Besprechung am /

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1 PN1 - Phyik 1 für Chemiker und Biologen Prof. J. Lipfert WS 018/19 Übungblatt 8 Übungblatt 8 Beprechung am / Aufgabe 1 Magnetiche Fetplatten, auch al HDD (Hard Drive Dik) bezeichnet, tellten eine Revolution in der Verarbeitung und Speicherung von Daten dar und werden heute noch in großen Mengen produziert und verwendet. Au dieem Grund wollen wir die Technik hinter olchen HDD, die auf phyikalichen Prozeen beruht, genauer betrachten. So verwendet auch der SuperMUC, ein ogenannter Supercomputer de Leibniz-Rechenzentrum (LRZ) der LMU/TUM, olche HDD die ich mit rpm (revolution per minute) drehen und erreichen diee Betriebrotation innerhalb von 4,7. Wir wollen un nun im Folgenden auf diee HDD beziehen. a) Unteruchen Sie zunächt die Fetplatten de SuperMUC am LRZ bezüglich der Größe ihrer Winkelgechwindigkeit owie ihrer durchchnittlichen Winkelbechleunigung und betimmen Sie dann wie viele Umdrehungen die Fetplatte während ihrer Bechleunigungzeit gemacht hat, um die rpm zu erreichen. Um die Winkelgechwindigkeit zu berechnen ermitteln wir zunächt die Frequenz: f = U min 60 min 166,7 U darau ergibt ich dann eine Winkelgechwindigkeit von: ω = πf rad = 166,7 Hz Al Nächte berechnen wir die durchchnittliche Winkelbechleunigung: ᾱ = ω rad = 4,7 0 rad,8 rad Die Umdrehungzahl, die die Fetplatte zum Hochdrehen benötigt, errechnet ich über den Geamtwinkel, der über die Bechleunigungphae übertrichen wurde: θ = θ 0 + ω 0 t + 1 ᾱ t = 0 rad + 0 rad 4,7 + 1,8 rad Und die Anzahl der Geamtumdrehungen errechnet ich omit zu: Umdrehungen = θ 461 rad = π rad π rad 391 (4,7 ) 461 rad 1

2 b) Al Nächte berechnen Sie die Tangentialgechwindigkeit der Scheibe unter dem Leekopf, wenn dieer ich,5 cm von der Drehache der Scheibe entfernt befindet, und die lineare Bechleunigung diee Punkte unter dem Leekopf. Die Tangentialgechwindigkeit eine Punkte, der ich,5 cm von der Drehache entfernt befindet, beträgt: v = R ω =,5 10 m rad 6 m Die lineare Bechleunigung etzt ich au zwei Komponenten zuammen, einem tangentialen und einem radialen Anteil. Da jedoch ω nach der Bechleunigungphae kontant it folgt, da α = 0 und omit: a tan = R α = 0 Die Radialbechleunigung und omit in dieem Fall auch die geamte Linearbechleunigung zur Drehache hin beträgt: a = a rad = R ω =,5 10 m (1 047 rad ), m c) Wie viele Bit kann der Schreibkopf dieer Fetplatten pro Sekunde chreiben, wenn dieer ich jetzt 3,4 cm von der Drehache entfernt befindet und für ein einzelne Bit ca. 4,7 µm Spurlänge entlang der Bewegungrichtung benötigt werden? Da jede Bit 4,7 µm Spurlänge benötigt, mu man die Spurlänge die innerhalb einer Sekunde bei einer Tangentialgechwindigkeit von v = R ω = 35, 6 m am Schreibkopf vorbeilaufen berechnen und diee durch die benötigte Spurlänge eine Bit teilen. Somit können mit dieen Hochleitungfetplatten 35, 6 m 4, m 7,6 106 Bit pro Sekunde bechrieben werden Aufgabe Karuell Calypo Bei den vielen großen Fahrgechäften auf der Wien werden die kleineren Attraktionen häufig überehen. So auch da Karuell Calypo au den Fünfzigern, da auf der Oidn Wien teht. In dem Karuell itzt man in einem kleinen runden Flugzeug. Jeweil drei Flugzeuge ergeben ein Flugzeugelement und auf dem Karuell befinden ich drei Flugzeugelemente. Abb. zeigt da Karuell au der Vogelperpektive. Die Flugzeuge, owie die Flugzeugelemente können ich um die eigene Ache drehen. Außerdem dreht ich natürlich auch noch der Karuellboden. Der Karuellboden und die Flugzeugelemente (ohne Flugzeuge) können al Zylinder genähert werden. Da Trägheitmoment der Flugzeuge it gegeben.

3 Abbildung 1: Aufgabe - Calypo a) Berechnen Sie da Tra gheitmoment de geamten Karuell. Hinwei: Nehmen Sie an, da owohl die Flugzeuge, al auch die Flugzeugelemente frei um ihre jeweiligen Achen rotieren ko nnen. Demzufolge ko nnen Sie da geamte Flugzeugelement al Punktmae mit Abtand Re betrachten. Lo ung: 1 IZylinder = MR Fu r eine Punktmae, die um eine Ache im Abtand R gedreht wird gilt: IPunktmae = MR 1 IKaruellboden = mk rk = kg m Flugzeugelement mit 3 Flugzeugen al Punktmae: IPunktmae = (mflugzeugelement + 3 mflugzeug ) Re = kg m Ige = IKaruellboden + 3 IPunktmae = kg m 3

4 Abbildung : Aufgabe - Karuell au der Vogelperpektive Radiu de Karuellboden: r K = 10 m Radiu der Flugzeugelemente: r e = 3.0 m Ditanz vom Karuelmittelpunkt zum Flugzeugelementmittelpunkt: R e = 6.0 m Ditanz vom Flugzeugelementmittelpunkt zum Flugzeugmittelpunkt: R f = 1.5 m Mae Karuelboden: m K =.0 t Mae Flugzeugelement: m FE = 300 kg Mae Flugzeug: m F = 100 kg Trägheitmoment Flugzeug bei Drehung um die eigene Ache: I F = 15 kg m 4

5 b) Um die Fahrt raanter zu getalten haben die Betreiber de Karuell die Möglichkeit die Flugzeuge und die Flugzeugelemente zu blockieren, oda ie ich nicht mehr drehen können. Wie ändert ich da Trägheitmoment de Karuell wenn beide blockiert it? Hinwei: Verwenden Sie den Steinerchen Satz zunächt für die Flugzeugelemente und dann erneut für da geamte Karuell. Berechnen wir zunächt da Trägheitmoment eine einzelnen Flugzeuge, wenn e um die Ache de Flugzeugelement gedreht wird: I Flugzeug = I Flugzeug,0 + m F R f = 15 kg m + 5 kg m = 40 kg m Für da Trägheitmoment de Flugzeugelement erhalten wir: I Flugzeugelement,0 = 1 m FE r e + 3 I Flugzeug = 1350 kg m + 70 kg m = 070 kg m Nun wird der Steinerche Satz da zweite mal angewendet. Da Flugzeugelement dreht ich um den Karuellmittelpunkt. E gilt alo: I Flugzeugelement = I Flugzeugelement,0 + (m FE + 3 m F ) R e = 070 kg m kg m = kg m Für da geamte Karuell gilt: I ge = I Karuellboden + 3 I Flugzeugelement = kg m kg m = kg m c) Da Karuell oll nun durch ein Pferd bechleunigt werden. Da Pferd wiegt 800 kg und zieht für 5 min mit einer kontanten Leitung von 5 PS. Mit wie vielen rpm dreht ich da Karuell am Ende de Bechleunigungvorgang? Rechnen Sie mit dem Trägheitmoment au Teilaufgabe b). E ge = P t = W 300 = 1.1 MJ Mit dem Energieerhaltungatz erhalten wir: E ge = E kin,pferd + E rot,karuel = 1 mv + 1 I Karuel ω = 1 mω r + 1 I Karuel ω ω = E ge mr K + I Karuel f = 0.48 Hz = 9 rpm 5 = 3.0 1

6 Aufgabe 3 In der folgenden Aufgabe oll eine Gleichung hergeleitet werden mit der die Höhe berechnet werden kann, die eine Rakete im Erdgravitationfeld erreicht. Hierfür nehmen wir an, da der Treibtoff mit einer kontanten Gechwindigkeit relativ zur Rakete augetoßen wird und, da der Maentrom de Treibtoff kontant it. Zum Zeitpunkt t hat die Rakete die Mae m und Gechwindigkeit v. Abbildung 3: Aufgabe 3 - Rakete zum Zeitpunkt t und t + a) Nehmen Sie zunächt der Einfachheit halber an, da die Rakete nicht kontinuierlich Treibtoff autößt, ondern in kurzen Zeitabchnitten kleine Treibtoffpakete m. Leiten Sie nun einen Audruck für p = p(t + ) p(t) her. Hinwei 1: Nutzen Sie Abb. 3 und definieren Sie Gechwindigkeiten nach recht al poitiv und nach link al negativ. Hinwei : Stellen Sie einen Audruck für die Gechwindigkeit mit der der Treibtoff im Bezugytem der Rakete augetoßen wird auf und vereinfachen Sie Ihre Gleichung damit. p = p(t + ) p(t) = (m m) (v + v) + m ( v T ) m v = m v + m v m v m v m v T m v = m v m (v + v + v T ) Die Rakete und der Treibtoff bewegen ich aueinander. Demzufolge it die Relativgechwindigkeit die Summe der beiden Gechwindigkeiten. Da der Treibtoff nach unten (bzw. link) augetoßen wird it die Gechwindigkeit negativ. Wir erhalten alo: v Schub = (v + v + v T ) p = m v + m v Schub b) Setzen Sie nun p in F A = p ein, wobei F A die Summe aller Kräfte, die von außen wirken it, und eretzen Sie die Differenzquotienten v und m im Grenzfall immer 6

7 kleiner werdender Zeitabchnitte durch die Ableitungen dv und. Wenn keine äußere Kraft anliegt (d.h. F A = 0) gilt Impulerhaltung und wir erhalten die Raketengleichung, die bereit au der Vorleung bekannt it. F A = p = m v + m v Schub F A = dp = m dv + v Schub c) Nun wollen wir da Gravitationfeld berückichtigen: F A = m g. Stellen Sie die Gleichung nach dv um und integrieren Sie, um einen Audruck für die Endgechwindigkeit v end zu erhalten. Hinwei: Integrieren Sie vom Startpunkt mit t = 0, m = m 0 und v = 0 bi zum Zeitpunkt bei dem der komplette Treibtoff augetoßen it mit t end, m end und v end. vend 0 m g = m dv + v Schub dv = g v Schub m tend mend dv = g v Schub m 0 m 0 v end = g t end + v Schub ln( m 0 m end ) d) Durch erneute Integrieren der Gechwindigkeit erhält man die Höhe, die die Rakete nach dem Bechleunigungvorgang hat mit: h end = v Schub m end [ mend 1 ln( m ] 0 ) 1 m 0 m end g t end Eine Rakete hat ein Gewicht m 0 = 500 t. 450 t davon ind Treibtoff, der mit einer Gechwindigkeit von v chub = 5500 m augetoßen wird. Der Geamte Treibtoff wird in 3 min verbrannt. Berechnen Sie die Höhe und Gechwindigkeit der Rakete nach dem Bechleunigungvorgang. Einetzen in die Formel für die Höhe bzw. Gechwindigkeit: = 450 t 180 = kg 1 h end = km v end = km km 1 7