Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Der Einheitskreis. VI Trigonometrie. Propädeutikum Holger Wuschke. 21. September 2018

Transkript

1 Propädeutikum September 018

2 Denition Trigonometrie Die Trigonometrie beschäftigt sich mit dem Messen (µɛτ ρoν) von dreiseitigen (τ ρίγωνo) Objekten. Zunächst gilt in Dreiecken: A = 1 g h Abbildung: Allgemeines Dreieck [H.W. 018, GeoGebra] g ist die Grundseite h ist die Höhe auf g U = a + b + c α + β + γ = 180

3 Verhätnisse im rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussatz Rechtwinklige Dreiecke Bezeichnungen Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heiÿt Hypotenuse (c), die übrigen Seiten bezeichnet man als Katheten (a und b). h c... Höhe auf c p, q... Hypotenusenabschnitte Abbildung: Rechtwinkliges Dreieck [H.W. 018, GeoGebra]

4 Verhätnisse im rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussatz Spezielle Formeln für rechtwinklige Dreiecke (Bezeichnungen wie in der Abbildung) α + β = 90 = γ a + b = c (Satz des Pythagoras) A = 1 a b (Flächeninhalt) a = c p und b = c q (Kathetensatz des Euklid) h c = p q (Höhensatz des Euklid) Aus beiden Sätzen des Euklid folgt: h c = a b c

5 Verhätnisse im rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussatz Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck Der Winkel α (und analog auch β) lässt sich im rechtwinkligen Dreieck durch Verhältnisse zwischen den Katheten und der Hypotenuse eindeutig beschreiben. Verhältnisse der Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse sin α = a c cos α = b c tan α = a b cot α = b a sec α = c a csc α = c b Abbildung: Rechtwinkliges Dreieck [H.W. 018, GeoGebra] a ist die Gegenkathete zu α b ist die Ankathete zu α

6 Verhätnisse im rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussatz Aufgaben aus der VL Sei ABC rechtwinklig mit Hypotenuse c. Zeigen Sie anhand der denierten Seitenverhältnisse, dass folgende Gleichungen gelten: 1 tan α = sin α cos α (Analog könnten Sie auch den Kotangens herleiten.) (sin α) + (cos α) = 1 (trigonometrischer Pythagoras) (tan α) = (cos α) (cot α) = (sin α)

7 Verhätnisse im rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussatz Herleitung Sinussatz bekannte Verhältnisse in allgemeinen Dreiecken sin α = h c b sin β = h c a Sinussatz für allgemeine Dreiecke Beweis: Für a und b. sin α a = sin β b = sin γ c sin α sin β = h c b : h c a = a b Restliche Gleichungen analog aus den Höhen h a und h b folgern.

8 Verhätnisse im rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussatz Herleitung Kosinussatz bekannte Verhältnisse allgemeinen Dreiecken cos α = q b q = cos α b; p = c q Kosinussatz für allgemeine Dreiecke sin α = h c b h c = sin α b a = b + c bc cos α Beweis: a = p + h c = (c cos α b) + (sin α b) = c bc cos α + (cos α) b + (sin α) b }{{} = b ((cos α) +(sin α) ) = b

9 Verhätnisse im rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussatz Analog folgen auch die anderen beiden Kosinussätze. Kosinussätze für allgemeine Dreiecke b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ Beweis: Analog zum Kosinussatz für a. Aufgaben aus der VL Zeigen Sie unter Verwendung der VL, dass in einem allgemeinen Dreieck folgende Flächeninhaltsformeln gelten: A = 1 a b sin γ = 1 a c sin β = 1 b c sin α

10 Denition Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat. Er wird im Koordinatenursprung dargestellt durch die Lösungsmenge der Gleichung: x + y = 1 Für den Flächeninhalt des Einheitskreises gilt: A = π r = π Für den Umfang des Einheitskreises gilt: U = π r = π Grad- und Bogenmaÿ Der Bogen B beschreibt, welcher Umfang auf dem Einheitskreis bei einem bestimmten Winkel φ zurückgelegt wurde. Es gilt: B π = φ 360 B = π φ 180 }{{} Umrechnung ins Bogenmaÿ φ = 180 B π }{{} Umrechnung ins Gradmaÿ

11 Aufgabe in der VL Füllen Sie mithilfe der Umrechnungsformel B = π φ die folgende 180 Tabelle aus: φ B 0 π π

12 Schulische Herleitung von Sinus- und Kosinusfunktion Am Einheitskreis lässt sich bereits der funktionale Zusammenhang von Sinus und Kosinus des Winkels φ und dem Bogenmaÿ erkennen. sin φ = y 1 = y Abbildung: Verhältnisse im Einheitskreis, [H.W. 018, GeoGebra] cos φ = x 1 = x Periode der Winkelfunktionen Dabei ist φ [0, π). Für gröÿere oder kleinere φ wiederholen sich die Funktionswerte. Deshalb sind die Funktionen periodisch mit Periode π (ein Kreisumfang).

13 Abbildung: Sinus- und Kosinusfunktion, [H.W. 018, GeoGebra]

14 Eigenschaften der Sinusfunktion und Kosinusfunktion Für die Sinus- und Kosinusfunktion f, g : R [ 1, 1], f (x) = sin x, g(x) = cos x gilt: π-periodisch sin (α + π) = sin α, analog für g(x) ( sin α + π ) = cos (α) sin (α + π) = sin α, analog für g(x) Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch, d.h. sin ( x) = sin x Die Kosinusfunktion ist achsenymmetrisch, d.h. cos ( x) = cos x

15 Wissenschaftliche Denition der Sinus- und Kosinusfunktion (nicht in der Schule) Denition Sinus- und Kosinusfunktion Die Sinusfunktion sin : R [ 1, 1] ist deniert durch: sin x = ( 1) k x k+1 (k + 1)!. k=0 Die Kosinusfunktion cos : R [ 1, 1] ist deniert durch: cos x = ( 1) k x k (k)!. k=0 Daraus lassen sich die Additionstheoreme herleiten (Beweis später).

16 Additionstheoreme 1 sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β 3 sin (α) = sin α cos α und cos (α) = (cos α) (sin α) tan α ± tan β 4 tan (α ± β) = 1 tan α tan β ( ) ( ) α + β α β 5 sin α + sin β = sin cos ( ) ( ) α + β α β 6 sin α sin β = cos sin ( ) ( ) α + β α β 7 cos α + cos β = cos sin ( ) ( ) α + β α β 8 cos α cos β = sin sin

17 Herleitung Tangens und Kotangens Der Tangens kann mithilfe des Einheitskreises und der Geraden x = 1 hergeleitet werden. Der Kotangens wird über den Einheitskreis und die Gerade y = 1 hergeleitet. Winkel kleiner als π Winkel gröÿer als π

18 Abbildung: Tangens- und Kotangensfunktion, [H.W. 018, GeoGebra]

19 Aufgaben aus der VL 1 Erstellen Sie sich eine Tabelle mit charakteristischen Funktionswerten (z.b. π oder 5π ) für die Sinus-, Kosinus-, Tangens- und 6 Kotangensfunktion im Intervall [0, π]. Zeigen Sie das dritte Additionstheorem sin (α) = sin α cos α und cos (α) = (cos α) (sin α) unter Verwendung von Theorem 1 bzw. Theorem. 3 Zeigen Sie das vierte Additionstheorem für den Fall "+": tan (α + β) = tan α + tan β 1 tan α tan β unter Verwendung von Theorem 1 und Theorem. Hinweis: Zu zeigen ist, dass tan α + tan β 1 tan α tan β = sin (α + β) cos (α + β gilt.

20 Koordinaten von Punkten werden normalerweise kartesisch (x y) angegeben. Sie können jedoch auch in Polarkoordinaten durch einen Winkel und den Radius eines Kreises angegeben werden (r φ). kartesische Koordinaten Polarkoordinaten

21 Umrechnung der Koordinaten Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten ( ) Beispiel: A 5 3π = A(5 135 ) 4 Jeder Punkt P auf einem Kreis mit Radius r lässt sich darstellen als P (r sin φ r cos φ) ( 5 Also ist A 5 ) A(3, 54 3, 54) Aufgabe in der VL ( ) Geben Sie B 4 π in kartesischen Koordinaten an.

22 Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ( Beispiel: C 5 5 3) Der Radius des Kreises berechnet sich über den Satz des Pythagoras: r = x + y r = r = Der Winkel bzw. der Bogen kann auf verschiedene Wege berechnet werden. Zum Beispiel durch den Arkustangens (Umkehrfunktion des Tangens; undeniert für Werte auf der y-achse). Punkt im... I./IV. Quadrant II. Quadrant III. Quadrant φ =... arctan ( y ) x arctan ( y ) ( x + π arctan y ) x π Der Punkt ist im II. Quadranten, also ist der Winkel im Beispiel ( 5 3 ) φ = arctan ( ) + π = arctan ( 3) + π= π 5 3 ( C 5 5 3) = C(5 π 3 ) = C(5 10 )

23 Aufgabe in der VL Geben Sie D(3 7) in Polarkoordinaten an. Aufgaben aus der VL 1 Bestimmen Sie die kartesischen Koordinaten der nachfolgenden Punkte in Polarkoordinaten. P 1 (3 5π 6 ); P ( 3 3π ); P 3(4 π); P 4 (8 10π 3 ) Bestimmen Sie die Polarkoordinaten der in kartesischen Koordinaten gegebenen Punkte. K 1 (0 ); K ( 4 0); K 3 (0 5), K 4 ( 3 18 ),