Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Transkript

1 6. Vorlesung

2 Diskrete ZG eine diskrete ZG X wird vollständig durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben ( ) x1 x X 2... x i... = p 1 p 2... p i... P(X (a, b]) = und die Verteilungsfunktion F X (x) = P(X x) = F X ist rechtsstetige Funktion i I a<x i b i I :x i x ( xi p i P(X = x i ) ) i I P(X = x i ) x R

3 Stetige ZG eine stetige ZG X wird vollständig durch ihre Dichtefunktion f X beschrieben: für alle a, b R mit a < b gilt P(X (a, b]) = und die Verteilungsfunktion ist F X (x) = P(X x) = F X ist stetige Funktion x b a f X (x) dx f X (t)dt x R;

4 WICHTIG! Für stetige ZG gilt zusätzlich für a R P(X = a) = für a, b R, a < b : a a f X (t) dt = 0; P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) b = f X (t) dt; a falls F X ableitbar im Punkt x ist, dann gilt F X (x) = f X (x).

5 Pseudozufallszahlen sind, wie der Name schon sagt, keine echten Zufallszahlen, sondern werden durch Generatoren erzeugt. Als Pseudozufallszahlen bezeichnet man Zahlenfolgen die durch einen deterministischen Algorithmus (Pseudozufallszahlengenerator) berechnet werden (und somit nicht zufällig sind) aber (für hinreichend kurze Sequenzen) zufällig aussehen. Es werden meist Pseudozufallszahlen herangezogen, da sie sich jederzeit neu erzeugen lassen und replizierbar sind, d.h. bei Vorgabe eines festen Startwertes erzeugt der Generator jedesmal wieder dieselben Pseudozufallszahlen. Echte Zufallszahlen können von physikalischen Generatoren, unter anderem durch die Beobachtung: radioaktiver Zerfälle oder quantenphysikalische Effekte, das Rauschen elektronischer Bauelemente, das Rauschen in der Atmosphäre usw. Diese Verfahren nennen sich physikalische Zufallszahlengeneratoren, sind jedoch zeitlich oder technisch recht aufwendig.

6 Zufallszahlengeneratoren In der Regel geht man von einem Zufallszahlengenerator aus, der bei jedem Aufruf eine neue Zahl, die im Intervall [0, 1] gleichverteilt ist, berechnet. in Matlab: rand oder unifrnd(0, 1) Aus diesen Zufallszahlen werden die Zufallsvariablen des betrachteten Problems erzeugt. Die Zufallszahlen werden fast ausschließlich durch geeignete Algorithmen als Pseudozufallszahlen im Rechner erzeugt.

7 Das Verfahren für die Erzeugung der Pseudo-Zufallszahlen, welche eine gegebene diskrete Verteilung haben Diskrete Verteilung: Man generiere Zufallszahlen, die folgende diskrete Verteilung haben ( ) 0 1 X Bernoulli(p) X, 1 p p mit Hilfe auf [0,1] gleichmäßig verteilten Zufallszahlen. Sei U Unif [0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Wenn U p Y = 1; Wenn U > p Y = 0; display(y ) Y ist eine Zufallszahl, welche die obige Verteilung hat

8 Man generiere Zufallszahlen, die folgende diskrete Verteilung haben ( ) x1 x X 2 x 3, p 1 p 2 p 3 mit Hilfe auf [0,1] gleichmäßig verteilten Zufallszahlen. Sei U Unif [0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Wenn U p 1 Y = x 1 ; Wenn p 1 < U p 1 + p 2 Y = x 2 ; Wenn p 1 + p 2 < U p 1 + p 2 + p 3 = 1 Y = x 3 ; display(y ) Y ist eine Zufallszahl welche die obige Verteilung hat

9 Inversionsmethode Diskrete Verteilung: Gegeben seien x 1,..., x n (die Werte), p 1,..., p n (ihre Wahrscheinlichkeiten). Man generiere Zufallszahlen, die folgende diskrete Verteilung haben ( ) x1 x X 2... x n, p 1 p 2... p n mit Hilfe auf [0,1] gleichmäßig verteilten Zufallszahlen. Sei U Unif [0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Wenn U p 1 Y = x 1 ; Wenn p 1 < U p 1 + p 2 Y = x 2 ; Wenn p 1 + p 2 < U p 1 + p 2 + p 3 Y = x 3 ;... Wenn p p k < U p p k+1 Y = x k+1... display(y )

10 Beispiele von Zufallsgeneratoren in Matlab Verteilung von X Zufallsgenerator Bino(n, p) binornd(n, p) Unif (n) unidrnd(n) Geo(p) geornd(p) Unif [a, b] unifrnd(a, b) N(µ, σ 2 ) normrnd(µ, σ) N(0, 1) randn Exp(λ) exprnd( 1 λ )

11 Inversionsmethode - stetige Verteilung Stetige Verteilung: Man generiere Zufallszahlen, welche eine gegebene, stetige Verteilungsfunktion F haben: Man definiert für jedes y (0, 1) die Funktion { F G(y) = 1 (y), falls F umkehrbar ist inf{x R : F (x) y}, falls F nicht umkehrbar ist Sei U Unif [0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Man berechnet Y = G(U) display(y ) Y ist eine Zufallszahl welche die obige stetige Verteilung hat

12 Anwendung Sei X Exp(λ), d.h. sie hat folgende Dichtefunktion f X (t) = λe λt, t > 0 und f X (t) = 0, t 0. a) Man berechne die Verteilungsfunktion F X von X b) Man berechne die Umkehrfunktion F 1 X. c) Man simuliere Zufallswerte für X mit Hilfe der Inversionsmethode. Lsg.: Man berechnet F X (x) = 1 e λx, x > 0 = F 1 X y) (y) = ln(1, y (0, 1) λ d.h. 1 λln(1 U) Exp(λ), falls U Unif [0, 1]; da U Unif [0, 1] 1 U Unif [0, 1], gilt 1 λln(u) Exp(λ).

13 Verteilungsfunktion eines Zufallvektors Definition 21 Die Funktion F (X,Y ) : R 2 [0, 1] F (X,Y ) (x, y) = P(X x, Y y) = P({X x} {Y y}), x, y R heißt Verteilungsfunktion des Zufallvektors (X, Y ). Frage: Wenn F (X,Y ) bekannt ist, wie berechnet man die Randverteilungen F X und F Y? Antwort: F X (x) = P(X x) = lim y F (X,Y )(x, y) F Y (y) = P(Y y) = lim x F (X,Y )(x, y)

14 (X, Y ) ist stetiger Zufallsvektor, wenn X und Y stetige ZG sind! Definition 22 Wenn (X, Y ) stetiger ZV ist, dann heißt f (X,Y ) : R 2 [0, ) gemeinsame Dichtefunktion wenn gilt F (X,Y ) (x, y) = x y f (X,Y ) (u, v) dudv x, y R, wobei F (X,Y ) die Verteilungsfunktion des Vektors (X, Y ) ist.

15 Satz 23 Es gelten die Eigenschaften: 1 f (X,Y ) (u, v) dudv = 1. 2 F (X,Y ) ist stetige Funktion. 3 Falls F (X,Y ) partiell ableitbar ist in x und y gilt: 2 F (X,Y ) (x, y) = f x y (X,Y ) (x, y). 4 P((X, Y ) A) = f (X,Y ) (u, v)dudv, A R 2. }{{} A

16 Frage: Wenn f (X,Y ) bekannt ist, wie bestimmt man f X und f Y? Antwort: f X (x) = f Y (y) = f (X,Y ) (x, v)dv, x R f (X,Y ) (u, y)du, x R

17 Definition 24 X, Y sind unabhängige stetige Zufallsgrößen genau dann, wenn für ihre Dichtefunktionen für alle x, y R gilt f (X,Y ) (x, y) = f X (x) f Y (y).

18 Unabhängigkeit von diskreten, bzw. stetigen ZG Satz 25 Zwei Zufallsgrößen X, Y (diskret oder stetig) sind unabhängig, genau dann, wenn für alle x, y R gilt P(X x, Y y) = P(X x) P(Y y), d.h. F (X,Y ) (x, y) = F X (x) F Y (y).

19 Beispiel: Sei (X, Y ) stetiger zufälliger Vektor mit gemeinsamer Verteilungsfunktion { (1 e F (X,Y ) (x, y) = x )(1 e 2y ) für x > 0 und y > 0 0 sonst. Sind X und Y unabhängig? Man berechne P(1 X 2 Y 3). Lsg.: Man berechnet F X (x) = 1 e x x > 0 und F X (x) = 0 für x 0, sowie F Y (y) = 1 e 2y für y > 0 und F Y (y) = 0 für y 0 F (X,Y ) (x, y) = F X (x) F Y (y) x, y R. also sind X, Y unabhängige ZG. P(1 X 2 Y 3) = f X (u)f Y (v)dudv = (e 1 e 2 )(e 4 e 6 )

20 Rechnen mit zufälligen Variablen - stetiger Fall Eigenschaft Wenn f (X,Y ) bekannt ist, so werden f X +Y und f X Y wie folgt berechnet: f X +Y (z) = f (X,Y ) (u, z u)du z R, R f X Y (z) = R 1 ( u f (X,Y ) u, z ) du z R. u Wenn X und Y unabhängig sind, gilt f X +Y (z) = f X (u)f Y (z u)du z R, R f X Y (z) = R 1 ( z ) u f X (u)f Y du z R. u

21 Beispiel: Man wählt zufällig und unabhängig zwei Werte X und Y im Intervall [0, 1]. Man bestimme die Dichtefunktionen für ihre Summe und ihr Produkt! Lsg.: die Dichtefunktion für X + Y : f X +Y (z) = f X (u)f Y (z u)du = 1 z, für 0 z 1 f X +Y (z) = 2 z, für 1 < z 2 0, sonst. Dichtefunktion für X Y : f X Y (z) = 1 ( z ) u f X (u)f Y du = u f Y (z u)du z R. 1 ( z ) u f Y du z R. u Man erhält f X Y (z) = lnz für z (0, 1) und f X Y (z) = 0 für z / (0, 1).

22 Definition 26 Der Erwartungswert oder Mittelwert einer stetigen Zufallsgröße X ist gegeben durch vorausgesetzt, dass E(X ) = tf X (t)dt, t f X (t)dt < gilt.

23 Satz 27 - Eigenschaften des Erwartungswertes Es seien X und Y stetige ZG. Dann gilt 1 E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ); 2 E(aX + b) = ae(x ) + b für a, b R; 3 Sind X und Y unabhängige ZG, dann gilt E(X Y ) = E(X ) E(Y ). 4 Der Erwartungswert der stetigen ZG g(x ) (mit g : R R) ist E(g(X )) = g(t)f X (t)dt, wenn gilt (f X ist die Dichtefunktion der stetigen ZG X ). g(t) f X (t)dt <