Elemente der Mathematik - Sommer 2016

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1 Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 9 ufgabe 31 (6 Punkte). Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal alle Dreiecke mit folgenden ngaben: (a) Umkreisradius r = 1.75cm, a = 3cm und h a = 2cm. (b) a = 3cm, h a = 2.5cm und s b = 1.75cm. Hinweis: Konstruieren Sie ein Parallelogramm. Lösung. eachten Sie: Grössen stimmen nicht, Proportionen jedoch schon. (a) 2 k 3 k 2 M k 1 a 1 p 1. Strecke a abtragen Punkte, 2. Kreis k 1 um mit Radius r 3. Kreis k 2 um mit Radius r Schnittpunkt M von k 1 und k 2 4. Kreis k 3 um M mit Radius r 5. Parallele p zu a mit bstand h a Schnittpunkte 1 und 2 von k 3 und p.

2 2 (b) D 1 E 1 a p k 1 E 2 D Strecke a abtragen Punkte, 2. Parallele p zu a mit bstand h a 3. Kreis k um mit Radius 2s b Schnittpunkte 1, D 2 von p und k 4. Mittelpunkt E 1 von D 1 5. Mittelpunkt E 2 von D 2 6. Schnittpunkt 1 von p und E 1 7. Schnittpunkt 2 von p und E 2 ufgabe 32 (6 Punkte). Es seien Punkte, und M gegeben, sodass M der Mittelpunkt der Strecke ist. (a) Zeigen Sie, dass jedes Dreieck, dessen Ecke auf dem Kreis um M mit Radius r = M liegt, rechtwinklig ist. (b) Verwenden Sie (a), um den Satz des Pythagoras aus dem Höhensatz zu folgern. Lösung.

3 3 (a) α β α M β Die Dreiecke M und M sind gleichschenklig und somit gilt M = α und M = β. Daraus folgt 2(α + β) = 2α + 2β = 180 (b) und somit γ = α + β = 90. Diese ussage wird auch als Satz von Thales bezeichnet. D c c E Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse c. Wir machen einen Kreis um mit Radius c und erhalten die Schnittpunkte D und E des Kreises mit der Gerade. Dann folgt aus (a), dass der Winkel ED ein rechter Winkel ist. Wir wenden den Höhensatz auf das Dreieck DE an. Es gilt dann a 2 = 2 = D E = (c b)(c + b) = c 2 b 2, also c 2 = a 2 + b 2.

4 4 ufgabe 33 (3 Punkte). eweisen Sie folgende ussage. Ein Dreieck wird durch seine Seitenhalbierenden in sechs kleinere Teildreiecke zerlegt, die untereinander den gleichen Flächeninhalt haben. Lösung. 5 4 M a 6 S Wir zeigen zunächst, dass M a und M a denselben Flächeninhalt besitzen. Dies gilt, weil beide dieselbe Seitenlänge M a = M a besitzen und die Höhen zu M a resp. M a ebenfalls gleich sind. Es gilt also = , wobei i, i {1,..., 6}, die Flächeninhalte wie oben dargestellt sind. Des Weiteren haben die Dreiecke S und S die gleiche Fläche, weil sie dieselbe Seite S haben und dieselbe Höhe zu S: H 1 M a 90 S H 2 90 Dies folgt daraus, dass die Dreiecke M a H 1 und H 2 M a kongruent sind (nach dem Kongruenzsatz WSW). Somit erhalten wir auch = us der ersten Gleichung können wir somit folgern, dass 3 = 4. nalog kann man zeigen, dass alle Flächeninhalte gleich sind.

5 ufgabe 34 (4 Punkte). Das Mittendreieck eines Dreiecks ist das Dreieck, dessen Ecken die Seitenmittelpunkte M a, und sind. (a) estimmen Sie den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des Mittendreiecks. Hinweis: Verwenden Sie ufgabe 24. (b) Folgern Sie, dass das Dreieck und dessen Mittendreieck dieselbe Eulersche Gerade besitzen. Lösung. (a) Wir behaupten, dass der Schwerpunkt des Mittendreiecks derselbe ist wie derjenige des Dreiecks. 5 M a Da : = 1 2 = M a :, folgt aus der Umkehrung des 1. Strahlensatzes (ufgabe 24 (a)), dass M und parallel sind. nalog erhält man, dass M a und parallel sind. Somit ist M a ein Parallelogramm. us ufgabe 27 (c) folgt, dass sich die Diagonalen M a und gegenseitig halbieren, d.h. die Seitenhalbierende zu des Mittendreiecks liegt auf der Seitenhalbierenden S a = M a. Da dasselbe auch für b und c gilt, stimmen die Schwerpunkte überein. Wir behaupten, dass der Höhenschnittpunkt des Mittendreiecks der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ist.

6 6 M a ma Da und parallel sind und m a senkrecht auf steht, steht m a auch senkrecht auf. Somit liegt die Höhe zu des Mittendreiecks auf m a. Da dasselbe für die anderen Höhen gilt, ist der Höhenschnittpunkt des Mittendreiecks genau der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von, also der Umkreismittelpunkt von. (b) Die Eulersche Gerade des Mittendreiecks ist die eindeutige Gerade durch dessen Schwerpunkt und dessen Höhenschnittpunkt, also die Gerade durch den Schwerpunkt und den Umkreismittelpunkt von. Dies ist aber genau die Eulersche Gerade von.