Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik

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1 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 1995/96 Geltungsbereich: für Klassen 10 an - Mittelschulen - Förderschulen - Abendmittelschulen Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik Realschulabschluß Allgemeine Arbeitshinweise Die schriftliche Abschlußprüfung besteht aus 2 Teilen: Teil I - Pflichtaufgaben Teil II - Wahlaufgaben Vor der planmäßigen Arbeitszeit stehen Ihnen 15 Minuten zum Vertrautmachen mit den Aufgaben zur Verfügung. Die Arbeitszeit zur Lösung aller Aufgaben beträgt 240 Minuten. Für die Prüfungsarbeit können 40 Bewertungseinheiten erreicht werden. Davon werden 33 Bewertungseinheiten für den Pflichtteil und 7 Bewertungseinheiten für den Wahlteil vergeben. Es ist eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Wird mehr als eine Wahlaufgabe völlig richtig gelöst, so wird eine Bewertungseinheit zusätzlich erteilt. Eine Bewertungseinheit wird zusätzlich erteilt, wenn die Form mathematisch und äußerlich einwandfrei ist. Bei mehreren wesentlichen Verstößen gegen die Kriterien einer mathematisch einwandfreien Form wird eine Bewertungseinheit abgezogen. Erfolgen außerdem wesentliche Verstöße gegen die äußere Form, so wird eine weitere Bewertungseinheit abgezogen. Geometrische Konstruktionen und Zeichnungen sind auf unliniertem Papier auszuführen. Graphen von Funktionen sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Einheit 1 cm) auf Millimeterpapier darzustellen. Die Lösungsdarstellung muß einen erkennbaren Weg aufzeigen. Das Ergebnis ist hervorzuheben. Sie dürfen folgende Hilfsmittel verwenden: - Tabellen- und Formelsammlung ohne ausführliche Musterbeispiele sowie ohne Wissensspeicheranhang - nicht programmierbarer Taschenrechner - Zeichengeräte und Kurvenschablonen - Duden (Deutsche Rechtschreibung) Sign. 8/1/1

2 Teil I - Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Ein junger Arbeitnehmer verdient monatlich 2 500,00 DM Brutto. Welchen Nettoverdienst bekommt er ausgezahlt, wenn vom Bruttoverdienst 308,66 DM Lohnsteuer und alle Pflichtbeiträge, für die die nachfolgenden Beitragssätze gelten, abgezogen werden? Beitragssätze für Arbeitnehmer: Krankenversicherung Rentenversicherung Arbeitslosenversicherung Pflegeversicherung Solidaritätszuschlag 6,40 % vom Bruttolohn 9,30 % vom Bruttolohn 3,25 % vom Bruttolohn 1,00 % vom Bruttolohn 7,50 % von der Lohnsteuer Aufgabe 2 In einem Wohngebiet soll ein Park angelegt werden, der die in der Skizze dargestellte Form und die angegebenen Abmessungen hat. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parks. Sign. 8/1/2

3 Aufgabe 3 Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC. a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC, wenn die Seitenlänge 6 cm beträgt. b) Konstruieren Sie den Umkreis des Dreiecks ABC. c) Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei a. Zeigen Sie schrittweise, daß für die Länge der Höhe h gilt: h = 1 a 3. Fertigen Sie dazu eine Skizze an. 2 Aufgabe 4 Gegeben ist ein Fünfeck ABCDE mit A(2; 2), B(3; 2), C(4; 3), D(1; 4) und E(1; 3). a) Zeichnen Sie das Fünfeck ABCDE in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. (Längeneinheit im Koordinatensystem: 1 cm) b) Ein weiteres Fünfeck A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 sei ähnlich dem Fünfeck ABCDE. Zeichnen Sie das Fünfeck A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 in dasselbe Koordinatensystem, wenn für die Punkte A 1, B 1 und C 1 gilt: A 1 (4; 4); B 1 (6; 4); C 1 (8; 6). c) Ermitteln Sie die Flächeninhalte der beiden Fünfecke. Aufgabe 5 Gegeben sind die Funktionen f und g mit y = f(x) = x y = g(x) = x 1 (x R, x 0). 1 2 (x R, x 0) und a) Übernehmen Sie für die Funktion f die folgende Wertetabelle, und vervollständigen Sie diese. x 0 0, y 0,7 b) Stellen Sie für die Funktion g eine Wertetabelle mit mindestens vier Wertepaaren im Intervall 0 < x 4 auf. c) Zeichnen Sie die Graphen der Funktion f im Intervall 0 x 4 und der Funktion g im Intervall 0 < x 4 in ein und dasselbe Koordinatensystem. d) Beide Graphen schneiden einander im Punkt P. Geben Sie die Koordinaten von P an. Sign. 8/1/3

4 Aufgabe 6 a) Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichungen 2x x = 6 (x R) und 7 = 343 (x R). b) Schreiben Sie 6, als Dezimalbruch. c) In der Figur sei g h, und es sind gegeben: PD = 3,0 cm, DC = 1,8 cm, PB = 5,0 cm. Berechnen Sie die Länge der Strecke PA. d) Die Skizze zeigt das Zweitafelbild eines Körpers. Zeichnen Sie das Netz des Körpers. Sign. 8/1/4

5 Teil II - Wahlaufgaben Wahlaufgabe 7.1 Gegeben ist das Zufallsexperiment "Werfen eines Spielwürfels". Das zu beobachtende Merkmal sei die Augenzahl. Das Eintreten der jeweiligen Ergebnisse wird als gleichwahrscheinlich angenommen. a) Geben Sie die Ergebnismenge S an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der folgenden Ereignisse: E 1 : Augenzahl ist ungerade. E 2 : Augenzahl ist Primzahl. E 3 : Augenzahl ist gerade und durch 3 teilbar. c) Beschreiben Sie ein weiteres Ereignis E 4, dessen Wahrscheinlichkeit P(E ) 4 2 = beträgt. 3 d) Das Zufallsexperiment soll mal durchgeführt werden. Wieviel "Sechsen" sind ungefähr zu erwarten? Begründen Sie. Wahlaufgabe 7.2 In einem Werbeangebot bietet eine sächsiche Zeitung Briefkästen aus Aluminiumblech zum Verkauf an. Der Briefkasten ist eine nachgebildete amerikanische Mailbox. Die aufklappbare Frontfläche setzt sich aus einer Halbkreis- und einer Rechteckfläche zusammen. Berechnen Sie den Blechbedarf für einen Kasten, wenn für Falze, Überlappungen u. ä. 8 % Blech zusätzlich benötigt werden. Entnehmen Sie die Maße der Skizze. Sign. 8/1/5

6 Wahlaufgabe 7.3 Das Pumpspeicher-Kraftwerk Niederwartha, das von 1927 bis 1929 erbaut wurde, gibt in den Spitzenbelastungszeiten Elektroenergie an das Verbundnetz ab. Die Skizze zeigt das vereinfacht dargestellte Längsprofil der Rohrleitung, die vom oberen zum unteren Speicherbecken führt. a) Berechnen Sie die Gesamtlänge der Rohrleitung (von A bis D). b) Ein Hauptrohr der Rohrleitung (Innendurchmesser: 1,50 m) teilt sich im Maschinenhaus in zwei Rohre, deren Innendurchmesser gleich groß sind. Welchen Innendurchmesser hat jedes dieser Rohre, wenn die Summe der Inhalte beider Querschnittsflächen gleich dem Inhalt der Querschnittsfläche des Hauptrohres ist? c) Die beiden Speicherbecken fassen jeweils etwa 2 Millionen Kubikmeter Wasser. Der Wasserspiegel des unteren Beckens nimmt eine Fläche von 45 ha ein. Berechnen Sie die mittlere Wassertiefe des unteren Beckens unter der Annahme, daß die Uferböschungen senkrecht sind und das Becken mit der angegebenen Wassermenge gefüllt ist. Sign. 8/1/6