, sodass genau -mal getroffen wird. Diese Frage können wir bereits beantworten... EEMM ; EMEM ; EMME ; MEEM ; MEME ; MMEE. Es sind also fade. Der Binomialkoeffizient und die Binomialverteilung Problem: Wir wissen noch nicht, wie viele Pfade i.a. zu einem Ereignis einer Bernoullikette gehören. Bei Bernoullikette der Länge n mit den Ausgängen "Erfolg" und "Misserfolg" gibt es n k = n! k!(n k)! Möglichkeiten, dass genau k mal Erfolg und n-k mal Misserfolg vorhanden ist. Sprechweise: n über k Aufgabe: Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten: 0 ; ; ; 3 ; Lösung: 0 = ; = ; = ; 3 = ; = Diese Zahlen können wir jetzt die vollständige Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Bernoullikette angeben. Satz: Für eine Bernoullikette mit den Parametern n und p gilt: P(X = k) = n k p k ( p) n k Bemerkung: Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Dafür schreibt man manchmal ein großes B mit den Parametern n und p im Index. B n;p (k) = n k p k ( p) n k (Seite 3)

4 Beispiel : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel bei -maligen Werfen genau 3 mal eine zu werfen X... Zufallsgröße, die die Anzahl der Sechsen beschreibt X ist binomialverteilt n = und p = / P(X = 3) = B 0, (3) = ( )( 3 )3 ( ) l 0, 03 Beispiel : Ein Schüler hat für einen "Multiple-Choice-Test" nicht gelernt. Der Test besteht aus 0 Fragen mit je vier Antworten. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mindestens die Hälfte der Fragen richtig beantwortet. Analyse: Es handelt sich um eine Bernoullikette mit den Parametern n = 0 und p = 0,. Die Zufallsgröße X kann die Werte von 0 bis 0 annehmen. Das Ereignis entspricht den Zahlen bis 0. P(Xm) = P(X = ) + P(X = ) P(X = 0) = B 0;0. () + B 0;0. () + B 0;0. (7) + B 0;0. (8) + B 0;0. (9) + B 0;0. (0) = 0 0, 0, , 0, , 0 = 0, 078 = 7, 8% Der Schüler beantwortet mit 7,8 % Sicherheit mindestens die Hälfte der Fragen richtig. Beispiel 3: Ein Spieler setzt beim Roulette 0-mal nacheinander auf rot. Ereignis A: Es erscheint genau -mal rot. Ereignis B: Es erscheint mindestens -mal rot. Ereignis C: Es erscheint mindestens -mal rot. p = 8 P(A) = P(X = ) = P(C) = P(Xm) = P(X = 0) l 0, P(B) = P(Xm)l0, 89 = 9 l 0, Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass genau -mal rot erscheint, beträgt, %. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens -mal rot erscheint, beträgt 8,9 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens -mal rot erscheint, beträgt 99,87 %. (Seite )

5 Wahrscheinlichkeitsverteilung eine binomialverteilten Zufallsgröße Beispiel: Ein Sportler führt Freiwürfe durch. Er trifft jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0%. X beschreibt die Anzahl der Treffer Beispiel: Die Binomialverteilung P(X = 0) = B ;0, (0) = 0 0, 0 0, 9 = 0, P(X = ) = B ;0, () = 0, 0, 9 3 = 0, 9 P(X = ) = B ;0, () = 0, 0, 9 = 0, 08 P(X = 3) = B ;0, (3) = 3 0, 3 0, 9 = 0, 003 P(X = ) = B ;0, () = 0, 0, 9 0 = 0, 000 Wahrscheinlichkeitsverteilung: X = k 0 3 P(X = k) 0, 0, 9 0, 08 0, 003 0, 000 Bemerkung: Die Verteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße heißt Binomialverteilung. Geeignete Darstellungen sind Histogramme. Können Sie jetzt unsere Ausgangsfrage beantworten Dann hätten Sie das Thema verstanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel bei 0-maligen Werfen genau -mal eine zu werfen P(X = ) = B 0; () = 0 8 l 0, 907 (Seite )

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