Qualität und Zuverlässigkeit - Statistik Master MB Aufgaben zum Kapitel 2: Zufallsgröÿen und ihre Verteilungen
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- Clara Biermann
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1 Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof. Dr. Viola Weiÿ Sommersemester 08 Qualität und Zuverlässigkeit - Statistik Master MB Aufgaben zum Kapitel : Zufallsgröÿen und ihre Verteilungen. Bei einer Klausur mit maximal 00 zu erreichenden Punkten seien im Ergebnis die erreichten Punktzahlen näherungsweise normalverteilt mit µ = 60 Punkte und σ = 0 Punkte. (a) Zum Bestehen der Klausur sind 50 Punkte erforderlich. Bestimmen Sie den Anteil der Studenten, die diese Klausur bestehen. (b) Die Note gut wird vergeben für Punktzahlen von 80 bis 95. Ermitteln Sie den Anteil der Studenten mit der Note gut. (c) Auf welchen Wert müÿte die zum Bestehen nötige Mindestpunktzahl festgelegt werden, damit mindestens 90% der Studenten bestehen.. Die Reiÿfestigkeit von Kettengliedern sei normalverteilt mit σ = 5 kg. Der Erwartungswert µ soll bei unveränderter Varianz durch Änderung der Materialeigenschaften so beeinuÿt werden, daÿ höchstens 3% der Kettenglieder eine Reiÿfestigkeit von weniger als 50 kg haben. Welche mittlere Reiÿfestigkeit benötigt man dafür? 3. Berechnen Sie die Quantile zum Niveau 0,95 und 0,0 der Normalverteilung N(00, 9).. Die Dicke von Balken sei näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert 5 cm und einer Standardabweichung von 0,5 cm. (a) Wie hoch ist der Anteil der Balken, die eine Dicke von mindestens,73 cm haben? (b) Es werden drei Balken aufeinander gelegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Stapel höher als 77 cm? (c) Wieviele Balken können in einen Container mit einer Höhe von 3 m gestapelt werden mit einer Sicherheit von 95%? 5. Eine Zufallsgröÿe X nimmt die Werte 0,,, 0, 0 mit folgenden Wahrscheinlichkeiten an: x i P (X = x i ) p (a) Bestimmen Sie p. 6 p 6 (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist X > 5?. (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröÿe X. (d) Geben Sie die Verteilungsfunktion F X von X an.
2 6. Es soll die Rakete einer neuen Raummission gestartet werden. Nach maximal 3 Startversuchen wird die Mission abgebrochen. Die Wahrscheinlichkeit für einen erfolgreichen Start beträgt 0,8, die einzelnen Startversuche erfolgen unabhängig voneinander. Die Kosten für den ersten Start betragen 3 Mio $, für jeden weiteren jeweils Mio $. Bei einem erfolgreichen Start bringt die Mission einen Erlös von 5 Mio $ aufgrund der Informationen aus den durchgeführten Experimenten. Die Zufallsgröÿe X beschreibe den Nettogewinn in Mio $. Bestimmen Sie Verteilung, Erwartungswert und Varianz von X. 7. In einem Spiel werden Münzen geworfen. Fällt dabei mal Wappen, dann erhält der Spieler Euro Gewinn und bei 3 mal Wappen Euro. Weitere Gewinne gibt es nicht. Wie ist der Einsatz pro Wurf (mit Münzen) für ein faires Spiel zu wählen? 8. Es wird einmal mit zwei idealen Würfeln gewürfelt. Die Zufallsgröÿe X beschreibe den Betrag der Dierenz der Augenzahlen. Bestimmen Sie den Wertebereich, die Verteilung und die Verteilungsfunktion von X. 9. In einem Test seien zu jeder der 5 Fragen mögliche Antworten angegeben. (a) Es sei bekannt, daÿ es zu jeder Frage genau eine richtige Antwort gibt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht man dann den Test ohne jegliche Vorkenntnisse, wenn mindestens drei Fragen richtig beantwortet sein müssen. (b) Wie ändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn die Anzahl der richtigen Antworten unbekannt ist. D.h. von den jeweils vier möglichen Antworten für eine Frage können eine bis maximal alle vier richtig sein. 0. Eine Fluggesellschaft hat aus bisherigen Daten ermittelt, daÿ etwa % der reservierten Flüge nicht angetreten werden. Daher plant sie zukünftig die Überbuchung von Maschinen mit 0 Sitzplätzen um Reservierungen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann noch jeder ankommende Fluggast mit der gebuchten Maschine befördert?. Die Anzahl der Druckfehler auf einer Buchseite kann als poissonverteilt angenommen werden (seltenes Ereignis). Ein Lektor hat im Mittel,5 Fehler pro Seite gefunden. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ndet man auf einer Seite keinen Druckfehler? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der Druckfehler auf einer Seite gröÿer? (c) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, daÿ auf Seiten mindestens Fehler sind.. In einer Straÿe werden an einem Punkt die vorbeifahrenden Fahrzeuge gezählt. Die Anzahl pro Minute ist poissonverteilt. In Richtung A sind es, Fahrzeuge im Mittel und in Richtung B 0,8 pro Minute. Die Anzahl der passierenden Fahrzeuge in beiden Richtungen wird als unabhängig angenommen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ in einem Zeitintervall von 3 Minuten mindestens Fahrzeuge an diesem Punkt vorbeifahren. 3. Beim Mensch-ärgere-Dich-nicht Spiel darf man den ersten Zug erst machen, nachdem man eine Sechs gewürfelt hat. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ man mehr als drei Würfe machen muÿ, um beginnen zu können? Wieviele Würfe braucht man im Mittel um die erste Sechs zu erhalten?
3 { x : a < x < 3. Gegeben sei die Funktion f X (x) =. 0 : sonst Wie groÿ muÿ a R sein, damit f X (x) die Dichtefunktion einer Zufallsgröÿe X ist? Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F X (x) und den Erwartungswert EX von X. Wie groÿ sind die Wahrscheinlichkeiten P (X >, 5) und P (, 5 < X <, 5)? 5. Eine physikalische Meÿgröÿe wird n-mal gemessen. Der Meÿvorgang ist fehlerbehaftet, die Meÿwerte können als Realisierungen von N(µ, σ )-verteilten Zufallsgröÿen X i, i =,..., n aufgefaÿt werden. Die Standardabweichung σ ist ein Maÿ für die Genauigkeit des Meÿvorgangs, sie betrage Einheit. Als Schätzung für µ wird das arithmetische Mittel X n = n (X X n ) verwendet. Wie groÿ muÿ n sein, damit die Schätzung X n nur 0,5 Einheiten von µ abweicht mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95? 6. Die exponentialverteilte Zufallsgröÿe X mit Parameter λ = beschreibe die Lebensdauer eines Gerätes. Berechnen Sie den Median von X und interpretieren Sie den Wert. 7. Die Zeit zwischen dem Eintreen von zwei Telefonanrufen an einem Anschluÿ sei exponential verteilt mit λ = 0, 5 (in Stunden). (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trit länger als eine Stunde (eine halbe Stunde) kein Anruf ein? (b) Es sei bereits 5 Minuten kein Anruf eingetroen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ auch in der folgenden halben Stunde kein Anruf eintrit? 8. Die Zufallsgröÿe X sei χ -verteilt mit 0 Freiheitsgraden. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daÿ die Werte von X im Intervall [3, 5 ; 0, 8] liegen. (b) Ermitteln Sie die Stelle x, so daÿ 99 % der Werte von X kleiner als x sind. 9. Die Zufallsgröÿe X sei t-verteilt mit 30 Freiheitsgraden. Bestimmen Sie t und t so, daÿ gilt P (X t ) = 0, 9 und P ( X > t ) = 0,. 3
4 Lösungen:. (a) P (X 50) = 0, 83 (b) P (80 X 95) = 0, 05 (c) P (X x) = 0, 9 x = 60 0, 855 = 7, 85, d.h. Mindestpunktzahl ist 7. P (X 50) = 0, 03 µ = , 8808 = 59, 00 kg 3. x 0,95 = 0, 936 x 0,0 = 93, 00. (a) P (X, 73) = 0, 705 (b) Y = X + X + X 3 N(75 ; 0, 75) P (Y 77) = 0, 00 (c) Z n = X X n N(n 5 ; n 0, 5) mit P (Z n 300) = 0, 95 ergibt sich n = 5. (a) p = (b) P (X > 5) = 5 (c) EX = 6, 875 und V arx = 7, (d) Verteilungsfunktion: 0 : x < 0 F (x) = 8 : 0 x < 5 8 : x < 6 : x < 0 6 : 0 x < 0 : 0 x 6. X - Nettogewinn (abhängig, ob. oder. oder 3. Start erfolgreich ist oder kein Start gelingt) x Verteilung von X: i 0-5 P (X = x i ) 0,8 0,6 0,03 0,008 EX =, 7 Mio $ und V arx = 0, 606 (Mio $) 7. X - Gewinn, es ist P (X = ) =, P (X = ) =, P (X = 0) = EX = 0, 75 Euro Somit beträgt der Einsatz für ein faires Spiel 0,75 Euro. 8. X - Betrag der Dierenz der Augenzahlen beim Würfeln mit zwei Würfeln. x Verteilung von X: i P (X = x i ) Verteilungsfunktion: 0 : x < 0 F (x) = 6 : 0 x < 6 : x < : x < 3 30 : 3 x < 3 : x < 5 : 5 x 9. (a) X - Anzahl richtige Antworten X B(5, ) P (X 3) = P (X = 3) + P (X = ) + P (X = 5) = 0, 035 (b) Y - Anzahl richtige Antworten Y B(5, ) P (Y 3) = P (Y = 3) + P (Y = ) + P (Y = 5) = 0,
5 0. X - Anzahl Fluggäste, die den Flug antreten X B(; 0, 96) P (X 0) = (P (X = ) + P (X = ) + P (X = 3) + P (X = )) = 0, X - Anzahl Druckfehler pro Seite X π(, 5) (a) P (X = 0) = 0, 3 (b) P (X > ) = (P (X = 0) + P (X = ) + P (X = )) = 0, 9 Y - Anzahl Druckfehler auf Seiten Y π(6) (c) P (Y ) = (P (Y = 0) + P (Y = )) = 0, 986. X A π(, ) und X B π(0, 8) Z - Anzahl Fahrzeuge in beiden Richtungen innerhalb von 3 Minuten Z π(3(, + 0, 8)) = π(6) P (Z ) = P (Z < ) = 0, X - Anzahl Würfe bis zur ersten 6 geometrische Verteilung mit p = 6 P (X > 3) = P (X 3) = 0, 5787 und EX = 6. a = weil 3 x dx = Verteilungsfunktion F X : für x [, 3] gilt F X (x) = x t dt = (x ) EX = 7 3 P (X >, 5) = F X (, 5) = 0, 9375, P (, 5 < X <, 5) = F X (, 5) F X (, 5) = 0, 5 5. X n = n (X X n ) N(µ, n ), wenn X i N(µ, ) für i =,..., n P (µ 0, 5 X µ + 0, 5) = 0, 95 n = 5, 6 d.h.für die gewünschte Genauigkeit sind mindestens 6 Messungen nötig. 6. X - Lebensdauer eines Gerätes X exp() Median (Zentralwert): P (X x 0,5 ) = F X (x 0,5 ) = 0, 5 x 0,5 = ln(0, 5) = 0, X - Pausenzeit zwischen zwei Anrufen (in Stunden) X exp(0, 5) (a) P (X > ) = e 0,5 = 0, 6065 und P (X > 0, 5) = e 0,5 = 0, 779 (b) P (X > ( + ) X > ) = P (X > ) = 0, X - χ -verteilt mit 0 Freiheitsgraden (a) P (3, 5 X 0, 8) = F X (0, 8) F X (3, 5) = 0, 95 (b) P (X x) = 0, 99 x = χ 0,99;0 = 3, 9. X - t-verteilt mit 30 Freiheitsgraden P (X t ) = 0, 9 t = t 0,9;30 =, 3 P ( X > t ) = 0, P (X > t ) = 0, 05 t = t 0,95,30 =, 70 5
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