Diskrete Verteilungen

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1 Diskrete Verteilungen

2 Bernoulli-Verteilung: X Bernoulli(p) Symbol für «verteilt wie» «Eperiment» mit zwei Ausgängen: «Erfolg» ( 1) oder «Misserfolg» ( ). Die Erfolgswahrscheinlichkeit sei p. Wertebereich von :,1 D.h. wir haben X = ½ W keit 1 p 1 W keit p Erwartungswert / Varianz (nachrechnen!) E[X] =p Var(X) =p(1 p) 1

3 Bernoulli-Verteilung (.3) 1.8 P[X = ] P[X ]

4 Bernoulli-Verteilung «Eperiment» und «Erfolg» können vieles bedeuten: Erdbeben tritt ein ( 1) vs. Erdbeben tritt nicht ein ( ). Qualitätsanforderung erfüllt ( 1) vs. Qualitätsanforderung nicht erfüllt ( ) (bzw. umgekehrt). etc. Also immer wenn etwas zwei mögliche Ausgänge hat, kann man die Bernoulli- Verteilung verwenden. 3

5 Binomialverteilung: X Bin(n, p) sei die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit. D.h. zählt die Anzahl der «Erfolge» in unabhängigen «Versuchen» (mit individueller Erfolgsw keit ). Der Wertebereich ist daher,1,, Es ist P [X = ] = µ n p (1 p) n, W wobei µ n = n!!(n )! = n(n 1) (n +1)! 4

6 Binomialverteilung heisst Binomialkoeffizient und ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus Objekten auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Bsp: Wähle aus 2 Studenten 3 aus: 2 verschiedene Möglichkeiten eine 3-er Gruppe zu bilden 3 Erwartungswert / Varianz E[X] =np Var(X) =np(1 p) 5

7 Binomialverteilung 1,.3.3 P[X = ] P[X ]

8 Binomialverteilung 1,.5.3 P[X = ] P[X ]

9 Binomialverteilung: Beispiel sei die W keit, dass eine Betonprobe den erforderlichen Anforderungen nicht entspricht, z.b..5. sei die Anzahl «mangelhafter» Proben von insgesamt 1 (unabhängigen) Proben. ist also Binomial-verteilt: X ~ (n, p) mit 1und.5. Damit können wir diverse Sachen berechnen. 8

10 Binomialverteilung: Beispiel Was ist die W keit, dass von 1 Proben alle den Anforderungen entsprechen? P [X =]= 1 p (1 p) 1 =(1 p) 1 Was ist die W keit, dass von 1 Proben mindestens eine den Anforderungen nicht entspricht? P [X 1] = 1 P [X =]=1 (1 p) 1 Was ist die W keit, dass von 1 Proben genau eine den Anforderungen nicht entspricht? P [X =1]= 1 1 p 1 (1 p) 9 =1 p 1 (1 p) 9 9

11 Binomialverteilung: Bemerkungen Die «Anzahl Versuche» ist in der Regel aus dem Kontet vorgegeben. Die W keit ist dagegen ein Parameter, der in der Regel unbekannt ist (bis jetzt haben wir einfach entsprechende Annahmen getroffen). Typischerweise will man aus Daten schätzen (siehe später). Bis auf Weiteres tun wir so, als ob wir kennen würden. 1

12 Geometrische Verteilung: X Geom(p) sei die Anzahl der Wiederholungen von unabhängigen Bernoulli(p)- Eperimenten bis zum ersten Erfolg. Bsp: Werfe Münze so lange, bis zum ersten Mal Zahl erscheint. Notiere die Anzahl der Würfe. Wertebereich: 1,2,3, (unbeschränkt!) Es gilt P [X = ] =(1 p) 1 p, W. 1Misserfolge 1 Erfolg 11

13 Geometrische Verteilung Kumulative Verteilungsfunktion nx F (n) = p(1 p) i 1 =1 (1 p) n für n W i=1 (dazwischen ist konstant) Erwartungswert / Varianz E[X] = 1 p Var(X) = 1 p p 2 Erwartungswert entspricht der mittleren Wartezeit bis zum ersten «Erfolg», wird auch als Wiederkehrperiode bezeichnet. 12

14 Geometrische Verteilung.5.6 P[X = ] P[X ]

15 Geometrische Verteilung.3.6 P[X = ] P[X ]

16 Poisson-Verteilung: X Pois(λ), λ > Anwendung: Modellierung von (unbeschränkten) Anzahlen. Wertebereich:,1,2, (unbeschränkt) Es ist P [X = ] =e λ λ!, W Erwartungswert / Varianz (hier identisch!) E[X] =λ Var(X) =λ 15

17 Poisson-Verteilung.3 P[X = ] P[X ]

18 Poisson-Verteilung 2.3 P[X = ] P[X ]

19 Poisson-Verteilung 6.3 P[X = ] P[X ]

20 Poisson-Verteilung: Eigenschaften Es gilt: Pois(λ) Bin(n, p), für gross, klein und. D.h. die Poisson-Verteilung kann interpretiert werden als Verteilung für seltene Ereignisse ( klein) bei vielen ( gross) unabhängigen Versuchen. Ist X ~ Pois(λ 1 ), Y ~ Pois(λ 2 ), unabhängig, dann ist X + Y Pois(λ 1 + λ 2 ) Die Anzahl der Ausfälle eines Systems in einem Zeitintervall der Länge kann z.b. als Pois( ) modelliert werden. Erweiterung: Poissonprozess (später). 19

21 Poisson-Verteilung: Beispiel Ein Callcenter wird im Schnitt alle 12 Sekunden angerufen. D.h. wir haben im Schnitt pro Minute 5 Anrufe. Die Anzahl der Anrufe pro Minute modellieren wir mit der Zufallsvariablen, für die wir eine Poissonverteilung annehmen (viele Leute könnten potentiell anrufen, jeder hat jedoch eine kleine W keit, dies zu tun): Was ist die W keit, dass innerhalb einer Minute keine Anrufe eingehen? X Pois(λ), λ =5 (E[X] =λ =5) P [X =]=e λ λ! = e λ = e 5 =.674 2

22 Allgemeines Vorgehen Fragestellung (betreffend unsicherem Phänomen) Bsp: Erwartete Anzahl Überschwemmungen in den nächsten 1 Jahren? Annahmen Bsp: Jährliche W keit sei.1, Ereignisse in verschiedenen Jahren seien unabhängig. Modell Bsp: Modelliere Anzahl der Überschwemmungen mit Binomialverteilung. Antwort (basierend auf Modell) Bsp: Erwartete Anzahl, W keit dass keine Überschwemmung, etc. 21