5. Schwarze Löcher. Entweichproblem Reale Raumzeit Einfache Lösungen der Einstein-Gleichung

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1 5. Schwarze Löcher Entweichproblem Reale Raumzeit Einfache Lösungen der Einstein-Gleichung Schwarze Löcher unterschiedlicher Massen Schwarze Löcher thermodynamisch

2 Wurmloch: Quantenphänomen in der Makrowelt? Wunschdenken: Ein Raumzeit-Tunnel aus städtischer Bedrängnis in eine ausgeruhte Landschaft.

3 Schwelle zur Quantenwelt: Auflösung der Ort-Zeit-Welt Zu den gefestigten Grundsätzen der Makrowelt gehört folgende These: Ereignisse sind durch ihre Koordinaten in Raum und Zeit eindeutig charakterisiert. Ereignisfolgen bilden stetig differenzierbare Trajektorien, deren Projektionen in den Ortsraum die Teilchenbahnen sind. Unter den Bedingungen der Planck-Ära sind solche Auffassungen nicht mehr haltbar. Die Skizzen veranschaulichen die Auflösung der an glatte Raumzeit- Flächen gebundenen kausalen Dynamik. Generationen von Wurmlöchern bilden daraus eine Schwamm, der insbesondere für die kleinskalige Dynamik unerwartete Verbindungen öffnet. aus MISNER et al.

4 5.1 Entweichproblem

5 Lichtablenkung am Sonnenrand Jedes Sternfeld erscheint einem Beobachter auf der Erde bei Sonnendurchgang aufgeweitet. Er empfängt Photonen, die ihn ohne Ablenkung hin zur Sonne nicht erreichen würden. Die Lichtwege vom Stern zum Fernrohr haben in Sonnennähe einen Knick. ւ abgedeckte Sonne Der Effekt ist klein - nur 1.75 bei Passage unmittelbar am Sonnenrand. Nachweise werden seit der Sonnenfinsternis 1919 mit wachsender Genauigkeit geführt.

6 Vielfalt der Gravitationlinsen-Effekte

7 Galaxienhaufen Abell2218

8 5.2 Reale Raumzeit

9 Minkowski-Raumzeit (1908) Raumzeit-Kontinuum { X } Ereignis X = (ct, r) = ct x y z Koordinatenzeit t laut Uhr im System des Beobachters Eigenzeit τ laut Uhr im Ruhsystem des Ereignisses Abstand benachbarter Ereignisse (ds) 2 = (cdt) 2 (dr) 2 Metrik pseudoeuklidisch ( anstatt +) metrischer Tensor g M RZ (ds) 2 = dx T g M RZ dx = cdt dx dy dz cdt dx dy dz Vierervektoren, Vierertensoren, Vektoren im 3D Raum

10 Lorentz-Transformation: Drehung in der 4D-Raumzeit Einem Ereignis werden in den Bezugssystemen Σ und Σ (Geschwindigkeit u in Σ) die Vierervektoren X = (ct, r) bzw. X = (ct, r ) zugeordnet. Die L-T stellt den Zusammenhang her zwischen den Ereigniskoordinaten in beiden Systemen. X = L(u)X Unter Verwendung hewöhnlicher 3D Vektoren in des räumlichen Komponenten lautet die Transformationsmatrix (Dyade u)(u ist eine 3 3-Matrix ) a u -a u u c L(u) = -a u u c I + (a u 1) 1 u 2 u)(u, a u = 1 1 ( u c )2 Die L-T bedeutet eine Drehung in der 4D Raumzeit. Invariante ist daher die Länge des Ereignisvektors: X T X = X T X = s 2 (4D Abstand). Alle Beziehungen gelten für infinitesimale Vektoren dx und dx sowie die entsprechenden Abstände (ds) 2

11 Lorentz-Transformation: Relativität der Gleichzeitigkeit Reduzieren wir den Ortsraum auf die x-achse (eindimensional). Dann lassen sich Raumzeit- Relationen der Minkowski-Welt in der Ebene darstellen. Ein Beobachter B im System Σ findet ein Ereignis = (0,0) und dazu ein kausal von abhängiges Ereignis mit dem Abstandsquadrat s 2 = 3 (s. Abbildung). Ein zweiter Beobachter B im relativ zu Σ bewegten System Σ stimme bezüglich mit B überein. Bezüglich erhält er aber je nach Relativgeschwindigkeit andere Ergebnisse. Jedoch findet er niemals Gleichzeitigkeit von und. Ersetzen wir durch ein bezüglich akausales Ereignis mit dem Abstandsquadrat s 2 = 3, dann findet B immer Relativgeschwindigkeiten, die in beliebige Positionen seiner Zeitachse bringen, einschließlich Gleichzeitigkeit mit.

12 5.3 Einfache Lösungen der Einstein-Gleichung

13 Schwarzschild-Metrik (1916) kugelsymmetrische Zentralmasse M, Ereignis Außenraum-Lösung X = ct r θ φ (ds) 2 = dx T g SRZ dx = cdt dr dθ dφ 1 R s r R s 0 0 r 0 0 -r r 2 sin 2 (θ) cdt dr dθ dφ Newtonsche Näherung (schwache Gravitation): 1 1 R s r 1 R s r = V (r) mc 2 Newton-Potential für eine Masse m im Feld der Masse M: g SRZ ik g MRZ ik V (r) = GMm r + 2 V (r) mc 2 (δ i0δ k0 + δ i1 δ k1 ) Term i = k = 0: Äquivalenzprinzip; Term i = k = 1: Raumkrümmung