Bestimmen Sie für den dargestellten Balken die Auflagerkräfte sowie die N-, Q- und M-Linie (ausgezeichnete Werte sind anzugeben).

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1 Technische Universität Darmstadt Technische Mechanik I B 13, G Kontinuumsmechanik Wintersemester 007/008 Prof. Dr.-Ing. Ch. Tsakmakis 9. Lösungsblatt Dr. rer. nat. P. Grammenoudis 07. Januar 008 Dipl.-Ing. P. azeli Aufgabe 1 Bestimmen Sie für den dargestellten Balken die Auflagerkräfte sowie die N-, Q- und M-Linie (ausgezeichnete Werte sind anzugeben). Gegeben: a,, M 0 = a, α = π 6 Lösung zu Aufgabe 1 Zuerst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Dazu wird das reikörperbild des Gesamtsystems betrachtet Eine Gleichgewichtsbetrachtung führt zu folgenden Ergebnis A H = 3, A V = 3 4, B = 5 4. (1) () (3)

2 Die Schnittgrössen ergeben sich aus einer bereichsweisen Betrachtung des geraden Balkens. Es gilt Bereich I: (0 < < a) Daraus folgt N = 3, Q = 3 4, M = a( 3 4 a ). (4) (5) (6) Bereich II: (a < < a) Man erhält N = 0, Q = 5 4, M = 5 4 a( a ). (7) (8) (9)

3 Damit ergibt sich der folgende graphische Verlauf der N-, Q- und M-Linie 3

4 Aufgabe M 0 q 0 A z B l l l Bestimmen Sie für den abgebildeten Balken die N-, Q- und M-Linie durch Integration. Gegeben: q 0, M 0, l Lösung zu Aufgabe reischneiden führt zu folgendem reikörperbild: R = q 0 l M 0 A H A V B l 3 l l Gleichgewicht liefert : A H = 0, : A V + B = q 0 l, A: M 0 + B 3l q 0 l 5 l = 0. (1) Daraus folgt (10) (11) B = 1 3l (q 0l 5 l M 0) = 5 6 q 0l M 0 3l, (13) 4

5 A V = q 0 l B = q 0l 6 + M 0 3l. (14) Die Integration erfolgt in drei Abschnitte. Es gilt Abschnitt I: 0 < 1 < l 1 A H A V q( 1 ) = 0, (15) Q( 1 ) = q( 1 )d 1 + C 1 = C 1, (16) M( 1 ) = Q( 1 )d 1 + C = C C. (17) Die Bestimmung der Konstanten C 1 und C erfolgt durch folgende Betrachtung. Links ist ein zweiwertiges Lager, dort ist das Moment 0 und Querkraft ist A V. M( 1 = 0) A V Q( 1 = 0) Daraus folgt M( 1 = 0) = 0 C = 0, (18) und Q( 1 = 0) = A V C 1 = A V. (19) Damit ergeben sich für die Querkraft Q( 1 ) und dem Biegemoment M( 1 ) im Abschnitt I: Q( 1 ) = A V, M( 1 ) = A V 1. (0) (1) 5

6 Abschnitt II: 0 < < l M 0 q( ) = 0, () Q( ) = q( )d + C 3 = C 3, (3) M( ) = Q( )d + C 4 = C 3 + C 4. (4) Zur Bestimmung der Konstanten C 3 und C 4 wird die folgende Situation betrachtet M( 1 = l) M( = 0) M 0 Q( 1 = l) Q( = 0) Gleichgewicht an diesem Balkenstück liefert : Q( = 0) = Q( 1 = l), (5) M( =0) : M( = 0) = M( 1 = l) M 0. (6) Daraus ergeben sich die Konstanten C 3 und C 4 zu Q( = 0) = C 3 = Q( 1 = l), (7) M( = 0) = C 4 = M( 1 = l) M 0. (8) Damit lautet die Querkraft und das Biegemoment im Abschnitt II: Q( ) = Q( 1 = l) = A V, (9) M( ) = Q( 1 = l) + M( 1 = l) M 0 = A V ( + l) M 0. (30) 6

7 Abschnitt III: 0 < 3 < l q 0 3 q( 3 ) = q 0, (31) Q( 3 ) = q( 3 )d 3 + C 5 = q C 5, (3) M( 3 ) = 3 Q( 3 )d 3 + C 6 = q 0 + C C 6. (33) Die Bestimmung der Konstanten C 5 und C 6 erfolgt durch die Betrachtung des folgenden Balkenstücks. M( 3 = l) Q( 3 = l) 3 B Gleichgewicht an diesem liefert: Q( 3 = l) = B ( q C 5 ) M( 3 = l) = 0 3 =l ( ) 3 q 0 + C C 6 3 =l = B C 5 = q 0 l B, (34) = 0 (35) C 6 = q 0 l C 5 l = q 0 l + B l, (36) Damit ergibt sich für die Querkraft Q( 3 ) und für das Biegemoment im Abschnit III: Q( 3 ) = q q 0 l B, (37) M( 3 ) = q (q 0 l B) 3 q 0 l + B l. (38) 7

8 Die graphische Darstellung der Querkraft und des Biegemoments ist wie folgt. M 0 q 0 A z B l l l Q A V B M A V l B q 0 A V l M 0 A V l M 0 8

9 Aufgabe 3 1 A B 3 m 5 m 4 m ür den abgebildeten Balken berechne man die Lagerreaktionen und bestimme den Verlauf der Querkraft- und der Momentenlinie. Gegeben: 1 = 3 kn, = 5 kn Lösung zu Aufgabe 3 Die Aufgabenstellung führt zu folgendem reikörperbild 1 A H A V 3 m 5 m 4 m B Die Betrachtung des Gleichgewichts liefert die folgenden Lagerreaktionen A H = 0, (39) A : 1 3 m 5 m + B 9 m = 0 B = 34 kn, (40) 9 B : 1 1 m A V 9 m + 4 m = 0 A V = 16 kn. (41) 9 Die Schnittgrössen ergeben sich aus einen bereichsweisen Betrachtung. D.h. Bereich 1, 0 < < 3 m: 1 P Q() M() 9

10 : 1 Q() = 0 Q() = 3 kn (4) P : M() 1 = 0 M() = 1 = 3 kn (43) Bereich, 3 m < < 8 m: 1 P M() A H 3 m A V Q() : 1 + A V Q() = 0, (44) Q() = ( ) kn = 11 kn, (45) 9 P : 1 A V ( 3 m) + M() = 0, (46) M() = ( m)kn = kn + knm. (47) Bereich 3, 8 m < < 1 m 1 P M() A H A V 3 m 5 m Q() : 1 + A V Q() = 0 Q() = 34 kn, 9 (48) P : 1 A V ( 3 m) + ( 8 m) + M() = 0, (49) M() = ( m)kn. 3 (50) Alternative für den letzten Abschnitt: Rechtes Teilsystem mit neuer Koordinate (0 4 m), = 1m ein. Die Schnittgrössen werden am negativen Schnittufer ermittelt. Q( ) P M( ) B 10

11 : Q( ) + B = 0 Q( ) = 34 kn, 9 (51) P : M( ) + B = 0 M( ) = 34 9 kn. (5) Die Schnittgrössenverläufe ergeben sich somit insgesamt zu Q kn M knm m m 11

12 Aufgabe 4 A α M 0 G β S z a a a a a a Bestimmen Sie für den abgebildeten Balken die Lagerreaktionen sowie die N-, Q- und M-Linie. Gegeben:, M 0, a, α = 30, β = 45 Lösung zu Aufgabe 4 Zur Bestimmung der Lagerreaktionen werden die folgenden reikörperbilder betrachtet. A H M (A) M 0 α G β A V S A H M (A) α a a a M 0 G H G H a a a β A V Teil I G V G V Teil II S a a a Aus Gleichgewicht am Teil II folgt a a G: a S a = 0 S = (53) 1

13 Gleichgewicht am Gesamtsystem liefert : A H cos 30 + S cos 45 = 0, (54) A H = S = 3 + = (1 + 3), (55) : A V sin 30 S 1 = 0, (56) A V = + + S = 3 =, (57) A: M (A) sin 30 a + M 0 7 a S1 4a = 0, (58) M (A) = a 7 a + M 0 + a = M 0 a, (59) Damit sind die Lagerreaktionen berechnet. Zur Bestimmung der N-,Q- und M-Linien wird der Balken in Abschnitte eingeteilt. A α M 0 G β S z Abschnitt 1 Abschnitt 3 Abschnitt 5 Abschnitt Abschnitt 4 Erster Lösungsweg: reischneiden Abschnitt 1: 0 < < a M (A) M() A H N() A V Q() 13

14 : N() + A H = 0, (60) N() = A H = (1 + 3), (61) : A V Q(X) = 0, Q() = A V =, (6) (63) M () : M() M (A) A V = 0, (64) M() = M (A) + A V = M 0 (a ). (65) Abschnitt : a < < a A H M (A) α M() N() A V Q() : N() + A H cos 30 = 0, (66) 3 N() = A H =, (67) : A V Q() sin 30 = 0, (68) Q() = A V 1 =, (69) M () : M() M (A) A V + sin 30 ( a) = 0, (70) M() = M (A) ( a) + A V = M 0 + ( 3a). (71) 14

15 Abschnitt 3: a < < 3.5a A H M (A) α M 0 M() N() A V Q() : N() + A H cos 30 = 0, (7) 3 N() = A H =, (73) : A V Q() sin 30 = 0, (74) Q() = A V =, (75) M () : M() M (A) A V + sin 30 ( a) + M 0 = 0, (76) M() = M (A) ( a) + A V M 0 = ( 3a). (77) Abschnitt 4: 3.5a < < 4a A H M (A) α M 0 M() N() Q() A V : N() + A H cos 30 = 0, (78) 3 N() = A H =, (79) : A V Q() sin 30 = 0 (80) 15

16 Q() = A V 3 =, (81) M () : M() M (A) A V + sin 30 ( a) + M 0 + ( 7 a) = 0, (8) M() = M (A) ( a) + A V M 0 ( 7 a) = (4a ). (83) Ebenso kann hier Gleichgewicht am rechten Teilsystem gebildet werden. D.h. Q() N() M() S : N() S = 0, (84) N() = S =, (85) : Q() + S = 0, (86) Q() = S =, (87) M () : M() + S (4a ) = 0, (88) M() = S (4a ) = (4a ). (89) Abschnitt 5: 4a < < 5a Hier verschwinden alle Schnittgrössen. Zweiter Lösungsweg: Abschnittsweises Integrieren Zum Intergrieren der einzelnen Abschnitte wird in jedem Abschnitt eine eigene -Variable verwendet. Abschnitt 1: 0 < 1 < a 16

17 Die äußere Last q( 1 ) ist hier 0. Nach Integration erhält man die Querkraft und das Biegemoment. q( 1 ) = 0, (90) Q( 1 ) = q( 1 )d 1 + C 1 = 0 + C 1, (91) M( 1 ) = Q( 1 )d 1 + C = C C. (9) Um die Konstanten C 1 und C zu bestimmen schneidet man den Balken kurz hinter dem Lager A an der Stelle 1 = 0 M (A) M( 1 ) A H N( 1 ) A V 1 Q( 1 ) l << 1 Dabei hat das Balkenstück die Länge l << 1. Gleichgewicht an diesem Balkenstück liefert: : A H + N( 1 = 0) = 0 N( 1 = 0) = A H, (93) : A V Q( 1 = 0) = 0 Q( 1 = 0) = A V, (94) M( 1 =0) : M(1 = 0) M (A) = 0 M( 1 = 0) = M (A). (95) Damit lassen sich die Konstanten C 1 und C bestimmen zu Q( 1 = 0) = C 1 = A V, (96) M( 1 = 0) = C = M (A). (97) Die Querkraft und das Biegemoment im Abschnitt 1 lautet somit Q( 1 ) = A V =, M( 1 ) = A V + M (A) = ( a) + M 0. (99) Abschnitt : 0 < < a Die äußere Last q( ) ist hier 0. Nach Integration erhält man für die Querkraft und das Biegemoment q( ) = 0, (100) Q( ) = q( )d + C 3 = 0 + C 3, (101) M( ) = Q( )d + C 4 = C 3 + C 4. (10) (98) 17

18 Um die Konstanten C 3 und C 4 zu bestimmen schneidet man den Balken kurz vor und hinter dem Angriffspunkt der Kraft an der Stelle = 0 Q( 1 = a) Q( = 0) N( 1 = a) M( 1 = a) α N( = 0) M( = 0) Gleichgewicht an diesem Balkenstück liefert l << 1 : N( 1 = a) cos 30 + N( = 0) = 0 N( = 0) = N( 1 = a) + 3, (103) : Q( 1 = a) Q( = 0) sin 30 = 0 Q( = 0) = Q( 1 = a), (104) M( =0) : M( = 0) M( 1 = a) = 0 M( = 0) = M( 1 = a), (105) Damit lassen sich die Konstanten C 3 und C 4 bestimmen zu Q( = 0) = C 3 = Q( 1 = a) 3 =, (106) M( = 0) = C 4 = M( 1 = a) = M 0 a. (107) Die Querkraft und das Biegemoment im Abschnitt lautet somit Q( ) = C 3 =, (108) M( ) = C 3 + C 4 = M 0 + ( a). (109) Abschnitt 3: 0 < 3 < 3 a Die äußere Last q( 3 ) ist hier 0. Nach Integration erhält man für die Querkraft und das Biegemoment q( 3 ) = 0, (110) Q( 3 ) = q( 3 )d 3 + C 5 = 0 + C 5, (111) M( 3 ) = Q( 3 )d 3 + C 6 = C C 6. (11) 18

19 Um die Konstanten C 5 und C 6 zu bestimmen schneidet man den Balken kurz vor und hinter dem Angriffspunkt des Moments M 0 an der Stelle 3 = 0: Q( = a) Q( 3 = 0) M 0 N( = a) M( = a) M( 3 = 0) 3 N( 3 = 0) Gleichgewicht an diesem Balkenstück liefert l << 1 : N( = a) + N( 3 = 0) = 0 N( 3 = 0) = N( = a), (113) : Q( = a) Q( 3 = 0) = 0 Q( 3 = 0) = Q( = a), (114) M( 3 =0) : M(3 = 0) M( = a) + M 0 = 0 M( 3 = 0) = M( = a) M 0. (115) Damit lassen sich die Konstanten C 5 und C 6 bestimmen Q( 3 = 0) = C 5 = Q( = a) =, (116) M( 3 = 0) = C 6 = M( = a) M 0 = a. (117) Die Querkraft und das Biegemoment im Abschnitt 3 lautet somit Q( 3 ) = C 5 =, (118) M( 3 ) = C C 6 = 3 a. (119) Abschnitt 4: 0 < 4 < a Die äußere Last q( 4 ) ist hier 0. Nach Integration erhält man für die Querkraft und das Biegemoment: q( 4 ) = 0, (10) Q( 4 ) = q( 4 )d 4 + C 7 = 0 + C 7, (11) M( 4 ) = Q( 4 )d 4 + C 8 = C C 8. (1) 19

20 Um die Konstanten C 7 und C 8 zu bestimmen schneidet man den Balken kurz vor und hinter dem Angriffspunkt der Kraft an der Stelle 4 = 0. Q( 3 = a) Q( 4 = 0) N( 3 = a) M( 3 = a) M( 4 = 0) 4 N( 4 = 0) Gleichgewicht an diesem Balkenstück liefert l << 1 : N( 3 = a) + N( 4 = 0) = 0 N( 4 = 0) = N( 3 = a), (13) : Q( 3 = a) Q( 4 = 0) = 0 Q( 4 = 0) = Q( 3 = a), (14) M( 4 =0) : M(4 = 0) M( 3 = a) = 0 M( 4 = 0) = M( 3 = a). (15) Damit lassen sich die Konstanten C 7 und C 8 bestimmen zu Q( 4 = 0) = C 7 = Q( 3 = a) =, (16) M( 4 = 0) = C 8 = M( 3 = a) = a 4. (17) Die Querkraft und das Biegemoment im Abschnitt 4 lautet somit Q( 4 ) = C 7 =, (18) M( 4 ) = C C 8 = 4 + a 4. (19) Abschnitt 5: 0 < 5 < a Die äußere Last q( 5 ) ist hier 0. Nach Integration erhält man für die Querkraft und das Biegemoment: q( 5 ) = 0, (130) Q( 5 ) = q( 5 )d 5 + C 9 = 0 + C 9, (131) M( 5 ) = Q( 5 )d 5 + C 10 = C C 10, (13) 0

21 Um die Konstanten C 9 und C 10 zu bestimmen schneidet man den Balken kurz vor und hinter dem Angriffspunkt der Stabkraft S an der Stelle 5 = 0. Q( 4 = a) 5 Q( 5 = 0) N( 4 = a) N( 5 = 0) β M( 4 = a) Gleichgewicht an diesem Balkenstück liefert : N( 4 = a) + N( 5 = 0) + S l << 1 S M( 5 = 0) = 0 (133) N( 5 = 0) = N( 4 = a) +, (134) : Q( 4 = a) Q( 5 = 0) S = 0 (135) Q( 5 = 0) = Q( 4 = a) +, (136) M( 5 =0) : M(5 = 0) M( 4 = a) = 0 M( 5 = 0) = M( 4 = a). (137) Damit lassen sich die Konstanten C 9 und C 10 bestimmen zu Q( 5 = 0) = C 9 = Q( 4 = a) + = 0, (138) M( 5 = 0) = C 10 = M( 4 = a) = 0. (139) Die Querkraft und das Biegemoment im Abschnitt 5 lautet somit Q( 5 ) = C 9 = 0, (140) M( 5 ) = C C 10 = = 0. (141) 1

22 Die Graphische Darstellung der N-, Q- und M-Linien ergibt sich somit zu Verlauf der N-Linie: A α M 0 G β S z Abschnitt 1 Abschnitt 3 Abschnitt 5 Abschnitt Abschnitt 4 N (1 + 3)

23 Verlauf der Q- und M-Linie: A α M 0 G β S z Abschnitt 1 Abschnitt 3 Abschnitt 5 Abschnitt Abschnitt 4 Q M 0 a M 0 a M M 0 a a 4 a 3

24 Aufgabe 5 ür das dargestellte Balkentragwerk bestimme man die Auflagerkräfte sowie die Q-, M- und N-Linie. Gegeben: Lösung zu Aufgabe 5 a, 1 = 1, 5 kn, = 4, 5 kn Zuerst werden die Auflager- und Stabkräfte bestimmt. Dazu wird das folgende reikörperbild betrachtet. Eine Betrachtung des rechten Balkens liefert M (G) iy = 0 : S a a = 0, (1) S = = 9 kn. () Mit () ergibt sich für das Gesamtsystem M (A) yi = 0 : 1 a S 1 3a S 5a 6a = 0, (3) S 1 = 5 kn, (4) iz = 0 : 1 + A V + (S 1 + S ) = 0, (5) A V = kn, (6) i = 0 : A H + (S 1 S ) = 0, (7) 4

25 A H = 14 kn. (8) Die Schnittgrössen ergeben sich aus der folgenden Betrachtung des geraden Balkens. Es gilt Bereich I (0 < < a) N = A H = 14 kn (9) Q = A V = kn (10) M = A V = kn (11) Bereich II (a < < 3a) N = A H = 14 kn (1) Q = A V 1 = 0, 5 kn (13) M = A V 1 ( a) = 0, 5 kn + 3 kn a (14) Bereich III (3a < < 5a) N = S = 9 kn (15) Q = + S = 4, 5 kn (16) M = (6a ) S (5a ) = 4, 5 kn + 18 kn a (17) Bereich IV (5a < < 6a) N = 0 (18) Q = = 4, 5 kn (19) M = (6a ) = 4, 5 kn 7 kn a (0) 5

26 ür die graphische Darstellung der N-, Q- und M-Linie erhält man 6

27 Aufgabe 6 ür den skizzierten Gerberträger bestimme man die Auflagerkräfte sowie die N-, Q- und M- Linie. Gegeben: q 0 = 3 kn/m, l = Lösung zu Aufgabe 6 Wir betrachten zuerst das reikörperbild des Gesamtsystems Die Gleichgewichtsbedingung in -Richtung liefert i = 0 : B H = 0 = N() = 0. (1) Die restlichen Schnittgrößen werden mit Hilfe der Integrationsmethode bestimmt. Es gilt q() = q 0 3l, () Q() = q()d = q 0 6l + C 1, (3) 3 M() = Q()d = q 0 18l + C 1 + C. (4) Die Integrationskonstanten werden unter Berücksichtigung der folgenden Rand- und Übergangsbedingung bestimmt zu M( = 0) = 0 = C = 0, (5) M( = l) = 0 = C 1 = 9 q 0l. (6) 7

28 Mit l = m, q 0 = 3 kn/m ergibt sich für die restlichen Lagerkräfte 4 A = Q( = 0) = C 1 = 3 kn, B V = Q( = 3l) = 9 6 q 0l 9 q 0l = 3 3 kn, M B = M( = 3l) = 7 18 q 0l q 0l = 10 knm. ür die Schnittkraftverläufe ergibt sich folgende graphische Darstellung. 8

29 Aufgabe 7 Bestimmen Sie für den skizzierten Balken die Auflagerkräfte sowie die Querkraft und Momentenlinie. Gegeben: q 0,l Lösung zu Aufgabe 7 Die Lösung soll durch Bereichsweise Integration erfolgen. Dazu wird das folgende reikörperbild zugrunde gelegt. ür Bereich 1, 0 l, gilt q 1 () = q 0 l, Q 1 () = q 0 l + C 1, () 3 M 1 () = q 0 6l + C 1 + C. (3) (1) (4) ür Bereich, l l, ergibt sich ( q () = q 0 ), ( l ) Q () = q 0 M () = q 0 ( 3 6l Die Rand- und Übergangsbedingungen lauten + C 3, (6) l ) + C 3 + C 4. (7) (5) (8) Q 1 (0) = 0, M 1 (0) = 0, (9) (10) 9

30 M 1 (l) = M (l), M (l) = 0. (11) (1) (13) Die Bestimmung der Integrationskonstanten liefert C 1 = 0, C = 0, C 3 = q 0 l, C 4 = 4 3 q 0l. (14) (15) (16) (17) (18) Damit folgt Q 1 () = 1 ( ) q 0l, l (19) M 1 () = 1 ( ) 3 6 q 0l, (0) l Q () = 1 ( q 0l 4 4 ( ) ) l +, (1) l M () = 1 ( 6 q 0l ( ) ( ) ) 3 l 6 +. () l l (3) 30

31 Die graphische Darstellung der Q- und M-Linie ist wie folgt. 31