Regelungstechnik I (WS 17/18) Übung 5

Transkript

1 Regelungtechnik I (WS 17/18) Übung 5 Prof. Dr. Ing. habil. Thoma Meurer, Lehrtuhl für Regelungtechnik Aufgabe 1. Gegeben it die Übertragungfunktion der Regeltrecke ĝ() = ( + 1). Betimmen Sie mittel de Frequenzkennlinienverfahren einen geeigneten Regler o, da die folgenden Anforderungen an den gechloenen Regelkrei ü = 18% t r.6 e r(t)=σ(t) = erfüllt werden. Aufgabe 2. Gegeben it die Strecke ĝ() = 1 ( + 1)( ). Skizzieren Sie da Bodediagramm von ĝ() auf beiliegendem Blatt. Berechnen Sie anchließend die Parameter eine Regler ĝ r () der Form ĝ r () = V (T + 1) T R + 1 o, da der gechloene Regelkrei folgende Anforderungen erfüllt: t r = ü = 1 % e r(t)=σ(t) =. Dabei oll für die Zeitkontante T R de Realiierungpol T R 1 angenommen werden, womit dieer Pol für die Aulegung der Parameter T und V nicht berückichtigt werden mu. Wählen Sie zum Schlu einen geeigneten Parameter T R. Überprüfen Sie die Eigenchaften de gechloenen Kreie durch Simulation der Sprungantwort in MATLAB. 1

2 Aufgabe 3. Gegeben it die Strecke ĝ() = 2 2 ( +.1) ( ) ( + 3) für die ein geeigneter Regler o entworfen werden oll, da die folgenden Anforderungen an den gechloenen Krei erfüllt werden: t r = 1 ü = % e r(t)=σ(t) =. Skizzieren Sie dazu zunächt handchriftlich da Bodediagramm der Strecke auf beiliegendem Blatt. Überprüfen Sie die Eigenchaften de gechloenen Kreie durch Simulation der Sprungantwort. Analyieren Sie die Stabilität de gechloenen Kreie mittel eine geeigneten Kriterium. 2

3 Löung 1 (zu Aufgabe 1). Gegeben it die Übertragungfunktion ĝ() = ( + 1) Die Normalform der Übertragungfunktion de offenen Regelkreie it ˆl() = ĝr ()ĝ() = V ẑl() ρˆn l () e Tt = ẑ r () 3 (1 + ) ˆn r (). Die Anforderungen an den gechloenen Regelkrei lauten ) ü = 18[%] = 7[ ] φ (ˆl(jωc ) [ ] t r =.6 = 1.5 ω c 1 1 e r=σ = lim 1+ˆl() = Darau ergeben ich die Anforderungen an ˆl(jω): Durchtrittfrequenz: ω c = = 2.5 ˆl(jω c ) = 1 = db Integralanteil: ρ = 1 Soll-Phaenreerve: φ oll = 7 ü = 52 Betimmung der It-Phaenreerve: arg(ĝ(jω c )) = arctan (25) π arctan (2.5) π φ it = arg (ĝ(jω c )) ( 18 ) Somit muß die Phae in ω = ω c = 2.5 um die Differenz φ = φ it φ oll = = nach unten verchoben werden. Die oll im Folgenden mit Hilfe eine lag-gliede ĝ r () = V r 1 + T 1 + ηt, η > 1 realiiert werden. Die beiden Entwurffreiheitgrade T, η werden hierzu wie folgt betimmt: Argument der maximalen Phaenverchiebung: ω max = 1 T η! = ω c ( ) maximale Phaenverchiebung 1 : ϕ max = arctan η 1 arctan( ( ) η) = arctan 1 η Damit erhält man durch Gleichetzen von ϕ max = φ tan( φ) = 1 η 2 η η η tan( φ) 1 = η = 2 η ( ) 2 tan( φ) ± tan( φ) arctan(x) arctan(y) = arctan ( x y 1+xy ) für xy > 1. 3

4 Nun gilt, da für η < 1 ein Lead-Glied zur Anhebung der Phae und für η > 1 ein Lag-Glied zum Abenken der Phae vorliegt. Eine genauere Betrachtung der Löungen η au der obigen Gleichung ergbit ( 2 ( 2 tan( φ) + tan( φ) 2 + 1) tan( φ) tan( φ) 2 + 1). Da die Phae abgeenkt werden mu (η > 1) wird daher die zweite Löung genommen, d.h. η = ( 2 tan( φ) tan( φ) 2 + 1). Mit φ = und ω c = 2.5 folt omit η = , T = 1 ω c η = Um die geforderte Durchtrittfrequenz ω c = 2.5 zu erhalten wird nun noch V r betimmt: 1 + j ˆl(jω c ) = ĝ r (j 2.5) ĝ(j 2.5) = 1 V r 1 + j ĝ(j 2.5) = 1 V r = Bode Diagram 5 Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/) Abb. 5.1: Bodediagram für den offenen Regelkrei ˆl(jω) = ĝ r (jω)ĝ(jω). 4

5 1.4 Step Repone Amplitude Time (econd) Abb. 5.2: Sprungantwort für den gechloenen Regelkrei au Aufgabe

6 Löung 2 (zu Aufgabe 2). Gegeben it die Übertragungfunktion der Strecke ĝ() = 1 ( ) (1 + ) Die Knickfrequenzen für da Bodediagramm ind ω 1,2 = 1, ω 3 = 2 1. Die Amplituden- und Phaenverläufe der Einzelübertragungfunktionen und der Reultierenden ind im Bodediagramm in Abb. 5.3 dargetellt. Bode Diagram 5 PT-1 I-Glied Magnitude (db) 5 1 PT-1 reult. 15 Phae (deg) 9 18 PT-1 I-Glied reult. PT Frequency (rad/) Abb. 5.3: Bodediagramm zu Aufgabe 5.2. Die Anforderungen an den gechloenen Regelkrei lauten ü = 1[%] = 7[ ] φ(ˆl(jω c ))[ ] t r = = ω c 1 1 e r=σ = lim 1+ˆl() = 6

7 Darau ergiben ich die Kenngrößen ω c = 1.5 t r = 2 1 ˆl(jω c ) = 1 ρ = 1 φ = 7 ü = 6 Zunächt wird die It-Phae in ω c = 2 1 betimmt arg(ĝ(jω c )) = π 2 arctan (ω c) arctan (1) [rad] }{{} π/4 φ(ĝ(jω c )) = 22.5, φ = 37.5 Die Phae mu alo in ω c um 37.5 angehoben werden. Hierfür kann z.b. ein PD-Regler ĝ r () = V r(1 + T ) 1 + T R verwendet werden. Für die Phae de Regler bei ω c mu omit gelten 2 arg(ĝ r (jω c )) = arg(1 + jω c T ) = arctan(ω c T ) = 37.5 T = 1 ( ) π tan ω c 36 = Der Vertärkungfaktor V r wird nun o betimmt, da die Durchtrittfrequenz bei ω c = 2 1 liegt: ( ) 1 =! 1 + j ( ) ˆl(jω c ) = V r ( ) ( ( )) j j 2 1 (1 + j) = V 1 + j r ( ) ( ( )) j 2 1 (1 + j) ( ) = V r ( ) ( ) worau folgt, da V r =.53. Abchließend mu T R für da Realiierungglied gewählt werden. Der Einfluß de Realierungterm auf da Übertragungverhalten de offenen Regelkreie it in Abb. 5.4 dargetellt. 2 Fall T R klein gegen die kleinte Zeitkontante der Strecke it, kann der Einfluß de Realiierungterm bei der Regleraulegung vernachläigt werden. 7

8 Bode Diagram 5 Magnitude (db) Phae (deg) 18 T R = 1 2 T R = 1 3 T R = 1 4 T R = Frequency 1 1 (rad/) Abb. 5.4: Einfluß de Realiierungterm auf da Übertragungverhalten de offenen Regelkreie in Aufgabe 5.2. E wird hier T R = 1 4 gewählt. Die Sprungantwort für dieen Fall it in Abb. 5.5 dargetellt. 8

9 1.4 Step Repone Amplitude Time (econd) Abb. 5.5: Sprungantwort für den gechloenen Regelkrei au Aufgabe

10 Löung 3 (zu Aufgabe 3). Die Übertragungfunktion und ihre Normaldartellung it wie folgt: 2 2 ( +.1) ĝ() = ( )( + 3) = 1 3 ( }{{} ζ ( ) 2 + ( 2 ) 2 ) ( ) Der Anteil der Gleichvertärkung in Dezibel it 2 log(1/3)db = dB. Die Reonanzüberhöhung berechnet ich zu 4 log ( 2ζ ) = 2 db Hiermit reultiert da in Abb. 5.6 dargetellte Bodediagramm. 1 Bode Diagram Magnitude (db) 5 reult. PD PT-1 PT-2 Phae (deg) 5 9 reult. PD 9 PT-1 PT Frequency 1 (rad/) Abb. 5.6: Bodediagramm der Strecke au Aufgabe 5.3. Die Anforderungen an den gechloenen Regelkrei lauten t r = 1[] ω c = = 1.5 ü = [%] φ(ˆl(jω c )) = 7 1

11 e r=σ = ρ = 1 Da e ich um ein chwingungfähige Sytem handelt (die Übertragungfunktion enthält ein PT-2 Glied) kann die Anforderungen ü = nur mittel eine Komponeationregler erreicht werden. E ergibt ich ( ĝ r () = V + ( ) 2 ) 2 r Dieer Regler it jedoch nicht realiierbar (Nennergrad größer Zählergrad), wehalb ein Realierungterm eingeführt und der folgende Regler verwendet wird: ( ĝ r () = V + ( ) 2 ) 2 r. (1 + T ) Somit lautet die Übertragungfunktion de offenen Kreie ( ) V r 1 + ˆl() =.1 3 ( 1 + ). 3 (1 + T ) Die Zeitkontante T wird über die Soll-Phae in ω c betimmt: arg(ˆl(jω c )) = arctan (15) π ( ) 1 2 arctan arctan (1.5T ) = 11 2π 2 36 T = Die Gleichvertärkung V r de Regler wird über die geforderte Durchtrittfrequenz eingetellt: ˆl(jω c ) = 1 = V r 1 + j ωc.1 3 ω c 1 + j ωc V r = jω c T 11

12 1 ĝ r () Bode Diagram Magnitude (db) 5 5 ˆl() ĝ(jω) 1 9 Phae (deg) 9 ĝ(jω) ˆl() ĝ r () Frequency (rad/) 1 Step Repone Amplitude Time (econd) Abb. 5.7: Oben: Bodediagramm für die Strecke (blau), den Regler (grün) und den offenen Regelkrei (rot). Unten: Sprungantwort de gechloenen Regelkreie. 12

13 Bode Diagram Frequency (rad/) Phae (deg) Magnitude (db) 13

14 Bode Diagram Frequency (rad/) Phae (deg) Magnitude (db) 14