Abstract Data Structures

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1 Abstract Data Structures October 16, 2012 Algorithms & Datastructures 2 Exercises WS 2012 Dipl.-Ing. University Linz, Institute for Pervasive Computing Altenberger Straße 69, A-4040 Linz kurz@pervasive.jku.at

2 ADT Definition Ein ADT ist ein Datentyp (also eine Menge von Werten und eine Sammlung von Operationen auf diesen Werten), der nur über eine Schnittstelle zugänglich ist. beschreibt welche Daten verwaltet werden können beschreibt welche Operationen darauf ausgeführt werden können Die Schnittstelle (Interface) definiert die Daten und Operationen Die Implementierung realisiert die tatsächlichen Operationen Die Implementierung ist vollständig durch die Schnittstelle getrennt Zugriff auf Datenelemente nur über Operationen, die ihnen Schnittstelle bereitstellt Wiederverwendbarkeit Austauschbarkeit Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 2

3 ADT Vorteile Programmieren auf höherer Abstraktionsebene man muss sich nicht detailliert mit ihrer Implementierung befassen z.b.: Stack à push(); pop(); genaue Umsetzung egal Verwendung verschiedener Implementierungen derselben Schnittstelle in Abhängigkeit vom Anwendungsbereich Fehler in ADT-Implementierungen können behoben werden, ohne die Programme, welche den ADT verwenden, ändern zu müssen Schnittstelle bleibt unverändert! Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 3

4 Prioritätswarteschlangen Eigenschaften Elemente nach ihren Werten (Priorität) in vollständiger Ordnung gereiht (total geordnet) min() bzw. max() insert() removemin() bzw. removemax() Anwendbar für... Diskrete Ereignissimulation Auftragsplaner Basis für Sortieralgorithmen Implementierung Grundvorraussetzung: Elemente müssen vergleichbar sein Java Interface Comparable (Methode compareto()) sortieren von Listen/Arrays mittels Collections.sort() möglich ClassCastException bei nicht vergleichbaren Objekten Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 4

5 Prioritätswarteschlangen I) PQ-Implementierung durch lineare Liste (à Übung 02 Bsp 01) Liste enthält Elemente geordnet nach Priorität ( O(1) für min() und removemin(), da head auf Element mit höchster Priorität zeigt O(n) für insert(), da ggf. gesamte Sequenz traversiert werden muß II) PQ-Implementierung mittels Heap (à Übung 02 Bsp 02) O(1) für min() O(log n) für insert() und removemin() Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 5

6 Einfach verkettete Listen (LinkedList) Will man eine Sammlung von Elementen sequentiell durchlaufen, so kann man die Elemente als verkettete Liste organisieren. Dabei enthält jedes Element die Information, die notwendig ist, um zum nächsten Element zu gelangen. Eine verkette Liste ist eine Menge von Elementen, bei der jedes Element zu einem Knoten gehört, der auch eine Verbindung zu einem Knoten enthält. Theoretisch können Listen zyklisch sein à unendl. Sequenz Wir betrachten ausschließlich lineare Listen Code für Listenknoten: public class Node<T> { T data; Node<T> next; public Node(T data) { this.data = data; this.next = null } } neuen Knoten erzeugen: Node n = new Node(new Integer(42)) data Integer (42) next n.data //Zugriff auf Element n.next //Zugriff auf nächstes Element Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 6

7 Interface MyList (Übung 02, Bsp 1a) interface MyList<T> { int size(); void addfirst(t elem); void addlast(t elem); void addsorted(t elem); void sortasc(); void sortdes(); void clear(); T removefirst(); T removelast(); T getfirst(); T getlast(); boolean contains(t elem); T get(int index); T remove(int index); Object[] toarray(); String tostring(); } //Returns number of elements in the List (in O(1)) //Adds the element at the beginning of the list //Adds the element as end of list //Adds the element to the list (sorted in asc order) //Sorts the list in ascending order //Sorts the list in descending order //Clears the list by removing all elements (in O(1)) //Returns and removes the first element from the list //Returns and removes the last element from the list //Returns the first element from the list (no removal) //Returns the last element from the list (no removal) //Returns true if T is in list; false otherwise //Returns element at specific index position (no removal) //Returns and removes element at specific index position //Returns a string representation of the list //Returns the list as array Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 7

8 MyList Implementierung Erzeugen einer leeren Liste mit head & tail // Implementierung der verketteten Liste public class MyLinkedList<T extends Comparable<T>> implements MyList<T> { private Node<T> head; // points at beginning of the list private Node<T> tail; // points at end of the list public LinkedList () { head = new Node<T>(null); } tail = new Node<T>(null); } // Methoden des Interface MyList // Liste erzeugen MyList<Integer> l = new LinkedList<Integer>(); Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 8

9 MyList Implementierung Einfügen eines Elements am Listenanfang // Appends an element at the end of the list public void addfirst(t val) { if (head == null) { // list empty } head = new Node<T>(val); } else { Node<T> temp = new Node<T>(val); } temp.next = head; head = temp; // Drei Elemente vorne einfügen l.addfirst(new Integer(25)); l.addfirst(new Integer(48)); l.addfirst(new Integer(27)); Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 9

10 Prioritätswarteschlangen I) PQ-Implementierung durch lineare Liste (à Übung 02 Bsp 01) Liste enthält Elemente geordnet nach Priorität O(1) für min() und removemin(), da head auf Element mit höchster Priorität zeigt O(n) für insert(), da ggf. gesamte Sequenz traversiert werden muß II) PQ-Implementierung mittels Heap (à Übung 02 Bsp 02) O(1) für min() O(log n) für insert() und removemin() Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 10

11 Bäume Eigenschaften Ein Baum besteht entweder aus einem einzigen Knoten w (Wurzel) einem Knoten w (Wurzel) und k Teilbäumen B 1, B k, deren Wurzeln direkt mit w verbunden sind Die Wurzeln von B i heißen Kinder von w, und w ist ihr Vater Knoten, die keine Teilbäume haben, heißt Blätter; andere Knoten bezeichnet man als innere Knoten Niveau (Tiefe): die Wurzel hat Niveau 0, die Kinder eines Knotens mit Niveau t haben Niveau t+1 Höhe eines Baums: Maximum des Niveaus seiner Blätter (-1 bei leerem Baum) Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 11

12 Binärbäume Ein Baum, bei dem jeder Knoten maximal 2 Teilbäume besitzt jeder Knoten hat 0, 1 oder 2 Nachfolger Ein Binärbaum der Höhe h heißt vollständig, falls er 2 h+1 1 Knoten besitzt (alle Blätter haben dieselbe Tiefe): z.b.: h=3 à = 16 1 = 15 Ein Binärbaum der Höhe h heißt fast vollständig, falls er auf den Niveaus 0 bis h-1 die maximal mögliche Anzahl Knoten besitzt und alle Blätter auf Niveau h so weit links wie möglich positioniert sind: Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 12

13 Heaps Eigenschaften ermöglichen Einfügen und Entfernen in O(log n) Struktureigenschaft (ein Heap ist ein fast vollständiger binärer Baum) Ordnungseigenschaft (das einem Knoten zugeordnete Element ist den Elementen bei einem MinHeap, die eventuellen Kindern dieses Knotens zugeordnet sind) key(parent) key(child) Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 13

14 Heaps Löschen im Heap Kleinstes Element steht immer an der Wurzel (Ordnungsbedingung) à min() und removemin() geben Element in O(1) zurück Löschen mit removemin() hinterlässt ein Loch à muss gefüllt werden Entferne den am weitesten rechts stehenden Knoten der untersten Stufe und speichere ihn in Wurzelknoten (Strukturbedingung) Lasse das in der Wurzel befindliche Element nach unten sinken (Ordnungsbedingung) à DownHeap: Vergleicht Element mit kleinstem Child und vertauscht Elemente solange Kindknoten kleiner ist und unterste Stufe des Baumes noch nicht erreicht Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 14

15 Heaps Einfügen im Heap Erzeuge einen Knoten, der sich auf unterster Stufe des Baumes so weit links wie möglich befindet (Strukturbedingung) Lasse das neue Element entsprechend seinem Gewicht nach oben aufsteigen (Ordnungsbedingung) à UpHeap: Elemente vertauschen solange Kindknoten kleiner als Vaterknoten und Wurzel noch nicht erreicht Kosten für UpHeap und DownHeap höchstens gleich der Höhe des Baumes (deshalb ist Struktureigenschaft so wichtig!) Höhe ist log 2 (n) à insert() und removemin() daher in O(log n) möglich Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 15

16 Heaps Beispiele Top-Down Heapkonstruktion insert() / upheap() Einfügen von 7, 9, 2, 3, 1, 5, 6 Sortieren basierend auf Heap removemin() / downheap() Entfernen von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Alle zu sortierenden Schlüssel in PQ einfügen Wiederholt die Methode removemin() ausführen, um sie in steigender Reihenfolge zu entfernen Nachteile zusätzliche Kopie der zu sortierenden Elemente (in PQ) n aufeinanderfolgende Einfügeoperationen zum Aufbau eines Heaps ist ineffizient à HeapSort (UE04) Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 16

17 Heaps Realisierung mittels Array Ein Heap kann in ein lineares Array eingebettet werden, indem Baum (obenà unten, linksà rechts) in ein Array geschrieben wird: Kinder des Knotens mit Index i haben die Indices 2*i und 2*i+1 Vater eines Knotens mit Index j hat den Index j/2 Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 17

18 Übung 02: Bsp 1

19 Übung 02: Bsp 2

20 ACHTUNG: Nächste Woche ( ) findet keine Übung statt

21 Übung 02: Hints Exceptionhandling werden null-werte in die Liste eingefügt ist eine IllegalArgumentException zu werfen Comparable verwenden (statt Object) definiert public int compareto(object o) wird von Collection-Algorithmen benutzt, um Objekte zu vergleichen Ergebnis ist ein int-wert (<0, 0, >0) wird von sämtlichen Wrapper-Klassen (z.b.: String, Integer, Float) implementiert Generische Implementierung Das Interface ist generisch zu implementieren Dummy-Element am Ende Tail-Zeiger am Ende (effizientes Einfügen am Listenende) Algorithms & Datastructures 2 // Abstract Data Structures // 21

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